Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. Л вЂ” среднее число событий, происходящих в единицу времени. Обратимся к примеру с радиоактивным веществом. Вероятность распада для каждого атома к моменту 1 равна Р(т<1)=1'=е-м. Следовательно, к моменту 1 в среднем рас,падается-1 — е-м часть всего вещества, и так называемая постоЯннаа 1о полУРаспада опРеделаетси из Равенства 1 — е-м = =1!2, т. е.
1,=(1п2)/)»; для радия экспериментально найдено, что го= 1590 лет. Определение. Винеровским процессом'о(1), 0~1<со, начи-, нающимся в нуле, называется случайный процесс, обладающий свойствами: 1) для любых 0 ((о<1»« ... 1 случайные величины Ч»=$(А) — а(1о), -, Чл $(Е~) — $(А„' ») независимы; 2) случайная величина й(() — й(з) (О~э<1 — любые) имеет нормальное распределение Ж(0, 1 — з); 3) ф(0) =О. Согласно определению случайный вектор»)=(»1„...,»)„) распределен нормально с плотностью »» хо рч(х» ..., х„) = П(2п(1; —.1/»)) — повар~ — ~ ! (14) 20 1у»)» '»=! 148 Полагая (э=О, в силу условия $(0) =0 найдем я(г!) =!)!, $(!з) =О!+т1ь ..., й(г,) =!1!+ ...
+Ч„т. е. случайные векторы !1= (О!, ..., 0„) и $= ($(1!), „Цг,) ) связаны невырожденным линейным преобразованием с 'определителем, равным единице. Поэтому случайный вектор й также нормален и имеет плотность вероятности р,(хь...,х,), задаваемую формулой рл(х!,...,х„) = л = П(2п(1! — 1! !))-!мехр ~ — г ' ' ~, х ='О. 2 (Д! — Ф! Д ! ! Представим себе частицу, взвешенную в однородной жидкости.
Она испытывает„хаотические столкновения с молекулами жидкости и в результате беспорядочно движется. Это так называемое броуновское движение частицы. Рассмотрим .дискретную модель броуновского движения, в которой частица меняет свое положение лишь скачками в фиксированные моменты времени, кратные М. Обозначим величину скачка Ьх. Тогда, находясь в момент 1 в точке х, частица в следующий момент 1+бг с равными вероятностями, окажется в одной из соседних точек х — Лх или х+Ьх. Модель броуновского движения можно получить в результате предельного перехода при Ы-!-О, Лх-!-О. Смещение частицы к моменту г+з равно $(1+в) =Ц(Г+з) — 4(з)1+[Цз) — $(0)1, й(0) =О, (15) причем в рассматриваемой модели случайные величины в скобках, очевидно, независимы для любых е, 1ъО и, более того„распределение вероятностей й(Е+з) — 4(з) точно такое ° -же, как и $(1) — $(0) =$(г).
Поэтому Р4(Г+г) =Р[4(1+э) — $(г))+Р[4(е)= !(0)) = =~%(4)+Р$(е). Отсюда следует, что дисперсия является линейной функцией 1 Р$(1) =ел!, 0<г<со, (16) где постоянная аа называется коэффициентом диффузии. Будем считать, что в начальный момент броуновская, частица находилась в нуле: $(0) =О. Тогда к моменту г она совершит а=(/ЛГ скачков, и если обозначить через $д случайную величину, принймающую значения !-Лх с вероятно«е! «з! стью !/ь то $(1) =Я 5,. Поэтому Р$(1) =Я Рк!, а поь=! ь-! скольку Щд = — (Лх)'+ ! (Лх)' =(Лх)', то 2 ° 2 - - Р$(1) =(Ьх)л— аг (17) 149 Сравнивая (16) н (17), найдем, что о»=(Лх)Чьей Рассмотрим случайную велнчнну г Ы ь-1 Поскольку М$,(1) =0 н 05,(1) =1, то в силу центральной предельной теоремы при Ы-~-0 н Ьх — «О, так что (Лх)9М=о», й(г) сходится но распределению к нормальному закону.
Поэтому для предельной случайной величины $(1), которую естественно рассматривать как «непрерывную» модель броуновского движения, получим к, Р (х < = < х ) — = ~ е " д йх. 1 (19у к, Мы нашли распределение вероятностей $(1) — положения броуновской частицы в момент 1. То же распределение спра- ведливо н для любого смещення частицы за время г, нбо в силу однородности процесса броуновского движения прира- щение $(1+э) — ~,(э) имеет такое же распределение вероят- ностей, что н приращение й(1) — $(0) =$(1), н, стало быть, Р~х,<1('+') "' <х,) = — 'Г -ч».
(90> Хю Таким образом, броуновское движение частицы — винеров- скнй процесс. В общем случае вннеровский процесс, в отличие от рас- смотренного нами, определяется так, что случайная величи- на $(1) — $(э) распределена М (О(г †'э), о~(1 — е)), где О— коэффициент сноса, о' — коэффициент диффузии. Ранее мы ввели так..называемый стандартный вннеровскнй процесс: $(1) — $(э)~Ф(0, 1 — э). Общий случай получается в резуль- тате преобразования $(1)-~о$(г) +О(1). Оба рассмотренных процесса, пуассоновскнй н вннеров- ский, являются примерами однородных процессов о незави- симыми приращениями $(г1) — Е(Гс), $(1,) — $(1~),....
Однород- ным, как уже указывалось выше, называется случайный про- цесс, у которого распределение $(1) — $(э) зависит только от . разности г — э. Отличную от условий 1) — 3) характернзацию винеровского процесса (так сказать, «внутреннюю») мы да- дим при рассмотрении непрерывных марковских процессов. Для 'винеровского процесса 1) 3) можно показать 111, что его траектории (т. е. реализации) непрерывны с вероятно- стью 1. Это позволяет ввести для винеровского процесса (в 150 Р(т„~ 1) = 2Р($(1) ~ )х) = 2Р ) ~ ~ )~ =1 = 1 о~/Т о Ус ! = У вЂ” ) е ссх, 1>О.
(22) к чмр Отсюда плотность вероятности т равна зьч р,„(с) = " е '; 0<1( со. (23) Рассмотрим теперь другую важную случайную величину: ф(1) — максимальное смещение броуновской частицы га время 1, $(1) =тах$(з), $(0) = О. Имеем согласно (22) ьк~сс Р($(1) )~х)жР(шах $(з) ~)х) =Р(т,м„-1) = осзсс — оо ' и =~/ — '). * . к ьУР / ае и Отсюда, поскольку ~/- — 1 е ' с(х = 1, 2 ь (24) с — еУс ** ~®" ~")= У с 2 частности, непрерывного броуновского движения) важную случайную величину т~-момент времени первого достижения траекторией точки х, т.
е. т» — время ожидания события: первый раз ф(с) =х, $(0) =О. Пусть х)0. Частица может оказаться правее точки х, ф(Е) )х, лишь при условии, что до этого она побывала в точке х (так как траектория непрерывна), т. е. т ~т. Таким образом, событие ($(1)ъх) влечет событие (т,~1). Поэтому Рд(1))х~ <1) ='(й(0~'> Р(т <с) Очевидно, если в момент т„т ~1, частица находится в точке х, то после выхода 'из х к моменту с частица с вероятностью Чз-окажется правее х, с той же вероятностью ойа окажется левее х. Поэтому РЦ(1) ~х1т ~1)=1/2, и из (21) находим (27) а!~~О, ~~' а! =1, (29) о=! а через рг(1) — абсолютную вероятность, т.
е. вероятность того, что система будет в состоянии о!! в момент !, Гъ.(о. В силу формулы полной вероятности очевидны следунмцне равенства: Р)(т) =~ поры((о !) с~~го о ! (30) 152 и, значит, $(1) имеет плотность вероятности / х' ра! (х) = — ~/ — е то*!, 0<х<во (26) (р-и,(х) =0 при х< О, так как $(Г)=. гпах $(з) >~5(0) =0). око<! Распределение (26) называется удвоенным нормальным за- коном, поскольку ввиду (22) и (24) Р($(о)ъх)=2Р(4(1)ъх). 2.' Марковские процессы Мы уже рассматривали частный случай марковских процес- сов — конечные однородные цепи Маркова. В этом пункте мы изучим основные свойства марковских процессов с неп- рерывным временем. Определение.
Случайный процесс $(1) называется марков- ским, если для любого момента времени 1! при известном значении $(1!) случайные величины $(г) с 1)1! не зависят от случайных величин $(в) с в~~(!. Таким образом, марков- ские процессы (проиессы без последействия), характеризу- ются тем, что вероятностные свойства процесса в момент !ъ|! определяются состоянием в момент г! и не зависят от состояний процесса до момента 1!. Рассмотрим вначале марковские процессы с непрерывным временем и с конечным или счетным множеством состояний й= (о!!, оов ...). Остановимся подробно на случае конечного числа состояний, он отличается от цепей Маркова тем,.что здесь время изменяется непрерывно и переход системы из одного состояния о!! в другое о!! происходит в любой момент времени. Введем вероятности перехода рн(в, 1): рн(в, 1) =РЦ(1) =о!;$(в) =о!!), рн(в, 1)~0..
Очевидно, Я рй(е, Г) =.1, з<1, рп(Г, () =1, рд((, 1)'=О, оча). (28) ! Обозначим через а! начальное распределение вероятностей, 1=(о, Р!)(з 1) =~! Р!й(згг!)Рй)(гй т), з( Го<1. (31) й=! Теорема 2. Пусть переходные вероятности рц(з, 1) имеют частные производные по 1 и з. Тогда при з ат Рц ' " = ~~ р„(з, 1) Ам (1), (32) й=! дрц(о, !) 5~ ~А!й (з) Рй!'(з, 1), й-! (33) где !53 А й(1) ~ Р!й( ° ))~~ ° Айй(1) ~0, о-йй, Айй(1) <О Е АФ(1) = О ! = 1 ..
У. (34) й-! Д о к а з а т е л ь с т'в о. Для Г) з имеем в силу (31) др!/О О 1 вп рц(о г+ ь) Рц(о 0 д! ь- о Ь 1 ~%~ = 1пп — ~ д Р,й(з, 1) Рй)(1, Е + Ь) — рц(з, 1)~ = Д ~1Ь й ! ы 1) рй)(, + )+Р ( 1) рцр,т+~)-1 ~ ь-оЕйй ' Ь Ь й-! йой! Рассмотрим выражение в последней квадратной скобке. В силу (28) .и дифференцируемости рц(з, 1) по 1 имеем рц(~,Ф+Ь) — 1 дру(о, и)~ ь- о Ь да 1! ! Рц(о, о+ Ь) дрю (б а) ~ 1 (1) ьо Ь да ! — ! ! Подставляя зги выражения в (35), пблучнм первую систему уравнений (32). Сопоставляя (36) и (28), заключаем ввиду неравенств О~рц(1, и)~1, что А!й)~0, !чай, Айй<0„ ~Г Айй(й) =О, и (34) также доказано.
Далее, при Г)з имеем й=! в силу (31) др!) (о,- О 1. рц (о+ Ь, !) — рц (о, О до ь- о ь (40) 1 = 1пп — [рд(з + Л, 1) — ~ ~рта(з, з + Я рм(з + Л, 1) ] = а а а=! = — 11ш 1 дп ((' + 1 р' (и + Л Ю) + а о[ Ь -). у'Рм(' '+ )р;(з+ Л, 1)~. (37) !=1 ьФ! Отсюда, рассуждая как и выше, получим вторую систему дифференциальных уравнений (33).,ф, ' Уравнения (32) называются прямой, а уравнения (33) обратной системой уравнений Колмогорова.
Физический смысл функций Ап(1) состоит в том, что А!!(1)Ж есть вероятность перехода из состояния вп в состоя- 'ние е!! за время от 1 до 1+Ж. Если функции Ап(1) непрерыв- ны, то функции рп(з, 1) представляют единственное решение системы уравнений (32), удовлетворякпцее начальным усло- виям рн(з, г) =1, рп(г, з) =О, А). Таким образом, рассмат- риваемый марковский процесс полностью определяется за- данием функций Ан(1). Нетрудно показать также, что если заданы любйе непрерывные функции А!!(1), удовлетворяю- щие условиям А!!>О, !Ф1, Апя:О, Я~Ам =О, то решение / ! рн(з, 1) системы (32) при начальных условиях рн(з, з)=1, р!!(з, з) =О, !Ф1, будет неотрицательным (р!!(з', 1) ъО), спра- ведливо равенство (31), так что рп(з, 1) будут определять некоторый марковский процесс. Отправляясь от прямой системы уравнений Колмогорова, установим дифференциальные уравнения для абсолютных вероятностей р!(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
