Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 21
Текст из файла (страница 21)
+ ~ Ре (ху) — Рт„(х) ~ < 2е + ~ Р1„(х) — Ре„(ху) ~ (42) и силу (40), (41) и монотонности Р,(х). Далее, ) Ре (х) — Р1 (хД ! < ~ Рт (хг~ь1) — Рт (ху) ~ < (Рь (хьы)— — Ре (х+1) ~ + ~ Рь(хс+1) — Р1 (х) ~ + ~ Ре (ху) — Ре (хД1 < Зе. (43) Из (42) и (43) ( Ре (х) — Р1 (х) ~ < бе.
Аналогичная оценка верна, очевидно, н в случае х<х1 нли х)хэ ввиду (39) н (40). Тем самым доказана равномерность сходнмости в (39) на всей прямой Ль 4~ ' Справедливо и обратное утверждение: если в каждой точ- ке непрерывности Р,(х) выполнено условие Ре(х) = 1пп Ре (х), л-~ее то равномерно по Г ~1(Г) =1пп ~1'(1). Доказательства не прн- .
й~аа водим, так как эта'теорема в дальнейшем не нспользуется. Из )юказанной теоремы о непрерывности для х.ф. следует, конечно, что если у двух законов распределения совпадают характеристические функции, то совпадают н сами законы распределения (надо взять ~~„(1) имЦ1) прн всех л). На этом основаны следующие П р и и е н е н и я. 1) Сумма п=$~+$м где $1яУ(нь а~э), $2енУ(рь оет) н не- зависимы, имеет нормальное распределение П~У(р1+рь о~э+ от~) .
Доказательство. Имеем а~~в фВ Ге,(1) =е 1Г, ~Э,(1) =е н так как й1 и $е независимы, то .-:, х. 1 е~+~~ ~ (1) =(ы(г))ь(1) =е~ ~~ откуда н следует, что т~яУ(р1+рм о1е+а22). 4 121 2) Сумма П=$~+ьм где 4~ и $з распределены по закону Пуассона с параметрами )л и Хе и независимы, также распределена по закону Пуассона с параметром Х~+Ае. Доказательство. Имеем . 1в,(1) =е'и ", Й,(1) =е"'" и так как $~ н ез независимы, то 1 И) =Й,(ОЙ,(0=~'+"" -". Отсюда и следует высказанное утверждение.
4, 3) Для распределения 1(,'=$~з+...+$ ' мы ранее нашли х.ф. ~ з(1) =(1 — 2Ц) — ьм. х„ Поскольку юа и р (~) =(1 — 2Ц) — из=' аида'е ~ дл= 1 а,' хч 1 то, судя по подынтегральному выражению, плотность распределения т„з имеет вид: р з(у) =су"л='е-а1', 0<у<оо. хь Множитель с определяется из условия нормировки р з(у)Ыу =1 н равен с= 2 „(см.
также 3 9). 1 а " 'г( ) 3'. Центральные предельные теоремы Предварительное понимание содержания центральных предельных теорем может быть получено следующим образом. Рассмотрим суммы Чп=4~+...+$, я=1,2, ..., (44) независимых случайных величин, которые принимают целочисленные значения и все имеют одинаковые распределения Р(ь;=,т)=р,„, я=0,~1,...
для всех 1. Это распределение можно изобразить следующим образом (рис. 18): основание каждого прямоугольника равно 1, высота — р, так что пло- Ю щадь равна р н ~~Г ' р = 1.' В общем случае получим практически произвольный набор прямоугольников.
122 Рассмотрим теперь вместо г1, нормированные случайные величины Ч. — МЧ. Ч. -1 г1„' = " " = ", (45) где р=М$ь и а»=Ран (=.1,2, ... Значениями случайной величины г1,* являются 'числа х„(т) =(т — пр)/а)'п, причем Р(г). х.( )) Р(г) -2 ' 0 г Рис. 18 . Построим теперь аналогичный «график» распределения »1,'.
По оси абсцисс отложим значения х (т), т=О, ~1, ..., и, как и раньше, построим прямоугольники, площадь которых равна Р(г)„*=х,(т)). Поскольку длина основания теперь ранна 1/а1п, то высоты этих прямоугольников должны быть равны Р(т1 =х„(т))афгй=Р(г1„=,т)а~п: При достаточно большом п окажется, что верхние основания прямоугольников почти точно лягут на фиксированную кривую 1 у = — е-"*/г (рис. 19),' т.
е. )~2п 1 „а а)~а Р(г1„= х„(т)) = =е "л~"'Пг при п-«-оо. )Г2п При этом естественно, что Р(а<я'„<Б) =- ~~ Р(г1„'=х„(т))- а~»„(т1(ь 1 — «ланг 1 1 г ь У вЂ” е ." — = = (' - чг (, (4Е) е'2п . а)Ге у' 2п,) М»„1 1СЬ « где при замене суммы на интеграл 'мы считали Ах=1!агп. Этот факт и сбставляет, по существу, содержание центральных предельных теорем (которые отличаются друг от друга 123 1/6га Рис. 19 !пп Ра(х) =Р,(х) Ь+а (47) в каждой точке х непрерывности Р0(х), где Ра(х) — 'функция распределения случайной величины $», Й=О, 1,2, .... С понятием сходимостн по распределению мы уже встречались в теореме о 'непрерывности.для характеристических функций. Теорема 6 (центральная предельная- теорема).
Пусть' ($,) — последовательность независимых и одинаково распредеЛенных случайных величин, для которых М$ =р, 11$,=о', а>0, л= 1, 2,.... Тогда последовательность в ~ч'' „(Ва-и) Ч,= (48) сходится по распределению к У(0, 1), т. е. к 1пп Р(т)„( х) = —. ~ а-*чапа, 1 г' 2п — Ю (49) причем стремление к пределу в (49) равномерно по х на Рь Доказате,льстило. Нам надо доказать, что равномерно по х~Я, 1йп Р„(х) =Ф,(х), где Р„(х) — функция рас- 1 пределення случайной величины г1„Ф (х) = ( а-**'1йх— г' 2п,1 функция распределения нормальной случайной величины М(0, 1). В силу теоремы 5 достаточно доказать, что равномерно на каждом конечном интервале ~1( ~,Т, Т ) О, 1„(1)- а-~чэ при и — «со, где 1„(1) — 'х.ф. случайной величинй ~1„ е — "чэ — х.ф.
нормального распределения. Поскольку представляет собой сумму независимых случайных величин 124 формулировками различных математических условий, обеспечнваюших укаэанное выше утверждение). Мы рассмотрим вначале центральную предельную теорему в ее простейшей форме: для случая одинаково рас- Р(Я~-М)~Мй пределенных случайных величин, а . затем приведем достаточно обшую центральную предельную теорему Ляпунова. Определение 3.
Говорят, что по! следовательность случайных вели- 1 чин ЦД, 1=1, 2,..., сходится к случайной величине $~ по распределению нли слабо сходится, если (с» — р)/ор/и, й=1,...,п, то в силу теоремы 1 /„(1) = 1ф(//и)/и)], где ф(/) — х.ф. случайной величины З» — 1», й=1, 2, .... По условию $» имеет конечный момент '2-го поряд- ка и вследствие теоремы 3 ф" (г) непрерывна. Записывая для ф(1) разложение по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, будем иметь ф ( ~ ) = р(0)+ р'(0) + р" (0) ~ +о( ~ ) = /» ! /» =1 — — +о ~ — 1, и-»-оо, --(50) 2» , па» /' так как <р(0) =1, !р'(О) =/М($» — р»)»=0, ф"(О) = — М($» — 1») = = — о».
Отсюда ~„(1) = 1 — — + о ~ — ) ~ -~-е — и/» при и — ~со (51) 2» ~ »о» )1! равномерно по 1, )1~ <Т, Т>0 — любое. йа С л е д с т'в и е (интегральная предельная теорема Муав- ра — Лапласа). Пусть $ — число успехов в серии из п незави- симых испытаний, р — вероятность успеха прн каждом испы- тании. Тогда при и-~со 11п(Р1 ~ (х1 == ( е *'/»Ыг, (52) ( т/и/»/ / У2п,/ причем стремление к пределу равномерно по хеН!. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Имеем $ = $!+ ... +», где $» — число успехов при й-м испытании, так что $» независимы и одина-, ково распределены, РЯ»=1)=р, Р(я»=0)=г/, М'»=р, РК~=рд. Подставляя эти значения в (48), получим на основании тео- ремы 6 равенство (52). 4, Естественно ожидать, что если в условиях теоремы 6 функция распределения Р(~) случайных величин»» имеет плотность р(х), то плотность р,(х) случайной величины»1„ должна сходиться при и-~со к плотности р»(х) нормального распределения. Вообще говоря, это неверно, но во всех прак- тически интересных случаях высказанное утверждение имеет место, точнее, справедлива Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6 и, кроме того, х.ф.
ф(1) случайных величин $» абсолютно интегрируе- ма .на /7!. Тогда плотность р. (х) случайной величины т)„= Я ($» — р)/(и)/и при и-+со сходится к плотности р»(х) = »=1 — е-"/', равномерно- на /7 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы видели в теореме 6, что /, (1) х.ф. случайной величины»), равна /„(/) = (ф(//и]/й)]", где 125 чр(е) — х.ф. случайной величины $а — р, и, следовательно„также абсолютно интегрируема на )(ь Применяя теорему 4 к 7„(~) и е "~' — 'х.ф: нормального распределения, получим' Рп(х) — Ро(х) = — ~ е и" 17 (Г) — е '~~]ПЕ, (56) где Р„(х) — плотность распределения случайной величины ~),. Отсюда сразу для всех хепК, получим. Докажем, что правая часть здесь стремится к нулю при л-~-со.
Пусть е>0 — 'любое. При доказательстве теоремы 6 было. показано, что ~~р" (1/о~/и) — е "~~~-~0 прн а — ~со равномерно в любом интервале 11).ч.Т, Т>0. Таким образом, для любого Т>0 йайдется такой номер п~=ло(Т), что при Л~ле т — 1 ~ ~р" (8/о)/ и) — е н~' ~ й ( —. 2я з' — т (55) бог л — )ф" ( ) — е '~Ж+ — г + ~ ~~р'~ — ) — е ' ~ог~ ~( — зета аат'г~ .
и аэ ' н — е ' М~ —,(е 4 Ш( —, (57) 2п .1 н' .! з' г г' если Т достаточно велико. 126 .Поскольку ~р(0) =1, <р'(0) =0 и <р" (0) = — о' (см. теорему 6), ' .а для функции ф(1) = е "'ы имеем ф(0) =1, Ф'(0) =0 и ф"(0) = — оз/2, то существует такое б>0, что ~~р(1)! <е "е!4. при ~1~(б. Таким обрйзом, ~Ч'(Ив~~и)~<е "'~ при ~1~(ба)гл. (56) Поэтому, для части интеграла (54) по области Т~ ~Ц ~борп будем иметь оценку Наконец, рассмотрим область !1!~боуи.
В этой области аргумент функции Ч" (1/отл) не меньше Ь)0. Покажем, что существует число 8, 0~(1<1, такое, что при !т(» Ь !ч( ) !~6. (58) Действительно, в силу теоремы 4 существует непрерывная -на Я, плотность р(х), такая, что СО ф(1) = ~ еп. р(х)дх (59) ~В Если в некоторой точке 1 (ч(1) !=1, т. е. <р(1) е'", где а— .некоторое действительное число, то 1 = ) ега — ьмр(х)йх= ~ соа(х — а)1р(х)йх= )' сов у1р(у + а) Ну. (60). ' Поскольку ) р(у + а) ду = 1, то последнее равенство можно переписать в виде ) (1 — сов у1) р (у + а) ду = О. (61) Поскольку подынтегральная функция в (61) неотрицательна, то это равенство возможно лишь при 1=0 (если 1ФО, то р(у+а).=0 во всех точках у~Яь кроме, быть может, точек вида у=2пй/1, а тогда в силу непрерывности р(у+а)жО, что невозможно).
Итак, !~р(1) !<1 для всех 1~йь кроме 1=0. Поскольку в силу известной леммы Римана — Лебега 15) 11ш р (1) =' 11ш ( еп" р(х) г(х = О, ~-+ю '+ цц то отсюда следует утверждение (58). Оценим теперь интег-. рал (54) по оставшейся части !1!) Ьогп. Имеем в,.силу (58) ~,ри~ ' ) е Я~,(1< шила ул — !" !'ж1~ +— аУ л. 1 2Л 2п пЬз шФба Уа 12Т !' ~~~~л «)з ! ( !,р(т)!1,+ ! ( з 1~ 2п 2я,',! з !з!з з !амзз У (62) з — УМ~3» — р»1»-~0 при п-з.оо, Взс~ л и з где В„= ~~'„~ Р й» ж ~ 'п»з, то последовательность »-!»=! (63) Х ($»-р») (64) »=! В з сходится по распределению к У(0,1) равномерно на 1т!. Доказательство. Положим ь„» — — — (⻠— )з»), й =1, 2, ..., п, !',»(1) — х.
ф. ~„». 1 (65) Тогда — М ь,» — — М ($» — 1»») — 0 Р ~„» — — Р $» 1 1 л Вз » ! з (66) М! 1.!' = —,М~ $» — М'. з Вз Если 1„(1) — х.ф. 11„, то, поскольку (67) !28 если и достаточно велико. Сопоставляя оценки (55), (57), (62), завершим доказательство теоремы. А Теперь мы избавимся от нежелательного в ряде вопросов предположения об одинаковом распределении случайных величин $» и докажем центральную предельну!о теорему в форме Ляпунова. Теорема 8 (центральная предельная теорема Ляпунова). Пусть ٠— последовательность независимых случайных величин с Мз 1»„Р$,=н,з'н М~$,— 1з ~з(ео, и 1,2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
