Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Фч ч л М; — т; и!ахи р!«Р«! — и!(пав, рмр«; = (22) Е «=1 Я ( ч ч)д~ (~~~~( м ~~)Ма+ чв« а,а + Я (р~« — р~~) т! ) = гпах Я (р<~« — ра«) (М," — т! ) ч,, « а,а у, ч (1 — У,Ь)(М," — т,"). (23) Итак, И2 М)+и ! т+л <(1 У Ь)(ма — т" ) а — люб е. Переходя к пределу в этом неравенстве при и-!-ао, найдем О~М; — тз~ (1 — У!Ь) (М; — т!). (24) Так как Ь)0, то 1 — У!Ь(1 и из (24) следует равенство М; — т;=О. А Примеры. 1. Пусть $ы а=1, 2, ..., независимые целочисленные одина- ово распределенные случайные величины, РЯ,=()=Р» =0,1,2,...,Р,.)0, ~ р, = 1. Пусть т1,=,"~+...+~,.
Докаг=а )кем, что случайные величины п„л=1,2, ..., удовлетворяют условиям (1) и (3) однородной цепи Маркова. В самом деле, т1,+~=т) +$,+ь так что при заданном т1„распределение ~)„+~ известно. Подсчитаем вероятности перехода: Рл=Р(Ч.+.=Лч.=() =Р!(Ч.+Б.+ =1!Ч.=1) = =Р($.+,=! — ) =~ (Р; о!)1, ~0, 1(1; таким образом цепь Маркова однородна.
Матрица перехода имеет внд 0 РаР~ ... 2. Рассмотрим цепь Маркова с двумя состояниями со~ и ым вероятностями перехода Рп=рм=Р, Рм=рз~=Ч (О~Р~-'1 Р+Ч=1) и начальными вероятностями: Р(ы~) г аь Р(еа) =ам а~+аз=1. Найдем матрицу и, перехода через и испытаний, ' абсолютные вероятности р~ и предельные вероятности рь 1=1, 2. Поскольку в силу (8) п,=и~", то нам надо возвести матрицу перехода я~ в и-ю степень.
Для этого рассмотрим лт = 1 РЧ1 как матрицу линейного оператора А в эвклидо- ' ЧР! вом пространстве Лз с базисом 1, = ~ ) и ~,= ~ ). Найдем собственные векторы оператора А: если а = (з11, то я~а= =Хе, и мы имеем систему Рь+ Чт) = )4~ Чь" + РЧ = хЧ. Характеристический определитель )р — Х д отсюда )ч=1, )е=р — Ч (обозначим для удобства р — Чг о) и собственные векторы имеют вид: ет = ~ ), аз= ( ), ' 148 +(Р-й)"), Р =Р21 = — (1-(Р—.4)"), 2 ' (~ и=1,2,.... (25) ф + а,рз~ = — + — (а, — а,) (р — д)", 2 2 ад (26) + а,рм'= — — — (а, — а,) (Р— д)', Таким образом, л ь а Рц =Рм= — (1 2 Далее, Ре = а1Р12 +! Наконец 1йп р,"П 11ш р„" = —, 1пп р," = —, 1=1,2, (27) е-еае е еае 2 аа-еаю 2 й 13. СЛУЧАИПЫЕ ПРОЦЕССЫ Случайные процессы (случайные.
функции) — это случайные величины, зависящие от параметров, принимающих дискретное нлн непрерывное множество значений., В любой автоматической системе, в любой системе, связанной с управлением, приходится учитывать воздействие случайных помех, являющихся функциями времени, температуры, давления н т. д.
Теория случайных процессов находит широкое применение во многих разделах физики н техники. Определение. Пусть (й, Я, Р) — вероятностное пространство, Т вЂ” некоторое числовое множество: Действительная функция $(() =~(4,в), определенная прн (енТ, вена, называется случайным процессом (случайной функцией), если прн каждом 1~7 7(1, в) как функция вен41 является случайной величиной. 144 / В базисе (еье2) матрица п1 линейного оператора А диаго "е г1 От нальна и = ~ ), и поэтому и =п1 = ~ ). Остаетс (О с)' 10 с'7" вернуться к старому базису. Если  — матрица перехода о (е1', ее) к К, 12), то, как нзвостно, п„=В-~л„В.
Найдем В) если В= 1" ан1 то Ве= г, т. е. ("+" =1 н (т б) =, ' (у+В=0 н (у — б=1' отсюда' В = — ( ) н Если ы=ыо- — фиксировано, то'1(1, ые), рассматриваемая как функция Г, 1енТ, называется реализацией случайного. процесса Г(1), или выборочной функцией. Если же фиксировано Г=(ы то случайная величина $((е) называется сечением случайного процесса в точке 1=1ы В каждом сечении распределение вероятностей случайного процесса задается одномерной функцией распределения Г(1, х) =РЦ(Г) <х).
Однако Р(1, х) не дает исчерпывающую вероятностную характеристику случайного процесса $((), поскольку она не учитывает зависимости случайных величин 5(1) при разных 1 (т. е. зависимости различных сечений случайного процесса). Более полно вероятностные свойства $(1) описывает й-мерная функция распределения — функция распределения случайного вектора я(11),...,$(Г~)) для й сечений случайного процесса: Р((ь хп ..., 1ы хе) =Р(4((,) (хь ..., $(1~) (хД. Однако практическое (трименение находят лишь функции распределения первого и второго порядков. Рассмотренные в предыдущих параграфах последовательности независимых случайных величин $ь 5ь ..., $„ или слу-.
чайных величин, связанных в марковскую цепь, представляют собой примеры случайных процессов. Вообще 'любая последовательность случайных величин может быть интерпретирована как случайный процесс, при этом Т=(1,2, ...). Процессы, в которых Т является подмножеством множества целых чисел, называются случайными процессами с дискретным временем, или случайными последовательностями. Переходим-к изучению основных типов случайных процессов.
1.' Процесе Пуассона и процесс Винера Эти два процесса являются наиболее важными представителями так называемых лроцессое с независимыми приращениями. Начнем с определения процесса Пуассона, или пуассоновского потока событий. Рассмотрим некоторое событие А, которое может происходить в случайные моменты времени, и пусть ~(1) — число наступлений события А в промежутке времени длины Г.
Пусть выполнены условия:,, 1) случайные величины $(Ц, 1'=1, 2,..., для непересекающихся промежутков времени независимы в совокупности; 2) для любого промежутка времени вероятность наступления события А в этом промежутке зависит лишь от длины этого промежутка (и не зависит от того, где на оси времени он расположен) — свойство однородности процесса по времени; 3) при 1- 0 Р($ (() = 1) = Л1+ о (1 ), Л > О; Рф (Е) > 1) = о (1), Сформулированным условиям подчиняются многие реальные явления: распад' радиоактивного вещества, отказы радиоэлектронной аппаратуры, вызовы на телефонной станции, запросы на обслуживание станков и т.
д. Теорема !. Пусть выполнены условия 1) — 3). Распределение случайного вектора (а(1!),..., 5(1;)) для непересекающихся промежутков времени является пуассоновским: Рда=й,,...Л(1!)=Ц)= "" а! ь! (1) Доказательство. Ввиду 1) достаточно доказать, что РД(1) =Ц = —,е (2) Чтобы использовать условие 3), разобьем промежуток времени ! на и непересекающихся интервалов Л! длины А=1/и, а затем устремим и- оэ. Событие ($(1) =Ц представимо в виде К(1) =Ц=А!+Ам где, в свою очередь, Ат= 0 (В(Ж,) =1, В(бс,) =1, ...,В(Л,,) =1, (и"" ч) В(Л;„,) =О, ...,В(б, ) =О), (3) т.
е. А! представляет собой сумму всех тех событий, входя- щих в событие Я(1) =Ц, для которых в каждом частичном интервале Л!, г= 1, :,л„ событие А наступает не более одного раза, тогда как Ад представляет собой сумму всех остальных событий, входящих в (а(~) =Ц, т. е. таких, что по крайней мере в одном частичном интервале бн событие А наступает не менее двух раз. Поскольку А,~ Ц ($(Л,') ) 1), то в си!=! лу свойства 3) л и .Р(А.) <Р(0Л(Л;) >1))<Е Раю>1) = т=! ! ! !с! =по !1 — ) =о(1), п- оо. '! л ) (4) Обозначим Ро = Р (й'(с!) = О), Р! = Р ($ (А) = 1) .
(5) Согласно (3) события, входящие в А!, попарно несовместны. Отсюда н из свойства 1) следует, что Р (А!) = С, 'р~! ра ". (6) Из (4) н (6) имеем Р Д(1) = й) = С„' р~~ ра ~ + о (1), и -~- оо. Далее, ввиду 3) Ра — — 1 — Р($(Л) ~1)=1 — РК(Л) =1) — Рй(Л) )1)= =1 — М+о(Л), Р~=РК(Л) =1)=М+о(Л), А=1(п. (8~ Подставляя (8) в (7) и переходя к пределу прн л-~со, как прн выводе теоремы Пуассона (см. $6), получим (2) Рй(1)=й)= —, -". А Р~)' ~И (7у Аргументом 1 случайного процесса $(1) является длинв промежутка времени.
Ввиду однородности процесса в качестве промежутка времени можно взять интервал (О, 1). Обозначим т1(1)=$(1), где аргументом процесса Ч(1) является текущий момент времени 1, так что, например, Ч(1) выражает число а-частиц, испущенных источником к моменту 1, нлн число вызовов на телефонной станции, поступивщих и. моменту времени 1. Случайный процесс Ч(1) называется процессом Пуассона. Точное определение таково. Определение. Случайный процесс Ч(1), 0~1<со, называется процессом Пуассона,-или пуассоновскнм потоком событнй, если: 1) для любых 0~1~<1а< ...-<1, случайные величины Ч(1а) — Ч(1~).-.
Ч(1 ) — Ч(1 ~) независимы в совокупности (такие процессы называются нроцессамн с независимыми прираЩениями); 2) случайная величина Ч(1) — Ч(з) имеет распределение Пуассона с параметром Х(1 — з): Р(Ч(1) — т1(з) = й) = ' е — '" — '. 1 И Если дополнительно потребовать, чтобы Ч(0) =О, то говорят, что процесс начинается в нуле. Если условиться считать каждую выборочную функцию процесса непрерывной справа, то последние являются целочисленными функциями, возрастающими только целочнсленными скачками. ° Обозначим через т время ожидания первого события в пуассоновском потоке событий.
Найдем функцию распределения случайной величины т. Ясчо, что'Р(т»1) =Р(т1(1) — т1(0) =0)=е ~', и, таким образом, функция распреде- Рис. 24 147 лепна времени ожидания равна: Р,(1) = Р(т(() =,1 — е м (9) Следовательно, время ожидания т распределено с плотностью вероятности р,(1) =Хе — ь», 0<1(оо. (10) Точно так же, если время ожидания отсчитывается от произвольного момента 1», то Р(т)~ 1) = Р(Ч(1+ 1,) — »1(1») = 0) = е-"'. (11) Поэтому время ожидания очередного события не уменьшается от того, что это событие уже ожидалось, скажем, и до момента 1». в самом деле, ввиду равенства событий (т — 1»ъ|)П(тъ|»)=(т — 1»М) имеем р(т — ~»э») е хи+»»» Р (т — 1, > 1! т > (Д— Р(т ~~») е-м Р(т > 1) Вероятностный смысл параметра )» определяется равенством Мт =~(р,ЯЮ = ~0е — "'М = —, (13) 1 Х ' о о т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
