Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотрим случайный процесс ~(Г), представляющий собой сумму гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами: Ю= я т1»етч»т, )т(и) = 1 е'4"р()!) »()», (100) где р(А) — некоторая плотность вероятности Доказательство. Необходимость. Пусть Р(и) — корреляционная функция с. к. непрерывного стационарного процесса я(1). Тогда она непрерывна (см.
(95) ), Я(0) = 1. Покажем, что Р(и) положительна определена. В самом деле, каковы бы нн были натуральное п, действительные числа и„, и, н комплексные г„...,г„, будем иметь и й й(и» вЂ” и!)г»г! = Я М($(иЯ(и!))г»г! = »,у=! »,! ! л л % = М ( Я "я(и») я(и!) г» Ц = М1 ~ $(и») г»~ )~ О. (101) »,у=! » ! !68 турального и, вещественных чисел 1!, 1»,..., („и комплексных чисел гь гь ...;г„ справедливо неравенство а Я ~ (!» — Ц г» г; ) О. (98) »,с=! Примером положительно определенной функции ярляется характеристическая функция любой случайной величины. Действительно, в силу определения 1»(!) =Меи» непрерывна и л л Е 1(!» — 1;)г»г; = ~ Ме» ! г»г;= н!» — ! ц . »,/=! ,,=! л = М ~ '~" е"» г»1 ~) О. (99) »-! Мы будем опираться на следующую известную теорему-анализа [41.
Лемма (Бохнер — Хинчин). Для того чтобы непрерывная функция !'(1), — ос<!<оо, такая, что 1(0)=1, являлась характеристической функцией некоторой случайной величины, необходимо н достаточно, чтобы она была положительно определенной. (Необходимость сформулированных условий оче-.
видна в силу примера (99).) Теперь сформулируем н докажем основную теорему тео-. рии стационарных процессов Теорема 5 (Хннчин). Для того чтобы абсолютно интегрируемая на всей прямой функция Я(и) являлась корреляционной функцией некоторого с. к. непрерывного стационарного процесса, необходимо н достаточно, чтобы она имела представление вида Таким образом, согласно лемме Бохнера — Хинчнна, Я(и)— характеристическая функция некоторой случайной величины о, а так как по условию теоремы )т(и) абсолютно интегрируема, ~ ~Р(и)~Ии< оо, то в силу теоремы 4 $ !1 слу чайная величина т) непрерывна, ее плотность вероятности распределения — р(х), и„ стало быть, Я(и) = ( е'и" р(Л)г) Л, (102) причем р (Л) = — ~ е-'"Ч1(и) с(и.
1 2и (103) Й(и) = ~ соаиЛр(Л)йЛ. (104), 169 Необходимость доказана. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть -справедливо представление (100). Покажем, что существует с. к. непрерывный стацио парный процесс, для которого 11(и) является . корреляционной функцией. Рассмотрим непрерывную случайную'величину т! с плотностью вероятности р(х) из (100). Обозначим через $1(1) случайную, функцию, определяемую равенством ~,(1) =еич, — со<1<со. Пусть $з — случайная величина, не зависящая от $~(1) при всех 1~( — ао, со) и принимающая два значения ~-1 с вероятностями 1/2. Положим $(1) =41 (1) х .
Случайный процесс $(1) обладает следующими свойствами; 1) М$(1) =М$~(1)М$з=0, так как МЬ=! 1/2 — 1 1/2=0; .2) $(1) — с. к. непрерывен, ибо М ) ф (1 + й) — й (1) р = М Я. М ) е4~+мч . емч ~э М(емч 1~з ) ~е~з~ — 1~'р(х)йх-+О Ь-~0 а МЦ=! ° — +1 ° — =1; а 1 1 2 2 3) Р(и) =М(й(1 1.и)х(1)) — МЯ.М(е~иеюч е-ич) -Меана ~ ем" р(х) йх, что совпадает с (100).,й), Заметим, что для случая вещественного стационарного процесса представление (100) имеет вид Стационарный процесс, корреляционная функций которого представнма в виде интеграла (100) или (104), называется стационарным процессом с непрерывным спектром, а функция р(Л) называется спектральной плотностью стационарного процесса. Средняя энергия процесса э(1) выражается через его спектральную плотность следующим образом: ОО М~~(1)~*=В(0) = ~ р(Л)(Л (105) (при нашем соглашении о нормировке Я(0) =1). Эта формула вполне аналогична выражению для энергии случайного процесса с дискретным спектром, пример которого рассмотрен выше, и объясняет термин «спектральная плотность»: р(Л) дает вклад в энергию, отвечающий спектральному интервалу (Л, Л+сХЛ).
Величина = ~!Л(1Н и о называется временем корреляции. Время корреляции т дает приближенное представление о том, на каких интервалах времени имеется корреляция между значениями (сечениями) случайного процесса. При существенно больших интервалах парными корреляциями можно пренебрегать. Ниже будут даны примеры подсчета времени корреляции. Одним из важнейших свойств стационарных процессов является их эргодичность (см. ниже теорему 7). Теорема б.
Для корреляционной функции Я(и) с. к. непрерывного стационарного процесса существует предел т 1нп — 1 Я(и)сЬ =О. г ю Т о Доказательство. Ограничимся случаем вещественного стационарного процесса с непрерывным спектром. На основании представления (104) имеем г 1г ее ° О Т," — Г й(и)йи= — ( Ни ГсозиЛ))(Л)ИЛ = ( ' — '" р(Л)ЙЛ = т,) ,),Т Л о О -аю ° Ю ь 1 — р(Л)НЛ+ ( — р(Л)НЛ. (107) ТЛ ТЛ ~Х~~Ь Пусть з)0 — любое. Первый интеграл в правой части (107) оценим следующим образом, учитывая, что ~з(пТЛ~<Т)Л~ 170 для всех Л и Т: Р(Л)'Р~< ~Р(Л)НЛ< —, -б — б (108) если 6=6(з) достаточно мало, поскольку р(Ц вЂ” непрерыв- ная функция.
Зафиксировав такое 6, оценим второй интеграл в правой части (107) — р(Л)йл~ < — 1 р(л);йл ч„— < —, (109) ! ТЛ Т6 .) ' Т6 2 ' 1м~б ~об я(и) =е бы~, ~)0. Его спектральная плотность равна согласно (103) р(л) = — "'~ л'+рб- а время корреляции т=1)р.
6) Если корреляционная функция )с(и) стационарного процесса имеет вид Р(и) =е а~"'соааи, р, в)0, то его спектральная плотность равна, Р(л) Р У' +Р' л (Лб — оР Рб)б+ 46бйб При выполнении условия р«в спектральная плотность сос- редоточена в относительно узкой полосе частот Л вЂ” ы-р и справедливо приближенное соотношение р(л) =— Лб -(- м' л (Лб — в~)б+ 4()бхб 2л [(Х вЂ” в)б+ Я а время корреляции' ! т = — —. л (3 171 если Т)0 — достаточно велико (Тъ2(6(е)з). Из (108) н (109) заключаем, что т 1пп — об )т(и)6и =О.
~ ' (110) т. ТЗ о Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих теорию ста. ционарных процессов. Примеры. 1) . а) Пусть ~(г) — экспоненциально-коррелированный стационарный процесс, т. е. процесс, имеющий корреляционную функцию в) Если корреляционная функция Л(и/ имеет вид вам ! /г(и) = е то р(Х) = — е-й*/з', а т = — 1 Уйф 11 ф' 2 2. Влияние фильтра. Пусть $(1) = Я сй»1(/ — тй), где с», тй — постоянные, й=,1,...,п, причем с» — веществен- ные числа, а й) (/) —.
стационарный случайный процесс, с непрерывным спектром, Мй)(1) =О. Тогда случайный про- цесс $(/), называемый линейным преобразованием процесса й) (1), также стационарен. Действительно, МЦ/) =0, л л Кй (и) = М ($ (иф(0)) = М ( Я с» й) (и — т„) )~ с/ »1 ( — т/)~ = »=! / ! Ф » = Я сйс/М ('ц(и — тй) Ч( — т/)) = ~~!~ ~с»с/Йч(и — т»+ т/). й,/-! й,/=! Отсюда получаем выражение для спектральной плотности процесса $(г). рй(Х) = — ~ е 1 /тй(и)/(и = 1 2п 1 ч! — сй с/ ! Я„(и — тй + т;) е-!йй с(и =.
2п й,/ ! ЯЭ = ~~~~ сйс/е '" '"р ()) =Де»е "~ рч(ц »./. ! й ! Таким образом, спектральная плотность процесса $(/) получается из спектральной плотности процесса й)(1) умножением на квадрат модуля частотной характеристики преобразования (фильтра). А 3. Эргоаичность стационарного процесса.
Оказывается, что аналог равенства (106) имеет место и для самого стационарного процесса $(/). Однако прежде чем сформулиро- 172 вать и доказать соответствующую теорему, мы введем новое понятие: интеграла от случайной функции, так называемого стохастического интеграла.
Случайная функция (случайный процесс) $(Г) — это функция двух переменных: $(1) =$(Г, »»), 1епТ, вен»»; пусть множество Т, ради определенности, интервал [а, Ь1. Даже в тех (довольно редких) случаях, когда р(1, »») как функция 1, йь[а, Ь), оказывается интегрируемой (по Риману) функцией при всех аен1», так что интеграл » ь ~$(1)~(1ж~э(1, е)й имеет смысл при каждом фиксированном они»», вопрос о том, является ли этот интеграл случайной величиной, определенной на ь», нетривиален.
Мы дадим определение стохастического интеграла, основанное на сходимости в среднем квадратичном. Выше (см. (94)) было дано определение с. к. непрерывного случайного процесса. Усилим это определение: случайная функция р(1) называется равномерно непрерывной в среднеквадратичном, если М!Ц1+й) — ЦГ)!» О, Ь О, (111) равномерно по 1еи[а, Ь]. Переходим к определению стохастического интеграла для равномерно с.
к. непрерывной случайной функции $(1). Возьмем произвольное разбиение сегмента [а, Ь1 точками 1». а=1,<1,« ... 1„=Ь, Ы» = 1».ь~ — 1м Л = шах Л (м й = О, 1, ..., и. Составим интегральную сумму а-1 (112) »ь (1») Л 1» — = Ч (Л) а-! т)(»») — случайная величина, М ц(Л) = ~ М5(1»)Л1». Опре»ьа делим для случайной величины $ норму по формуле (если Мйх( оо) !!Ц=~ми .
(113) Так определенная величина обладает всеми свойствами нормы, в частности, для нее справедливо-неравенство треугольника (следствие неравенства Коши — Буняковского, см. 5 9): Й~ — В»!! ~ !! Ь вЂ” Ы!+ !3» — Вз!!. Покажем, что при измельчении разбиения сегмента [а, Ь1 так, что Л-»-О, последовательность интегральных сумм (112) 173 фундаментальна в норме (113). В самом .деле, пусть (Рь) н (1"ь) — два произвольных разбиения сегмента [а, Ь], Л1= =гпах Л(ь Ль= пихб1». Обозначим через (гь) суммарное разбиение, т.
е, разбиение сегмента [а, Ь], в которое входят все различные точки обоих разбиений (1'ь) и (1"ь), тогда если Л=ьпах Мь то Л~ьп(п(бь Ль). Имеем !!ЯВ((ь) Л (ь — ~] В(1ь) ЛЙ1= )ЯБ((ь) В((ь)] Ыь~< ч~~]$(Еь) — я((ь)]Л(ь(аД А1ь=е(Ь вЂ” а) (114) ввиду (111), если Л1 и Ль<б(е), предпоследнее неравенство справедливо в силу неравенства Минковского.
Можно показать [3], что фундаментальная в норме (113) последовательность ь)(Л) сходится при Л-~О к некоторой случайной величине. Эта случайная величина называется по определению ь стохастическим интегралом от $(1) и обозначается ] $(1)ь(ь'.1 Ю Очевидно, что этот интеграл обладает свойством линейности ь ь ь ] (сто,(Ф)+ сь$ь(1))Ю =сь~$,(1)й+с ~$ (1)ьй, (115) О й й и, кроме того, ь ь (116) Теорема 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
