Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 27
Текст из файла (страница 27)
С физической точки зрения именно зто условие позволяет рассматривать $(«) как непрерывно (во времени) меняющуюся величину, т. е. как среднее за время, гораздо большее-промежутка между последовательными случайными толчками. Теорема 3. Пусть выполнены условия (61) — (63) и д((, х((м х««)ыС«а««(«т«ХТ) как функция х и А(х, «)енС««л>(«««Х«), В(х, Г)енС«тл>(«г«ХТ). Тогда переходная плотность вероятности д((, х~(«» хе) как :функция х и г удовлетворяет уравнению — — = — «А«к О)д«« *~~„~« ~- д«дх + — —,(В(х, ()«)((, х)(„хе)).
(64) 2 дх« Доказательство.,Умножив уравнение Смолуховското (56) на произвольную финитную функцию «р(х)енСе («г«), проинтегрируем его по х от — с«« до с«« и, предварительно изменив порядок интегрирования (что возможно в силу финитностн «у(х)), представим «р(х) в виде разложения по формуле Тейлора: «Р (х) «1 (( + 3«, х ((м х,) «(х = ав = 1" ~«*>ь)ао'-ь.*киии,ои.,*«еЮ вЂ” 1Е = ~ «) ((, у(1,, х,) «(р ~ д (1 + Ь, х(«, у) Х Х ~«р(у)+ «р'(у)(х — д) + — (х — у)'+ «р"'(г) — «(х, «у' (у) „, (х — у)« 1 2 а ген(у, х), «з) О. (66) Поскольку (' д(1+ Л,х((, д)~(х=1, то после деления на Л преобразуем (65) к виду Ю () -' ' ' ' х= ц(«+Ф,х(«х«) Ч(«х(« ° хо) «р (х) Ь $60 ее М = ~ у(г, у~го, хо)Ф ~ф'(у) — ~ (х — у)у(Г+ Л, х~(ь у)г( + ее у + — ф" (у) — 1 (х — у)'д(Г+ Л, х~(, у)о(х + г 2 Л,) + — — ! (х — у)' ф"' (г) д (Г + Л, х ~ Г, у) г(х1: (66) 6 Ь 0 В силу фнннтности ф(х) и непрерывности подинтегральных функций можно в равенстве (66) перейти к пределу прн Л-ыО под знаком интеграла.
Получим с учетом условий (61) — (63) до(г 1г 1 дГ М' = ~ д (Г, У ~ Го, хо) ~ ф",(У) А (У, 1) + — ф" (У) В (У, Г)~ НУ. (67) Последний член и (66) пропадает'ввиду (63): 1йп — ~ ~ (х — у)оу($.+ Л, х~г, у)ф'"(г)г(х ~< а о Ь ° е <с1йп — $1х — у~ад(Е+ Ь, х11, у)оЬ = О, А.О Л с = зпр(ф'"(г) ~ с. оо. еел, Правую часть в (67) проинтегрируем по частям, получим с учетом финитности ф(х): ~ д(Г у! Со то) ~ф'(у)А(у Г) + — ф" (у)В(у,т)~ с(у = г г д 1 да = — 1" ф(у) ~ — (дА) — — — (дВ)]4у.
(68) ~ ду 2 дуа Подставляя (68) в (67), найдем ф(х) ( ' " ' + — (у(Г, х11о,хо)А(х, Г))— дг дх СО 161 Е Ю. П. Пытьеа. и. А. Шашыареа — — — (4 (1, х ~ 1,, х,) В (х, 1)) ~ Их = О. ! дь 2 дх~ Поскольку здесь «р(х) — любая.финитная функция, а выра-' ' жение в фигурных скобках в (69) является непрерывной функцией х, то из (69) следует справедливость равенства (64) ль Уравнение (64) называется уравнением Эйнштейна — Фоккера — Планка илн прямым (первым) уравнением Колмогорова.
Это — уравнение параболического типа. По самому смыслу переходной плотности вероятностей следует искать решения уравнения (64), удовлетворяющие условиям 4(1, х ~ 1, хе) ) О, ~ д(1, х ~ Е,, х~) Ух = 1, ~ Ч (г х! (о хо) охо = 1 и начальному условию (см.
ниже формулу (77) ) д (1, х1 Ем хо) ~,=ь = б (х — хо). (71) Переходим теперь к выводу обратного (второго) уравнения Колмогорова Теорема 4. Пусть выполнены условия '(61) — (63) и 4(1, х~(м хо)е.-Скин(Я1Х,Т) как функция хо и йь причем зцр ~ — ~ Соо, 1че1,. Тогда переходная плотность вероятности как функция хо и 1з удовлетворяет уравнению ювр;,~~ хд, ~е., (72) д4 Доказательство. Взяв Л>0 так, что 1о+Л<1, разложим по формуле Тейлора переходную плотность вероятности под знаком интеграла в уравнении Смолухавского (56): 4 (1, х ) 1,, х,) = ( д (1, х ~ 1, + Л, у) д (1, + Л, у ( 1„хе) г(у = 60 = ~ д (1, + Л, у.'~ 1,, х,) ~ д (1, х ~ 1, + Л, х,) + 162 дод (( х ! (о + Ь «) + — Ч ' '+ ' ) (у — х)о~ пу г~(у х,).
(73) З дхо Поскольку ~ Ч-(( + Ь, У ! г,; х ) о(у = 1, то на основании соотношения (73) получим Ч У, «! (о, «о) — Ч ((, «! ~о+ Ь, «о) Ь $ Ч(го+ Ь У!(о хо)(У хо)г!У+ дч ((, х 1(о+ Ь, хо) ! д»о Ь + — ' ' ' ' — ! Ч((о+А, У)(о хо)(У вЂ” хо)'о(У+ -~ — ') пь*-'оФ-"-оо.оо.о~о.*оь — ~ оо.
~то~ д»', условие зпр Ч~ ' ' ' < с для всех «Ело ~ д»З~ Используя (77) 163 Ь>0, таких, что оо+Л(Г, и условия (61) — (63), перейдем в (74) к пределу при Л-о-0, получим уравнение (72) дЧ(о,х!оо ° »о) 4 о "(, дч(о,х!(о «'о) + д~о, дхо! + В(хо,1о) д~ч(о, «!оо, хо) . 2 дхо Уравнение (72) 'следует решать в обратную сторону по времени, для (о;а(, при этом решение Ч((, х)(о, хо) снова должно быть подчинено условиям (70) и (71).
Пусть в начальный момент (о задана плотность распреде- ниЯ веРоЯтности Р((м х) слУчайной величины Ц(о). Тогда двумерная плотность вероятности для произвольного момента 'времени (~ (о и начального момента (о равна Ро((, х; (о, хо) =Р((о, хо)Ч((, х!(о,'хо), (76) а одномерная плотность случайного процесса $(() для момента времени ( равна согласно (51) оо РоУ.х) = ~ Р((о хо)Ч(( х!(о хо)о(хо. Если мы теперь уравнение (64) Эйнштейна — Фоккера —.Планка умножим на р(1„х,) и проинтегрируем по хо, то в силу (77), очевидно, найдем, что плотность р1(1, х) удовлетворяет тому же уравнению М дх 2 .дхо = — — (А(х, 1) р,(1, х)) + — — (В(х, 1)р,(1, х)). (78) Решение уравнения (78) должно удовлетворять условиям ФФ р, (1, х) ~ )О, ~ р1 (1, х) йх = 1, рх (1, х) ~, ь = р ((„х).
(79~ Примеры. 1. Пусть марковский процесс однороден по времени, т. е. а(1, х!со,хо) =д(х~1 — 1о,хо). В этом случае в-условиях (61), (62) функции А и В не зависят от й Пусть, кроме того, одномерная плотность р( также не зависит от времени (стационарный марковский процесс)-. Тогда уравнение (78) записывается в виде — 1А(х) р (х) — — — (В(х) р,(х))1 = О. (80~ дх [ 2 Йх Если на границах изменения х (т. е.
области значения процесса ~(1)) поток Ар,— — — (Вр,) равен нулю, то в силу 1 2 дх (80) он равен нулю всюду А(х) р,(х) — — — (В (х) р,(х)) = О. 1 о' (812 Интегрируя уравнение (81) (для этого полагаем о=Вро), получим р,(х) = — ео В (х) с — постоянная, определяемая из условия нормировки ~(79). Физическим примером, в котором существует стационарное распределение р,(х), является броуновское движение частицы над отражающей границей при наличии силы тяжести Здесь А= — тд.
Ясно, что на отражающей границе выполнено условие обращения потока. в нуль, так что уравнение (81) имеет место. Выражение (82) с постоянными А и В дает (83) р,(х) = се т, е, мы получили барометрическую формулу. Известно, что В=2йТ, й — постоянная Больцмана, Т вЂ” абсолютная температура. Итак, р,(х) =се хг (84) 2, Рассмотрим марковский процесс, однородный по координате: д(Г, х11о, хт) =д(1, х — ха1го) В этом случае в условиях (61) и (62) функции А и В зависят лишь от г' и уравнение '(64) имеет вид дд (6 х — хе)Ь) = — А (г) — + — —. (85) де В(0 дтпл дг дх 2 дхт С помощью замены независимых переменных (х, г)-+(у, т) по формулам с ( у=х — х,— ~А(з)1Ь, т= ~В(з)гЬ, (86) ь о приходим к уравнению теплопроводностн дч 1 дд (87) дт 2 ду» Его решение, удовлетворяющее условиям (70) и (71), имеет внд Х. о(т у) а хт 1г' 2ат или в старых переменных д(1, х — х,1хе) = = ~2п ~ В(з) гЬ) 'ехр ( — — (х — ха — ~А(з)1Ь/ ~В(з) 1Ь~.
а ь ь (88) Пусть, в частности, коэффициент сноса А(г) =О, а В(г) = = — сопз1. Тогда (х-хднф 1 д(1, х — х,~г,) = е ХВП вЂ” Ь1 . (2п В(1-1,1) Пх Отсюда среднее смещение частицы равно нулю, а средний квадрат смещения частицы равен В(г — Го), т. е. растет пропорционально времени. Этот результат впервые был получен А.
Эйнштейном. 3.' Стационарные процессы В математических моделях, описывающих ряд явлений в радиофизике, в теории квантовых генераторов, в астрономии 166 . и геофизике встречаются случайные функции, при изучении которых нельзя пренебрегать эффектами последействия. Наиболее важными среди них являются так называемые стационарные процессы.
Для их описания наиболее естественно рассматривать комплексные случайные величины — напомним соответствующее определение: комплексная случайная величина $=т)+(Ь вЂ” это пара (ц, Ь) действительных случайных величин, относительно их совместного распределения не делается ннкакнх.предположений, (,=ц — (Ь, произведение Чс= ~$~' играет ту же роль, что и $' в действительном случае, так что, например, 11$=М[(й — М$) Я вЂ” М~)1. Дадим теперь определение стационарного процесса. Определение. Случайный процесс $((), †с(<со, называется стационарным, если математическое ожидание М$(1) и дисперсия 0$(г) не зависят от г, а корреляционная функция случайных величин $((+и) и $(1) зависит лишь от и, т. е.
М$(г) =МЦО) =а, (89) (90) ПИ) =Ж(0) =о', й [$ (1 + и1, $ (()! =— м М [($(Е+ и) — М $((+ и)) Д(1) — М я(1))1 = К(и). (91) Не ограничивая общности, будем считать, что а=О; о'=1 (достаточно от Ц() перейти к центрированиой и нормирован- ной слуцдйной функции [$(г) — а]/о). Тогда Р(и) =М(4((+и)$(г))=МЦ(и)з(0)), (92) Я(0) =М($(0)$(0))=05(0) =1. ' (93) Из определения (91) следует, что если я(1) — вещественный процесс, то Я (и) — четная функция. Излагаемая ниже теория стационарных процессов называет- ся корреляционной теорией ввиду того, что она выражается в терминах свойств корреляционной функции Я(и).
Определение. Случайный процесс называется непрерыв- ным в среднеквадратичном (с. к.), если для каждого 1, — оо(((оо, М~$(г+Ь) — И(() ~з-~-0 при Й-~-О. (94) В дальнейшем будем рассматривать только с. к. непрерыв- ные стационарные процессы. Для с. к.
непрерывного стацио- нарного процесса корреляционная функция Я(и) является непрерывной функцией и. В самом деле, используя неравен- 166 (95) где Х» — действительные числа, т1» — некоррелированные случайные величины (комплексные) с нулевым математическим ожиданием: Мт1» — — О, М(т1»т1т) =О, й~1, й, )т= — п,..., п. Тогда » М$(Е)= Я е""МЧ»=0, (96) » » М(я(1+и)$(1)) = Я ~»" ео»"""т '"!' М(т)»т)т) = »л /-» » е' »" г» = Й (и), где Рт»=М[т)»~', й= — п,...,п.
Таким образом, $(г) — стационарный случайный процесс. Он служит примером случайных колебаний (например, в электрической цепи или нагретой плазме). Его составляющие — гармонические колебания. Величину Мрй(г) [' называют энергией стационарного процесса. Из (96) видим, что (при и=О) М[Ц()[ = Я Г„'= т[; М~п,Р, (97) т. е.
энергия стационарного процесса $(1) складывается из энергий его гармонических составляющих. Значения Х» называют частотами, а их совокупность Х „,., Х» образуют частотный спектр стационарного процесса $(1). Для дальнейшего нам понадобятся некоторые сведения о положительно определенных функциях Определение. Непрерывная функция 1(т), — со(е(оо, называется положительно определенной, если для любых на- 167 ство Коши — Буняковского, получим [)т (и+ д и) — 1т (и) [ = [ М (Ци + Д и) ЦО)) — М ($ (и) $ (0)) 1 = = [М([$(и+ Ди) — $(и)1$(0))[<(М ) $(0) [т х х М Я(и+ ди) — 5(и)[')ье — т-0 при Ди-мО в силу (94). Пример ста ц ион ар ного процесса с дискр е т н ы м с п е к т р о м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
