Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1! + 2 2 (л! + л) 2. 1„-распределением с п степенями свободы называется распределение случайной величины 1,=$/!), где АУ(0, 1), и= = ~' Х,'/л,Х, определено в 1) и $ и т) независимы. В силу последнего условия случайный вектор ($, т1) имеет плотность р(хна) =Р!(х!)Р (хз), а плотность частного $/!) 'определяется на основании формулы (65) й 8 ° Ю о л.( !-л С*)=)лм~„ь!л — 1 л! >р„(ла. л6! ° В где Х!з, Х з определены в 1) и независимы.
Положим для краткости гк =з), Каз/Й=$!, у з/л!=$!. Ввиду независимости з! и $з плотность слУчайного вектора ($!, $!) Равна Р(х! х2) = =р,, (х )рз, (х!), а плотность частного 3!/$з равна (см. (56)) ЮФ о р„(х) = ~ хре, (зх) рь (г) !(г — ') з/зз, (гх) рз, (з) !(г. Отсюда с учетом (53) находим при х) 0 — ! — — 1 — — ! з ! 2 ~~ з+!!! г 'и -. г —,— ! — —,(!+ ! '~т) '9) Найдем йз): !з 0)=М 1' — (М))'=М)' — 1 — ) ° 1~ — ) (66) На М!1' = М вЂ”" . М (67) где .г~з Аз+2а < М вЂ” «) «! (68) ввиду (54). Используя (61), находим и ( — )'-( — ") 101 — — ! — — 1 — -! ('"+ ' Г~'+ ), (64) г~ — ) г~ — ") и р„(х) =0 при х~0..
Далее, в силу (54) и (62) м)=м — "" =и 2' и— (65) — — +2 ~е ~В ( — )' ' ( — ) '. ~~-*22 'Д.= г( — ) -("' ', )— .2 ) /т~ ' (т — 4)(тя — 2) ' г( — ) (,2~ Собирая выражения (66) — (69), получим при гп>4 (69) (70) 5 10. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Стандартное теоретико-вероятностное заключение — вероятность события А равна р — не позволяет, как правило, предсказать, произойдет событие А или нет. Исключение составляют лишь те случаи, когда р либо очень мало, либо очень близко к единице. При этом можно утверждать, что событие А практически невозможно или соответственно прак* тически достоверно.
Так, например, если подбрасывать монету 1000 раз, то событие,'состоящее в выпадении герба все 1000 раз, можно считать практически невозможным, а событие, состояшее в том', что герб выпадет хотя бы одни раз,— практически достоверным. Мы рассмотрим ряд результатов теории вероятностей, известных под названием «законов больших чисел» и поэзо: ляюших делать подобные предсказания. Всякое утверждение ' о малости некоторой величины естественно формулировать в терминах предельного перехода. Мы введем здесь два вонятия сходимости случайных величин: сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью единица (или почти наверное).
Разумеется, если речь идет о последовательности случайных величин, то предполагается, что все они определены на одном и том жа вероятностном пространстве. Определение 1. Последовательность случайных ,величин ($П) сходится по вероятности к случайной величине $, если для' любого е>0 1йп.Рل— $ ~ > з) 0; лбов обозначение $.-~$, п-~се. Р Этот тип сходимости означает, что, каково бы ни было е>0, найдется число У, такое, что для всех лъ У вероятность неравенства ~$,— 4~ >е будет сколь угодно малой, илн, иначе, событие ~~ — Ц)е будет практически невозможным.
102 При этом тот или иной критерий «практической невозмож- ности» обусловливает. выбор соответствуюшего достаточно большого числа У. Полезной в ряДе вопросов (см. ч. 2) является следуюшая простая Теорема 1. Пусть $„-»$, а я(х) — непрерывная функция, э х~Р„так что и=у($) и »1,=д($,).— случайные величины', и=1, 2, .... Тогда т1,-»т1 при и-~. о. и Доказательство. Пусть х>0 — любое, а (~Й1 — ко- нечный интервал, такой, что РЯш() х(2.
Функция я(х) рав- номерно непрерывна на (, поэтому для любого е>0 найдет- ся такое 6=6(е)>0, что для всех х и у, таких, что хео! и !х — У!<6, 1К(У) — К(х) ) <е. Таким образом, !к(н») — а($)(<е,'если $ен( и ~$,— 3~<6. (2) Поскольку $;~-5 при п-~ос, то для указанного 6 РЦ н, — $ ~ < 6) ъ 1 — х(2, (3) если-п>по=по(б,х). Из (2) и (3) следует, что Р(~й(9.) —.аа1< ) - Р((й„— Ц<с 6Л =() )~ Р (~ $„— Ц< 6) — Р (5 ен 1) ~~ 1 — х, п > пн, (3') здесь предпоследнее неравенство основано на- соотношении Р(~$„— $!< 6) = Р(~~„— я1< 6,9 И()+ + Р(1~„— Ф(< 6,$~()<Р(!4„— 'В(<6>$яиу)+ Р(Вен (). Неравенство .(3')- ввиду произвольности е и х доказывает теорему.
Яь В этом параграфе мы будем постоянно использовать неравенства Чебышева (см. 39, (28)): для любой случайной величины $ с конечной дисперсией 119 и любого е>0 справедливо' неравенство Р(( $ — М$ ~ > е)<к1$(ен. (4) Основываясь на неравенстве Чебышева, сформулируем удобный критерий сходимостн по вероятности: Лемма 1;"Если для последовательности случайных величин Ц,) М$„=0, 11$ -«-0 при и- оо, то $;н-О.
Доказательство. В силу (4) и того, что М$,=0, имеем для любого фиксированного е>0 0 < Р (~ $„1 ) е )«~ Я„(е»-н- О, и-«оо, т е. $„— »О, и — «оо. А ' См, сноску $9 и. 1'к 103 Перехбдим к установлению закона больших чисел в форме Чебышева. Теорема 2 (Чебышев). Пусть $!,$ь ...,3„... — последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в совокупности: 1р$!~с, !=1,2, .... Тогда последовательность случайных величин л 1 %1 = — ~ ($,— М$!) сходится по вероятности к нулю при с=! П- оо л и 1пп Р (, ~ — У $! — — т М$! ~ ) е ) = О, е ) 0 — любое. (5) 1=! в='1 Доказательство.
Имеем и МО„= — '~'(М~! — Мй,) =О, ! ! л ,О!)„= — ~~Я, < — -! 0 1 кч сл л' л' ! 1 прн и- со (в силу попарной.независимости $, л л л В ~ а! — МР - ~» В Д! — МЦ = ~ Щ!). с-! к-! ! Отсюда на основании леммы 1 следует утверждение теоремы. Теорему Чебышева можно записать и в виде 1пп Р ~ ~ — ~' $! — — ') М$,.~ <е ~ =1,е >Π— любое. (6) . В ВЮВ л л с=! с=! Следствие. Пусть в условиях теоремы Чебышева случай- ные величины $! имеют одинаковые математические ожида- 1 %ч ниЯ: М,! — — М$е=...=в.
Тогда последовательность т)„= — Д $, ! ! при а-рсо сходится по вероятности к математическому ожи- данию р: Ч. = —,~„В; — рр л- 1 ч-т л р . р Это следствие теоремы Чебышева служит обоснованием правила среднего арифметического, применяемого в теории измерений, которое сводится к тому, что, повторив л раз из- 104 мерение величины 'р и получив в качестве результатов случайные величины $ь $»,-.,$„, за приближенное значение 1» . принимают среднее арифметическое из наблюденных значе- 1 ний р ° вЂ” (е, + ...
+ $ ). Если при измерениях отсутствует систематическая ошибка (т. е. все М~~=1», 1= 1; 2, ..., и), то согласно закону больших чисел при достаточно больших и с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, будет получен результат и, произвольно мало отличающийся от истинного значения р. Важнейшим следствием закона больших чисел Чебышева является .Теорема 3 (Бернулли). Пусть тьг — число успехов в серии из и испытаний Бернулли и р — вероятность успеха при каждом испытании.
Тогда последовательность частот (г(„/и) при и-«.оо сходится -по. вероятности к р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем случайные величины равные числу успехов при й-м испытании, й=1,2,....'Тогда »1»=И+-.+Ь, М~»=р, /)е»=рд (см. 59). Поэтому согласно 'теореме Чебышева (условия которой, очевидно, выполнены для Ь, 1 1,2, ...) при любом е)0 1йп Р ~ ~ ~" — р ~ .» е ) ж » » ее1пп Р ~ ! — ~)~ $» — — ~~~~ ~Мя„~ >е ~ = О.А (8) ,ь»1»-1 В определением смысле эта теорема может служить «аксиомой измерения», доставляя непротиворечивый способ практического определения тех вероятностей, о которых идет речь в аксиоматической теории вероятностей.
Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для фиксированного достаточно большого и очень правдоподобно, что частота ц,/и будет уклоняться от вероятности р меньше, чем на е. Отсюда, однако, не следует, что разность |ч1,)и — р~ останется малой для всех достаточно больших и. Может оказаться, что она принимает значения, близкие к .едннице. Теорема 3 гарантирует лишь, что эти большие отклонения могут' появляться ,весьма редко.
Для полного обоснования частотной интерпретации вероятности (см. $1) желательно иметь теорему, обеспечивающую сходимость . последовательности частот к вероятности. Мы сейчас введем некоторые новые 'понятия и дадим усиленный вариант теоремы Бернулли, удовлетворяющей этому требованию. Определение 2. Последовательность случайных величин (е») сходится к случайной величине $ с вероятностью 1 (илн 105 (11) Я Р (А) < ае »=! то с вероятностью 1 происходит лишь конечное число этих событий.
Доказательство. Пусть событие В, состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий А» с й~и, т. е. в В, = 1) А». Очевидно, что В!:»В»-»... Пусть, далее, событие В »» означает, что происходит бесконечное число событий из А„ и=.1,2, .... Событие В наступает тогда и только тогда,, когда ОЭ происходят все В, т. е. В= — ПВ,. Отсюда в силу.' того, что е 1 106 почти наверное), если Р(вен И:1!ш $„(в).= $(е)) = 1, ' (9) т. е. »»(в)-»$(в) при и-~со для всех венИ, за исключением, быть может, множества Сс:И нулевой вероятности, Р(С) О. Эта сходимость обозначается так: $ -+.$ п.н.
Согласно этому определению для каждого еяИ~С и любого е)0 ~" (в) — $(в) ~~е для всех достаточно больших и. Поэтому если' обозначить через А„„событие А„,,'=(ваиИ: : )4,(в) — 4(е) ~)в)! и=1, 2, ..., то для любого е>0 с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий А„,. Оказывается, что это условие является и достаточным для сходимости с вероятностью 1. В,самом деле, возьмем е=1/Й и обозначим через В» событие, состоящее в том, что происходит 'лишь конечное число событий из А»,!!»=(в~~И, !»»(в)— — $(е) ~)1/Ц, и=1,2, ....
По условию Р(В») =1, В=1,2, ... Очевидно, что события Ве й= 1; 2,..., образуют монотонно убывающую последовательность: В!лВ»-»В»»... Обозначим через В событиеВ= П В». -В силу непрерывности вероят»=! ности Р(В) = 1(гп Р(В») =1, так как все Р(В») =1. Из опре- ' деления события В следует, что В состоит из всех таких венИ, для которых»,(в)-~$(в) при и — гас. Итак, Р(В) =1, и высказанное выше утверждение доказано.
Таким образом, $ -+4 п.и. тогда и только тогда, когда для любого е)0 вероятность того,' что осуществляется лишь конечное .число событий- ~»„— ф~>е, и='1,2,...; (10) равна 1. Лемма 2 (Бсреля — Кантелли). Если для последовательности (А ) произвольных событий А„и=1,2,..., выполнено условие В1 эВз=з... и непрерывности вероятности, получим: Р (В) = 1 пи Р (Вл) . (12) л ла 60 Поскольку Вл лл Ц Аа, то Ь=л (13) Так как ряд (11) сходится, то его остаток ~~' Р (А) -«О ~л при и-л-со и в силу (13) Р(В )- О при п-«лл.
Отсюда-и из (12) находим, что с вероятностью 1. Доказательство..Вводя в случае необходимости новые случайные величины $ =$1 — р, можем считать, что р=О. Обозначим через т(л случайную величину (15) 1 1 НаМ НадО дОКаэатЬ, ЧтО Прн Л-«ло (1/П)П -«О П.Н. ДЛя Каждого натурального л возьмем натуральное число т так, чтобы и1з~а ч: (т+ 1)'. ' . (16) Так как Мт(л=О, то неравенство Чебышева (4) дает (17) Положим 11 ° = п1ах !$ *+ ... +$а!. лЛ+1~Ь~(ю+Пл (18) 107 Р(В) =О. Поэтому противоположное, событие В, состоящее в том, что наступает конечное число событий А„п-1,2,;, имеет вероятность, равную 1, Р(В) =1, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
