Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Равенство (5) нетрудно распространить на случай произвольного конечного числа событий. Именно вероятность того, что произойдет хотя бы одно нз событий Аь ..., А„ равна Р,, ~ = Р (Аг Ц... Ц А„) = ~~ Р (А,) — (6~ к=в л л — ' Е Р(А;() А~) + Е Р (А;"() А~() Аа) + "° 1<! 1(1<» ... + ( — 1) т Р (АЯ... () А„). Действительно, еслн В=А,Ц...ЦА, ь то искомая вероятность по только что доказанному равенству (5) равна Ри ~=Р(В)+Р(Аи)' .—Р(ВПА,).
Но согласно свойству дистрнбутнвностн ~(1.5) В()А,=(АдйА,)Ц(Аз()Я)Ц ° ° Ц(А .~()А.) и если считать, что равенство (6) верно для объединения л — 1 событий, то РШ() Ал) = ~~,Р (А П А.) Е Р(АЯ А () А„) +... ... +( — Ц"-'Р(АгД... ()А,()А„), где прн суммировании индексы 1, 1, ... пробегают значения 1, ..., а — 1.
Теперь нетрудно увидеть, что верно и (6). Согласно (6) вероятность того, что не произойдет ни одного события нз Аь,, А„равна Яро=1 — Р з. Приведем более общие результаты: вероятность Я,, того, что осуществится ровно т событий нз Аь ..., А,, равна 1 г а.. = з„— с +, л.+, + с +,з.+, +... +( — 1)"- С,', 3„. Вероятность Р.„, того, что осуществится не менее гл событий нз Аь ..., А, равна =з — с'з„+, + с'+з„+,+...
+( — Ц"- с",:Г8„. В зтнх двух формулах, которые рекомендуются читателю в качестве упражнения, л1 Зг= Я Р(А~ ()... ()А;.), (т,....;ц =1;...,и; л<с.<...<ю~ 1=1,...,и; Яф — — 1. Пронллюстрнруем - сказанное на примере важной задачи о совпадениях.
Пусть имеется л частиц и п ячеек, причем частицы н ячейки отмечены номерами 1, ..., л. Частицы случайно размещаются по ячейкам, по одной в каждую ячейку, причем все такие размещения считаются равновероятнымн. Назовем совпадением любое событие Аь состоящее в том, что частица с номером 1 попадает в ячейку с номером 1. Какова вероятность'Р,з, хотя бы одного совпадения? Какова вероятность Я,, ровно т совпадений? Событию А~ (ячейка с номером 1 занята частицей с номером 1) благоприятствуют (и — 1)! перестановок и — 1 частиц по 'и — 1 свободным ячейкам. Аналогично событию АДА; (ячейки с номерами 1 н 1 заняты соответственно частицами с номерами 1 и /) благоприятствует (а — 2)! перестановок и т.
д. Поскольку всего возможно л! размещений частиц по ячейкам, то Р(А;)= (и — 1)!/и1, Р(А ()А;) = (и — 2)Ии);.... Так как сумма В! содержит С ! одинаковых слагаемых Р(Аь П... () А~ ), то В!='((и — /)Ъ/и/)С г=1//1, /=1, ..., и. Следовательно, вероятность Р,, хотя бы одного совпадения равна Р„,1 = 1 — 1/2! + 1/3! + ... + ( — 1)"-г 1/п! Любопытно, что 1йп Р 1=1 — е-».=0,6321... (е=,2,718...).
Й +Ф так как выражение для Р~, представляет сумму 1 первых: и+1 членов ряда для 1 — е-г = 1 — — + — — ..; '1 !.! 2! 3! Аналогично для вероятности Я,, ровно гп совпадений 1!ш!~„ „ = — е-', так что для больших и: Ц, — е-' и не ! лчао и! м! зависит от и. Заключая изучение классической теоретико-вероятнрстной модели, приведем поучительный пример, известный как парадокс шевалье де Мере. Пусть одновременно бросаются три игральные кости. Какая комбинация более вероятна: дающая в сумме 11 очков или' 127 По мнению де Мере, эти комбинации равновероятны, поскольку 11 очков (событие А) можно получить шестью способами: 4+4+3, 5+3+3, 5+4+2, 5+5+1, 6+3+2, 6+4+1 и столькими же способами можно получить !2-очков (событие В): 4+4+4, 5+4+3, 5+5+2, 6+3+3, 6+4+2, 6+5+1.. Де Мере полагал, что поскольку число способов, позволяющих получить событие А и В, одно и то же, то равны и вероятности Р(А) и Р(В).
Однако в результате многочисленных наблюдений за игрой в кости шевалье отметил, что комбинация, дающая в сумме 12 очков, выпадает реже, чем дающая 11. Он обратился за разъяснениями к знаменитому Паскалю, который указал, что рассматриваемые де Мере «способы» не равновероятны, поскольку кроме выпадаю-. щих очков следует учитывать, на каких именно костях они выпали. Действительно, занумеруем кости и будем выписывать значения выпадающих очков в соответствии с нумерацией костей. Тогда комбинация 6+4+1 реализуется в шести случаях (641, 614, 461, .416, 164, 146), комбинация 5+3+3— в трех (533, 353, 335), а комбинация 4+4+4 — лишь в од ном (444).
Поскольку в данном случае, очевидно, равновероятны все 6Х6Х6=216 исходов хуз (я=1, ..., 6, у=1, ..., 6, л=1, ..., 6), то понятно, что «способы» де Мере не равновероятны. На самом деле 11 очкам благоприятствуют 27 исходов, а 12 очкам — 25, тан что ' Р(А)=27/216, Р(В)= 25/216. Классическая теоретико-вероятностная модель была развита в течение ХЧП вЂ” Х1Х вв.
на пути естественной формализации некоторых из тех интуитивных представлений о вероятности, которые обсуждались во введении. Основателями математической теории вероятностей считаются Пьер Ферма (1601 — 1665) и Блез Паскаль (1623 — 1662). Размыш.ляя о математических проблемах, возникающих в связи с азартными играми, в 1654 г. они установили некоторые из основных положений ' теории вероятнойтей. Ознакомившись с .результатами Ферма и Паскаля, в разработке проблем теории вероятностей принимает участие Христиан Гюйгенс (1629 †16) и в 1657 г. издает первый трактат по теории вероятностей «О расчетах при азартных играх». В это время Гюйгенс уже'полностью отдает себе отчет в том, что на <амом деле речь идет не об играх, а о глубокой математической теории. Следующий крупный шаг был сделан Якобом Бернулли (1654 — 1705).
Его посмертный труд «Искусство предположения» содержит много новых результатов. Наконец, «Учение о случае» Авраама де Муавра (1667 — 1754) и фундаментальный труд. «Аналитическая теория вероятностей» Пьера Симона Лапласа (1749 — 1827) придают этой науке в известном смысле законченный вид. Однако после Лапласа интерес к теории вероятностей .значительно упал, и в продолжение первых десятилетий Х1Х в. ее даже перестали относить к математическим дисциплинам. Одна из главных причин этого в том, что теория вероятностей, построенная на неудовлетворительных основа-.
ниях, изобиловала парадоксами и противоречиями. В частности, лапласовское определение вероятности события А как отношения п(А)/а, где п — общее число равновероятных исходов, а п(А) — число исходов, влекущих А, исходило из порочного круга понятий, поскольку использовало понятие равновероятности. Кроме того, оставался широкий круг случайных явлений, которые не удавалось г1онять в рамках классической модели. Это относится и к задачам на геометрическую вероятность, рассмотренным во введении. Положение самостоятельной математической дисциплины теория вероятностей достигает лишь в трудах выдающегося русского математика середины Х1Х в. Пафнутия Львовича Чебышева (1821 — 1894 ) и его учеников, выдающихся ученьгх А. А.
Маркова (1856 — 1922) и А. М. Ляпунова (1857 — 19!8). А в результате последующих фундаментальных исследований советских математиков А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова, Е. Е. Слуцкого и С. Н. Бернштейна теория вероятностей, по существу, приобрела тот вид, какой она имеет на сегодняшний день. В частности, аксиоматика теория вероятностей, построенная академиком Колмогоровым, в настоящее время считается общепринятой.
25 $3. АКСИОл!АТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН Пусть !1 — пространство элементарных событий, ~ алгебра событий (подмножеств 11). Следующие пять условий образуют систему аксиом теории вероятностей. 1. 3' является о-алгеброй событий; Алгебра событий У называется о-алгеброй, если для всякой последовательности событий А!~У, 1=1, 2, ..., нх объеднненне А = А! () А,()... = ЦА! также принадлежит ! У, т.
е. является 'событием. Согласно прннципу.двойственности отсюда следует, что и В = ПА; ~У. Действительно, ! В=А!ОАз() .. =А!ПАай Подчеркнем,.что речь идет лишь о счетных объединениях и пересечениях. Если А„, ае:-5, произвольная система событий, то, например, нх объединение () А может н нв аез быть событием. 2. На о-алгебре эГ определяется функция Р( ), принимающая числовые значения Р(А) ъ.О, А~бг', называемая вероятностью и обладающая следующими свойствами.
3. Для всяких двух событий А н В, таких что А()В=)21, Р(А+В)=Р(А)+Р(В), (акснома сложения вероятностей). Отсюда следует, что для произвольного конечного числа несовместных событий А!, ..., Ал / Р(А!~-,.+А„) =Р(А!+.,+Р(А,). 4. Пусть события Аь !=1, 2, ..., попарно несовместны.. А!()А;=8, !Ф1, 1, 1=1, 2 и А=А!+Аз+.... Тогда Р(А) =Р(А )+ Р(А )+ ... = Я Р(А,) (1) ! ! (заметнм, что согласно аксиоме 1 Аее!У ). Эта аксиома определяет счетную адднтнвность вероятности. Может быть, более привычно она звучит как аксиома непрерывности вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
