Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв - Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков (1134036), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Рассмотрим событие А~У, которое состоит из тех пар (в11, 1212), в которых 2111яАенУ1, еп2 произвольно, 1э;2ый. Такое событие назовем цилиндрическим и обозначим А= =А1ХЯ2. Согласно определению (4) Р(А) = ~)„Р.'(( ))) Р. ((в,')) = 1 2 в!Ел» в! Епз Р„((12',.)) Я Р2 ((1э,')) = Р (А1). 1 2 в1 ЕА1 в1ЕОв Аналогично для В=Я!ХА» найдем Р(В) =Р2(А2). Событие АПВ состоит нз тех.пар (в!11212), для которых' а11яА1, е!2ен ыАр, Поэтому Р (А Д В) = ~," Р, ((211)) Р, ((е!)) = 1 . 2 в! ЕА„в(ЕАц Р,((м')) Я Р,((ь22)) = Р;(А,) Р,(А,).
! 2 в1 ЕА, в! ЕАз Следовательно, Р(А()В) =Р(А)Р(В), т. е. события А и В независимы. Вероятностное пространство (2)1, Вг1, Р1) можно считать отвечающим одному вероятностному эксперименту, (222, В г, Р2) — другому, никак не связанному с первым. Тогда вероятностное пространство, отвечающее двум экспериментам, определяется как произведение (Й,У,Р) = =(2«2, У„Р,) х (0.„У»,Р2). Бнлнндрнческне подмножества И определяют собйтня в одном нз экспериментов прн произвольном исходе другого. Пусть, например, бросаются две кости. Вероятность каждого нз 36 возможных нсхо)2ов определим равной 1/36. Тогда события «на первой кости выпало .
четное число очков, на второй — что угодно» н «на первой кости выпало что угодно, на второй — трн очка» незавнсн- 38 мы. Этот результат, конечно, является следствием того, что вероятности совместных исходов определены как произведения вероятностей. Однако в некоторых ситуациях„'анализируя условия эксперимента, бывает трудно заключить, независимы те или иные события или нет. В таких случаях следует действовать согласно определению независимости.
Пусть, например, из колоды, содержащей 52 карты, вытягиваются карты. Рассмотрим события: А~ — дама, Аз — карта пиковой масти. Тогда Р(А~) =4/52=1/13, Р(Аз) =13/52=1/4, Р(А,) Р(Аз) =1/52. С другой стороны, вероятность вытянуть даму пиковой ма- сти равна Р(АДАз) =1/52. Следовательно, события А, и А~ независимы. Определение. События А„, ..., А называются независи- мыми в совокупности, если при любом выборе различных событий Аь,...,Аь из данной совокупности выполняется равенство Р(Аь П Аг Й ° ° ° П Аг ) = Р (Аь) Р(Аь)... Р(А~ь).
(5) Разумеется, из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость. Но обратное утверж- дение неверно. Проиллюстрируем этот факт на примере, принадлежащем Бернштейну. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный (К), зеле- ный (3) и синий (С) цвета, а четвертая — в три цвета (КЗС). Ясно, что вероятность упасть тетраэдру гранью, на которой есть, скажем, красный цвет, равна Р(К) =1/2, Ус- ловная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней уже есть зеленый, равна Р(К~3) = = 1/2. Аналогично Р(К) =Р(3) =Р(С) =Р(К(3) =...= =Р(С(3) = 1/2. Следовательно, события К, 3 и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета, равна Р(К()3()С) =1/4Ф1/8.
Отсюда сле- дует, что события К, 3 и С не являются независимыми в со- вокупности. Пусть (й, У, Р) — вероятностное пространство; Аь ... -, А» — полная группа попарно несовместных событий, т. е. АДАу=И, 1~/, А~+„..+А„=Я, Если Ве=У вЂ” произвольное событие, то из последнего ра- . венства следует В = В() а= В()А, + ...+ В()А' (6) Поэтому Р(В) = ~ Р(В П А/), (7) /=1 илн в терминах условных вероятностей (в силу равенства (2)) Р(В) = !) Р(В( А/) Р(А/), (8) с=! если Р(А/) )О, /=1, ..., и. Равенство (8) называется формулой полной вероятности. Если полная группа попарно несовместных событий состоит из счетного множества событий А„, А,, ..., то В=ВПА!+- +ВПА»+- ~ и в силу счетной аддитивности вероятности отсюда следует формула полной вероятности для счетного множества событий Ю Р(В) = ~~; Р (В)А/) Р(А/), (9) если Р(А/))О, 1=1, 2, ....
Если Р(В))0, то согласно определению условной вероятности Р(В(А»)р(А,) (10) Р (В) или, воспользовавшись формулой (8) или (9) »!» ~») Рн!~~~~ъ Е Р (В ) А !) Р (А/) Формулы (10) и (11) называются формулами . Байеса и обычно используются следующим образом. Пусть известны вероятности Р(А;) попарно несовместных событий А/, 1= =1, 2, ..., образующих полную группу, и условные вероятности Р(В(А/), /=1, 2, ..., события В. Вероятности Р(А;), 1= =1, 2, ..., носят название априорных, или доопытных. Если в результате, опыта происходит событие В, то априорные вероятности по формуле Байеса могут быть пересчитаны в апостериорные, или послеопытные, вероятности Р(А/~В), 1'=1, 2, .... Байесовский пересчет вероятностей наглядно сводится к заменам: Й-~К А»-».А» П В, Р(А»)-» Р(А» П В)/Р(В) = Р(А»!В) ° В качестве иллюстрации рассмотрим з а д а ч у, известную как задача о разорении игрока.
Некто при выпадении единицы получает одну копейку, при выпадении минус единицы платит одну копейку (получает минус одну копейку). По условию игра заканчивается при выполнении хотя бы одного из двух условий: либо игрок набирает капитал а копеек, либо разоряется, т. е. набирает О копеек. Пусть х— начальный капитал, х«:а. Обозначим Р(х) вероятность разорения игрока. Будем считать, что «1» и « — 1» выпадают с вероятностью 1/2.
Обозначим А — разорение игрока, А~— выпадение «1», А» — выпадение « — 1». Тогда А=А[)А1+ +АПАЬ и по формуле полной вероятности Р(х) = = Р(х~А,)Р(А~)+Р(х~А»)Р(А») = [Р(х+1)+Р(х — 1)1 1/2. Общее решение этого разностного уравнения имеет вид Р(х) =сх+д, что совместно с граничными условиями Р(0) = =1, Р(и) =О, дает Р(х) =1 — х/а, О~х(а. $.5.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАННН Рассмотрим дискретное вероятностное пространство (Й, У, Р), в котором Й=(ыь ы», ...,), У состоит из всех подмножеств Й и вероятность Р определена для каждого элементарного события в~сей равенством Р((аД) =рь = 1, 2, ..., Я р~ = 1. Будем считать, что вероятностное про! странство (Й, У, Р) сопоставлено опыту 5, а аь вм ...— возможные исходы 8. Тогда опыту 5, повторенному дважды, должно быть сопоставлено вероятностное пространство (Й» Я» Р») = (Й У, Р) Х (Й, (х', Р). Элементарными событиями теперь будут упорядоченные пары исходов (в;в~) ~ евйХ Й =Й», ог» = х Х сг.— о-алгеброй подмножеств Йь Вероятность Р» на У» можно определить многими способами, которые, в свою очередь, определяются условиями проведения опытов. Однако если исходы первого опыта никак не влияют на исходы второго, то согласно результатам предыдущего параграфа следует положить Р»(((ь»еД)) =р;рь 1, 1=1, 2, ....
Там было показано, что так определенная вероятность на У» отвечает условию независимости опытов. События, связанные с каждым опытом, являются цилиндрическими множествами Йь Очевидно, л раз независимо повторенному опыту 5 отвечает вероятностное пространство (Й„,(х„,Р„)= [Х(Й,"'г, Р)~", в котором Й„ = [Х Й)",Я„ = [ХК)", а вероятность Р, задана равенствами Р„(((акая..ы»))) =р.р;-Рм 1,1:" ~=1 2 - (1) 41 Определение. Пусть (1», Зг', Р) — дискретное вероятностное пространство, й=(а~, сор, ...), Р((ыД) =рь 1=1, 2, ..., р~ = 1.
Последовательностью и независимых испытаний /=! называется вероятностное пространство (й,, зт „, Р„), элементарными событиями в котором являются последовательности (е;,оь...а;„) и вероятность определена для каждого элементарного события равенством (1). Последовательность независимых испытаний называется схемой Бернулли, если й=(вь ез), т. е. если опыт 5 имеет лишь два исхода.
Обычно в схеме Бернулли исход»ч называют успехом и обозначают соответствующую вероятность' Р((а~]) =р, г»р называют неудачей, Р((фз)) =1 — р=д. В серии из л независимых испытаний в схейе Бернулли 1)„состоит нз 2" элементарных событий, причем Р„(((ми мь... »л„))) = Р'Ч" где л — число успехов в последовательности »л„ »ч„ ...,м~ исходов. В качестве примеров схемы Бернулли можно привести опыт с бросанием монеты или игральной кости.
В последнем случае можно считать, что »ь — выпадение одного очка, вз — невыпаденне одного очка. В связи со схемой Бернулли найдем. вероятность того, что в серии из а испытаний успех наступит й(а раз. Поскольку при этом не имеет значения, когда именно в этих испытаниях будут наблюдаться и успехов, то событие А,,' состоящее в наступлении й успехов, является объединением всех различных событий (»ч',вь „..»ч ), в которых »ч встречается й раз.
Всего таких элементарных событий в А» С ", а поскольку они несовместны, искомая вероятность дается равенством Р„(Ад) =Р (Ь) ~ср»д„— ъ й О 1 и (2) В частности, вероятность не иметь ни одного успеха равна д", и, следовательно, вероятность иметь хотя бы один успех равна 1 — д". Совокупность вероятностей р,(й), й=О, 1, ..., и, называется биномиальным распределением. Такое название связано с тем, что вероятность (2) является общим членом разложения бинома л . 1=(Р+д)"=~С„'Р~д-.
1=» Это равенство в данном случае является отражением того факта, что в серии из п независимых испытаний Бернулли 42 исходы, содержащие'О, 1, ...„п успехов, образуют полную группу попарно несовместных событий. Рассмотрим отношение р„(А+ 1) п1р»'»''Ч" ' » Ы(п — »)1 р(а — ») р„(») (»+1)1 (л — /г — 1)1 п1 р» д" » д (»+ 1) Так как неравенство р~(/»+1)/р,(й) >1 эквивалентно ир — д> >/», то вероятность р~(п) возрастает при переходе от й к /г+ 1, если ир — д>й, и, наоборот, убывает при переходе. от /» к й+ 1, если пр — г/- й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
