С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Условный характер агой величины не позволяет определять с ее пом» иыо точность решения; величину з здесь следует рассматривать скорее как параметр, с помощью которого определянлся все другие характеристики пограничного слоя. Как уже отче шлось, вместо (4.14) л>ожно пользоваться дружна интегрзльнымп сооюн>шениячи, или несколькими нз нпх одновременно. В частности, беря > (5) в виде У( ) 1 (1,)в и (1 «)в и удовлетворяя одновременно сооюшшениям (4.14) и (4.15), легко найти для парсметра а и величин 3 и тв значения: .х ГГ РЕ!>в а = 1,143, 6= 5,603 $>> — и тв — 0,3314 1>г Послелний результат почти совпздает с точным решением.
2. Пряблнжйнный расчет пот»аничного слоя на плоско>а криволинейном контуре. Рзссмзтривзя задачу об об>текзнии произвольного контура маловязкой жидкостью, будем, как прежде, считать скорость течения иа внешней границе слоя (>'(х) заланной. Ввелем для сокращения последук>щих записей обозначения: ~(х)= —, ) (х)=(l'(х) — =(У', (! 45) и положим, что и в данном случае распределение скоростей в слое имеет вид: т>„= (.(у(г!).
$ 12~ пгннлижйнный глсчйт с понощью пнткгг. соотн. 1гу о 1 158 гстлновпгшеесв течеш!е В погглничном слое (Гл ° ш Граничные условия, используемые для определения 7(г), булут: при 71 — 0 Г.—.= О, /' == — Л, Г"' = О, (4.48) при г=.1,'==1, 7 =О, Г =О, ! где штрихи ознзчшот производные по в. Условия (4А6) вытекают из (4.43) и (4.43'); при этом принято во внимзниг, что в данном случзе (7' ='- О, вследствие чего урзвясние (4.09) при г)=О лает /" = — 'л. Рассмотрим решение, основанное нз представлении 7'(г1) в ниле многочлена, причем остановимся, кзк это было сделано К. Польгаузеном, на много пене четвйртой степени.
Удовлетворяя тогда первым двум из условий (4А6) нз стенке и трем — иа внешней границе, получим: /12-3-Л Л А — в 3 3 Ь вЂ” Л л т .==(7:.— 'г — —, г — —,— гз — '; —. гл~. (4.47) г Л О ! ~ Г Подстзнляя это значение пг в интегральное соотношение (434), придем после несложных расчетов к следующему дпфференцизльному уравнению первого порядка: ~ГС «О) (7" — --:= ' — + — Г(Л), л (1 (7'"" где ин (8072 — 16704) + 47, ЗЛЕ ДГ Лз) сП) =- --' (12 — Л) (1),76+ .Л (4.48') Уравнение (4А8), которое служит для опрелеления "„з слеловзтельно, и о, является нели ней н ым. Лля каждого данного обтекаемого контура, т. е.
длн данного (7(х), это урзвнение должно Г>ыть проинтегрнронзно тем или иным графическим или численным методом. Это обстоятельство в знзч~лтельной мере услолсняет расчет и снижает практическую ценность метода. Пля интегрирования (4А8) необходимо иметь какое-нибудь начальное значение ~. Примем зз начало отсчета расстояний ш перезнюю критическую точку, Тогда ири х= О будет (7=; О и [/') О.
Тзк кзк из физических сообрзженин следует, что 8, а значит,"', и нигде не должны обрзилаться в бескннечность, то из (4А8) вытекает, что должно быть л(Лз)=АЛ, 12) пгизлпжкнный глсчйт с помощью интвгг. соотн. 109 где 1р — значение х при х=О. Решая соответству>о>цее кубическое уравнение, пай>ем, что его корни будут: 7,052; 17,75 и — 70 Последний корень не годится, поскольку он дает прп х= — О О'(О, что находится в прож>воречип с условием, указанньш вьш>е. Если допустить, что 'хр- — — 17,75, то тогла при перемещении от х.=О до тгщки лини>р>ума давления, тле У =О и, следов;цельно, «=0, мь> пройдем через значение « = 12, ири котором, как вилно пз (4.48'), будет ау= со, а это по предыдущему невозиоза:о. Слсловательно, иеобхолимо принять: прп х=О ), =7,052 7,0рй пш чр ПБ " -= ~Г~О> При этом прав>я часть (4.48) в точке х=-О обращается в неопрелелйнность, раскрывая котору>о, найдем дополни- тельно при х = 0 „"', =-= — 5>.80!вЂ П "(О> (7' й» Имея указанные значения .р и ч', при х=О, р>о>кно ш>тсгрвровать уравнение (4.48) графически или шсленно ').
Для определения л>еста отрыва пограничного слоя, используя условие (4,03), найдем из (4.47): >., = — 12. :-)то значение в дна с лишнич раза превышает значение )., - — 5,4, получен>.ое экспериментально в случше обтекания эллиптического цилиндра. К, Польгаузен проинтегрировзл )равнение (4.48) графически для случая оотеканпя круглого цилиндра, применив метод изоклпн; при этом выражение (7(х) было взято в виде (4.38). Полученное им значение угла отрыва >р, — 82о, хорошо совпалаег с экшюриментзльным.
Это объясняется тем обстоятельством, что в случае обтекания круглого цилиндра в области — 4 ( 'х ( — 12 растет очень быстро и поэтому значение х при ) = — 12 мало отличается от значения, ') Пример численного интегрированна уравнения (4Л8) соаер. жится в работе А. П. Мельникова «К теори:> пш раипчпого слоя крыла>. Труды Ленингр, ни->а инхп гража, воза.
флота, .Хр 12, 11>87. другой пример численного иигсгрирспыиия того же уравнения ааи в работе А. Н. Александрова (Жури. геыи>ч, фнзп«и, г. '>Г!11, выи. 22,. 1988). !70 гстьновивгихяся тячхния в погяхнпчном слоя (гл. ьч напринер, при Л= — 5. Однако профили скоростей в облаем! возр;ютзния давления особенно вблизи х„полученные по расчетам К. Польгаузена, значительно расходятся с теми, которые да!от более точные расчеты по методу, изложенному в п.2 811, В качестве второго примера К. Польгаузеном рассмотрена залача о течении между двумя наклоненными друг к другу плоскими стенками (плоский диффузор пли конфузор).
Эгот случай интересен ецге и тем, что здесь уравнение (4.48) удзется точно проинтегрировать до конца. Прим и точку О за начало отлета расстояния х и обозначим расстояние ОА от О ло входного сечения через гь (фнг. 28). Положим далее, цо во внешнем потоке имеет место потеюгиальный закон распоеделения скоростей Л'а(7о (7 (7= —, соответствую!цпй расходяилемуся теченшо (лиффузор). Фиг. А нг.
28 Подставляя это значение (У в (4А8) п принимая во вниманне обозначения (4.45], придем после несложных расчвтов к уравнению с разделяюьИЛмися переменными: Лл Ла+ 86,2Ы вЂ” 2276,21. -! — ! 8 144 Лх (Л+ !7,761(» — !2! Интегрируя это уравнение при услов!ги Л=О (о=О), когда х= гм получим: 167,86+ Л ! О 892 1 д — 2цьзЛ+ !68 2 — 0,168 '!агс!К1,79 — агс!и (1,79 — 0,15812)1. Для абсциссы !очки отрыва, полагая Л = — 12, найдем из предыдуилего вырзженпя значюгие: х,= 1,214га (4. 49) вли Г х =0,2!4 г, (4. 49') $12) пгизлижвнный Рлсчвт с помощью пнтегг.
понти ° Л1 л где х,=х,— 㫠— расстояние точки отрыва от входного сечения, Аналогичным путам нахолится решение уравнения (4.48) в случае сходящегося течения (конфузор); прп этом полагается ~,г Течение в данном случае оказывается безотрывиым, так как ни при каком действительном х 2 не будет равно — 12.
Заметилд что в последнем случае полные уравнения пограничного слоя (4.09) могут быть точно так >ке проинтсгрированы до конца. Прп этом профиль скоростей в пограничном слое, даваемый приближенным решением (4.47), где 8 определено из (4 48), хорогпо совпалает с тем, который дает точное решение '). Из указанных примеров можно сделать вывод, что рассмотренный метод даст лостаточно удовлетворительные результаты для течений в облзстя падения давления (конфузорная область). Однако в области возрастания давления (диффузорная область) точность метода нельзя считать удовлетворительной. В добавление к указзнному вып~с отметим, что в случае обтекания злллптпческого пилпнлра (см.
стр. 163) условие )., = — 12 приводит, в противоречии с экспериментом, к выводу, что течение является вообще безотрывным. Практически методом, применйнным Польшузеном, поясно пользоиаться для расчета пограничного слоя в области от передней критической точки до точки минимума давления, применяя в области возрастания давления какой-нибудь другой метод, например метол, изложенный в п. 3 () 11. Прн этом все конкретные расчеты, кзк уже отмечалось, усложняются тем обстоятельством, что они связаны с интегрированием нелинейного уравнения (4,48) и требуют в общем случае применения достаточно громоздких графических нли численных методов.
Уточненшо методов расчета, основзнных на использовании интегральных соотношений, и рззработке новы.с приближанных приемов решения посвягцены исследования многих советских ученых. Приближенный прием интегрирования уравнения (4.48), основанный на замене функций, входягцих в правую шсть ~) См., например, вышеянтяровзниую книгу Л. Г.
Лойцянского «Азродинамика пограничного слоях, стр. 18!. 172 хсгхносившгвся тгчгниз в погглничном слое !гл. иг у'рэвнешш, некогорыхп олизкими к ним,линейными выраа енияхш, разработал проф. К. К. Федяевский '). Проф. А, Л, Космодемьянский з) в своих расчетах, удовлетворяя первым двум из условий (4.46) при г! = 0 и при т = 1, принял в случае криволинейного профили: /(г) = ~1+ чх (1 — г1)а ~ з!и —; г.
При этом для определения " получаегся уравнение, совпадающее ио виду с (4.48), но в котором функции /(Х) и „ (Х) содержат несколько иные численные коэффициенты. Место отрыва определяется условием 1, = — 2и, довольно близким к эксиериментэльночу. /(ля решении уравнения (4.48) Л. А. Космод'мьянский пользуется методом последовательных приолижений, принимая за первое приближение значение „" в случае обтекэния пластины. Таким путем им были ироизвелены рэсчйты пограничного слоя на эллиптическом цилиндре и симметричном ирофиле— руле Жуковского.
1! оригинальном методе, предложенном проф. Л. Г. Лойцинским з), зависимость /(т1) представляется в виде: / (т,) = ! -1- а, (1 — г!)" + аа( 1 — т)вы +- иа (! — 7,)"+'-, гле коз 'фиииенты а„ иа и аз определяются из условий (4.46) ири г,== О. Покзззтель степени п рассматривается ири этом как функция Х. Путем использования ршпений уравнений пограничного слон в случае, когда У имеет вил (4.50), устанавливается, что приближенно будет и = 4 + 0,15 Х. Для дальнейшего расчета используется несколько преобразованное уравнение (4.48), в котором вместо Х вводится параметр /= УЗчч-'(х (см. приведенное ниже уравнение (4.55)(. Более последовательно тз же илея решения ироведена в излагаемой ниже совместной работе ГК Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
