С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Излагаемый здесь расчат отн г- )7,и' сится к телу с тупой передней частьк!. Так как х — длина дуги меридиана, то Ла равняется синусу угла наклона касательной к оси тела и, следовательно, ()гга)х — а.= 1. Кроче того, ири х=О, И =-О и и=О, следовательнш 178 устАнОВпншееся течение В пОГРАнпчноы слОе [Гл. !у ло>кительный, и приходим к условию: 4,7!б при х=О ) =4,716 плн йо= О ('(О)' При этом, рэскрьшая соответству!ощую неопределенность в правой часы! (4.59), найдем лополнительио: прп х=О ч;= — 3,420 й (О) — — 2 цэ(0). Имен эти начальные данные, можно для каждого заданного (7(х) и )со(х) интегрировать уравнение (4.59) тем плп иным численным пли графическим метолом.
Для случая плавно обтекаемых тел здесь можно применить метод последовательных приближений, аналогичный тому, котора!й в случае плоского профиля был применен проф. Космодемьянским (см. сноску на стр. 172). Для этого следует в первом приближении положить в правой части (4.59) У' = О, э следовательно, п 1 = О; во взором приближении А в правой части (4.59) заменяется значением, полученным по первому приближению и т. д. й 13.
Расчет пограничного слоя с помощью приближенных уравнений движения. 1. Приблиокенные уравнения движения вязкой жидко стн в плоском пограничном слое н нх ннтегрнрованне. Методы расчета пограничного слоя, изложенные в 9 11, связаны с довольно сложиьпш вычислениями в силу нелинейности уравнения (4.09). Применение интегральных соотношений (9 12) также приводит к необходимости для каждого конкретного коиволинейного контура интегрировать тем или иным приближенным методом нелинейное уравнение вила (4,48) пли (4.59). Излагаемый ниже метод расчета пограничного слоя основан не на рассмотрении каких->шбудь приближенных приемов интегрирования соотвезстну!ощих нелинейных уравнений, а на замене уравнения (4.09) таким приближенным уравнением, которое может быть непосредственно проинтегрирована до конца.
Идея этой замены состоит в том, чтобы в первом из полных уравнений (4.04) учесть прпближйнно не только вязкие 13) глсчйт с помощью и ивлиж. хглвнвний движение 1уя члены, как это сделано в (4.08) или (4.09), но и инерционные члены. Так как ири у=О и =О, то пз уравнения неразрыв- У ности следует, что Дих х )дх о Поэтому уравнение (4.09) можно представить в зиле: у — „" + (ЛГ = Ю т, ~пих дуа (4.60) гле У до„до ди а (4.60'$ Будем в дальнейшем рассматривать пограничный слой конечной толщины о, причем значение 3 булем определять условиими: при у=6 п„=У, — '=О. (4.61) В начале и. 3 ф 11 указывалось, что ири построении приближенных методов расчета пограничного слоя можно иногда с успехом заменять распределение скоростей (или ускорений) и пограничном слое на обтекаемом контуре пх расирелелением в слое на некотором «эквивалентном» контуре.
Пример такого приближенного расчета был, в частности, рассмотрен в п 3 11. В известной мере аналогичный прием используется и в методе Кочина-Лойцянского (и. 3 э' 12). При этом во всех названных случаях ирибли>кйиные замены относятся непосредственно к закону расирелеления скоростей в пограничном слое. Рассматриваемый ниже метод расчета пограничного слоя основан на аналогичном допущении с той, однако, разницей, что вместо закона изменения скоростей производится приближенный подбор закона изменения ускорений в пограничном слое. Пусть для некоторого сечения пограничного слоя на обтекаемом контуре, определяемого коорлинатой ж, скорость внеш- !80 Установившееся чечню!е В погглничном слое )гл, гт о»г» »)ту» — — '.-'- = — ') — ии -- „(т!)1 ! (4.62) где вместо р» введено переменное т! =-.
†.. Из приближенного У уравнения (4.(!2) мы и бу»ем исходить при всех последующих рзсчйтах. Дальнейший расчет требует определения зависимости и „(т!). Как видно иэ формулы (4.60'), эта зависиаи»сть будет найдена, если в свою очередь для кажлого сечения пограничного слоя будет известна зависимость О„(т!).
1'!мея в виду условия (4.61) ° которыми мы определяем верхнкио гранину погрзничного слоя а, примем, что зависямость ст(т!) определяется формулой (4.44). Напомним, что этот профиль скоростей как рзз удовлетворяет условиям (4.61). Итак, положим: — и Ок= —,, (Зт! — т ), (4.63) тле по сделанному основному допущению и= и(м) н О = — 6 (ж). Тогда, пользуясь формулой (4,60) и замечзя, что него потока равна и(х), толщина пограничного слоя 6(ж) и профиль продольных ускорений м„(у). Рассмотрим плоскуьз пластину, обтекаемую потоком, скорость которого на бесконечности й= и(х). Возьмем нз этой пластине то сечение пограничного слоя, толщина которого 6 сошшдает с толщиной слоя на обтекаемом контуре, т.
е. то сечение, где 3 = 4(х). В этом сечении продольные ускорения ы» будут пзменнгься по какому-то закону тп„(у). Вводимое нами основное допущение состоит в том, что при указанных условиях можно приближенно 'принять ш„(у) ='тих(.и). Таким обрззом, чы будем распределение ускорений в каждом данном сечении пограничного слоя па обтекаемом контур~ приближенно заменять распределением ускорений в некотороч сечении пограничного слоя на сооРпы»ствуюшей: эквивзлшыной плоской пластине. !1рн высказанном допущении уравнение (4.60) может быть заменено следующим приближснныи уравнением днижения жидкости в пограничном слое.
в 13) Рлечет С ппмощью птнилиж. КРЛвнеинй движиннк 161 т!' —— -- — — „а е'= — и —,, найдем после несложных упрощений: у„, о' — Г)и 3 а тн = — (13т)з — 3т' -1- та) — —,(7т — (6тз — 7та+ т!а), 16 16 8 3 Подставляя это значение в (4.62) н вводя величину Г, определяемую равенством (4.45), получим: —.— '=Е/ !à — ( — 16+ !8та — 3т!' — т )+ в стад 'Г !б 3 + —, ()ч'( — бтз+7т!' — т!')1 !!нтегрируя это уравнение дважды по т! и удовлетворяя условиям — =О при т! — — 1 и о =О при т,=О, найдвм закон до к распределения скоростей в пограничном слое: .Г1,, /366 3 ! ! .=(7~ — би-~~-,'-т — 3. -+ —.
— — т, + — т)а~+ ~ 16 " (, 35 ' ' 2 ' !6 ' 56 З,Гб 1 7 ! Чтобы довести решение до конца, остается определить 3. Для этого, используя первое из условий (4,61): при т! = 1 и =-. К получим из (4.64) следуюшее уравнение: (l; +л(l,"=Ь, где, как дает подс гбт, (4.65') и = 5,64; Ь = 23,27. Условиями (4.6!) для 6 определяется н профиль скоростей о,= — г к = Г)з!и ( — „ч) Гсм.
табл. У!).Проделанные расчеты показывают, что в е результшы, получаемые прн таком выборе о„нолногтьюсоаланнюгп с теми, которые дает выражение (4.63). Такам образом, оказывается, что прн данных граничных условиях решение практически не зависит от того, в каком именно виде будет представлено о, лишь бы функция ц (т) была достаточно плавной. Интегрируя уравнение (4.65) по х и полагая, что в случае обтекания криволинейного контура величина 3 в передней критической точке конечна, а в случае течения вдоль твердой 162 Усчхнояизшьеся течение в ООГРАничном слйе (Гл. ш стенки — у переднего ее края б = — О, найдем окоичзтельио: л зт Ь и (4.
66) мз где хч — абсцисса передней критической точки в случае обтекания криволинейного .контура или абсцисса переднего края твердой стенки в случае течения вдоль стенки. 1.[склвтчая из (4.64) "' с помощшо (4.65) н вводя параметр 1. = У';, представим закон распределения скоростей в пограничном слое в виде: о„= (7 [(1,621 +-0,261).) т1 — 0,5).г1з — (1, 1т91 — 0,338А> т, -' +- (0,509 — 0,1302] т1я — (0,039 — 0,0111) ть1. (4.67) ) как видно из (465), в передней кригической точке (17=о Ь 1ч = - = 4,13.
Одноврел1енно нетрудно убелиться, что лля значений л 4,13: —.. 1, =-0 формула (4.67) будет давать плавный профиль скоростей бе~ ~очек перегиба. Следовательно, профиль (4.67)прнгоаенлла всего пограничного слои от передней критической точки ао точки отрыва, формулы (4.67] и (4,66) и дают решение поставленной задачи. При этом проведение любого конкретного расчета сводится только к вычислению интегрзлз, стоящего в правой части (4.66). Найдем в заключение нзиряткенис силы трения ит контуре и условие отрывз. Так как Ц(йу),-а .
(,бч,=з то из (4.67) получим: -.„= — (1,621-(- 0,2611) "!~, (4.68) Формула (4.68) вместе с (4.66) определяет значение;„ в любой точке на поверхности обтекаемого контура. В ~очке отрыва, кзк следует из (4.03), будет та =-= О. Тогда из (4.68) находим условие отрывз; 1., = — 6,21. (4.69) Это значение А, довольно близко к величине ).,= — 3,4, полученной экспериментально для случая обтекания эллиптического цилиндра. 2 !3( глсчйт с помощью пгивлиж.
хглвнвний двп кения !63 Несколько примеров расчета пограничного слоя с помощь:о изложенного метода дано нив'е. Во всех случаях получас1ся вполне удовлетворительное совпадение с имеющпмпся экспериментальными данными пли точными решенпямп. При этом все вычисления оказываются достаточно простыгш и не требуют применения специальных численных цли графических методов пли табулированпя таблиц каких-нибудь функций. 2. Некоторые примеры приближйиного расчета цлоского пограничного слоя.
а) Обтекание плоской пластинки. В этом случае имеем У=У,=сопя! н, следовательно, '~.=0. Тогда из (4.67) получаем следующий закон распределения скоростей в пограничном слое: о, == Ув (1,621 г! — 1,001 цх+ 0,509г!" — 0,039тв). Лалее из (4.66), полагая прп х=О о=О, находим: / ~х 3=4,62 Наконец, формула (4.68) лайт: 36 /1~риз Сравнение с точным решением (п. 1 Э 11) дайт вполне удовлетворительное совпадение для профиля скоростей; некоторое отклонение, вполне объяснимое, так как здесь рассматривается конечный слой, а в точном решении — аспмптотическпй, появляется по мере приб:шженпя к верхней грающе слоя; прп этом максимальная величина отклонения не превышает 2,7чю Погрешность в определении т„составляет + 1,2" ~ . б) Течение при линейном законе распредел ения скорос тей во внешнем потоке. Рассмотрнч течение (п.
3 2 11), ирп котором (l = ич — и,х. Подставляя это значение в (4.66), нагщем: Ь, „Ь ",=- — [(! — 'ю "— 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
