С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Прострпнстно между стенками кожухе и писком считлем злполнениым тшловязкой срелой (возлухом). При вращении лиска этл среди будет, с одной стороны, вг!влекл!ься во врпщятельное движение, л с другой стороны, тормозиться крышками кожуха. Будем в лпльнейшем рассматривать слу шй, когда рэсстояшш» от плоскости лиска ло клждой из крышек кожуха велико по срзвненинэ с .голи)иной пгзгрлничногг! слоя (-=- —, » ! — = В этом слу !пе, когда движение установится, Г(е Г)е,' образуется лве погряничных слоя: один нз лиске, а другой н,! крышке кожухи.
Г1ри этом среда, находящаяся мелгду назвзнными слоями, будет грагцаться как тверлое тело с некоторой нш!ерйд неизвестной угловой скоростью и!, меньц!ей, чем угловля скорость диска со,и 'Гакля кертина движения среды меягду сл»ями вштверждвется э .сиерпментпльно '). В результлте нлд погрлничными слоями нв лиске и крьиикс кожуха ~ябрлзуется внешний поток с распределением скоростей.
Гl, = О, сl.= О, Еl ы,г. (4.Ы) !) Р. 5г» и ! ~ т-Г) г и питб Лей.спг, !иг вийем, Млг!ь ниц Мес»., т. 1б, )и 4, !вами, с ~р. !9!. Г'ешеиие рлссметригиемой эпллтчи, п!теллижеиное 1!!ГмьцовьГ!иииоиым, иетг1жепо в цптиривиниий гыше книге Л. Г. Лойцнн кш Х стр. 22! — 22б. ф 14) иоггхнпч»ый сл<н! нз ведшдгошемся диске 197 Так как во внешнем потоке вязкостьш среды можно пренебречь, то закон изменеши! давлении в атом потоке получим, полагая в первом из уравнений (1,47) я=О и заменяя одновременно компоненты скоростей величинами (4.93). Тогда будет; др у2 — = р — я = грг<о!.
(4.94) Такой же закон изменения гралиента давления в радиальном направлении будет, следовательно, и в каждом из пограничных слоев. Начнем с расчета пограничного слоя на диске. Для решения задзчи воспользуемся опять приближенными уравнениями (4.82) и будем искать их решения в виде (4.84). Тогда, принимая во вши!ание зависимость (4.94), получим из (4.82) для определения г!(г) уравнение Яю) = — А + — =-.—: А,. (4.95) Остальные два уравнения сохранят тот же внд, что н в (4.85), При етом А! В н 8е буду.г опять постояннымн. Характер граничных условий отличается в данном случае от (4.83) лишь тем, что при я=8!! будет о =<е,г (вместо — ! и„ == О).
В результате, интегрируя уравнения (4.95) и ппс.чедние два в системе (4,85) и удпвлетв )ряя всем названным граничным условиям, найдем вместо (4.86): 1 !! = —;,— А!01 (е! — д!), Л = !ве — ((ов — м!) (2а! — г!), уз — — —. А!еа (Зя! — 2я!), В = —- 6 з~~ (4.96) 40 (А,!; — ы!) = А! г;,— — ', (3(оп+ 4!е„!н! -'-8ы,). 60 (~ — ы!) я = — (3!е„+ 2е!, ) А,8~. Подставтяя нсе зтн значен!и в равенства (4.82'), получим длн определения А, и 8 уравнения; 193 устлновиашееса ть'!ение В ПОГРАничнох! слОе (гл.
и! Решая эту систему, найдем! 2 (3!ОО+ 4!аа!а! — 7!О1) (Зва+ 2в!) 2 А,— 15 ч О~О+ в1 4-0 2 (!)ва+в!)(во — в!' 2 (Зва+4воа» 7в1) (Зва+2в!12 (4.9?) Для момента сил трения, действующих на одну из плоскостей диска, получим, подставляя в (4.88) величину ?2 из (4.98), значение; — МО = ир?с (4.98) О аа Решение для пограничного слоя на крышке кожуха можно найти из полученных результатов сразу, если положить в них ма =О, Тогда, обозначая толщину пограничного слоя на крышке через Зп а модул момента действующих на нее сил трения через М,, получим из (4.98) и (4.97): М! = Н(айа — „', 81 = — ' —,, (4,89) О1 14 в 1 Во всех найденных выражениях остаегся пока неопрелелйнным значение в1. Для определения этой величины воспользуемся тем соображением, что при установившемся режиме 1 моменты — МО и М, должны быть численно равны, как мо- 2 менты сил действия и противодействия.
В результате приходим к равенству; !ОО В1 В1 6Π— О=(г, в! получим для определения (О уравнение; (3(22+ 4Ф 7) (3(2+ 2)2 (Д ! )О 28 (9й+ 1) Решая это уравнение графически, найдехп 72 =- — Π— 1 91. вг Заменяя здесь ФО и Ф1 их значениями из (4.97) и (4.99) и вводя обозначение (4. 100) $14) поггхничный слой нх вехщхющгмся диска 1зз Подставляя найденное значение го, в (4.97), пол>чим: 3е=2,50 1/ —, (4. 1О1) "а после чего формула (4.98) дает для момента сил трении, действующих на обе стороны диска, значение Мо=! 20 0'у )хрмаз Наконец, для козффициента С, определяемого равенством (4.89), будем иметь'.
1,20 См, =,'.:. й Сравнивая полученный результат с (4.90), приходим к выводу, что наличае кожуха уменыиает момент сил трения примерно на одну треть. Этого уменьшения и следовало ожидать в случае, когда над диском образуется слой среды, вращающийся в ту же сторону, что и диск, Количественно формула (4,102) будет, очевидно, давать преуменьшенное значение С, примерно в той же мере, как и в предыдущей задаче.
Уточнение результата путем подстановки найденного решения в правую часть полного уравнения даЕт более точное значение См )' ГС =1,26. Упомянутое выше приближернйое решение Шульца-Грюнова, связанное с чрезвычайно громоздкими расчетами, приводит к результату С уф~ )х =1,33, хорошо совпадающему с данными экспериментов автора. Однако как результат интегрирования соответствующих уравнений движения зту величину С следует считать несколько преувеличенной, так как приближенное решение Шульца-Грюнова при ы, = 0 (случай, рассмотренный в п.1) дает значение С )Ггс = 1,99 вместо уточнвнпосо результата С,„г)~ )х =1,935. Изложенное решение, являясь несравненно более простым, приводит, кзк видим, к практически вполне удовлетворительным результатам.
По данным о пытов зти результаты будут пригодны для значений 10' == (С ) 1Ог,х При больших значениях (х теченве иа краях диска становится турбулентным, при меньших )с возникает взаимодействие пограничных слоев иа диске и кожухе 200 установившееся течение в пОГРАничнОм слОе 1гл ° ж и вращающееся как твердое телЪ ядро среды между слоями перестает существовать. Так как в упомянутых опытах было И 3 — то можно заклянчить, что схема, на которой по- УГ "0' строено изложенное решение, имеет место приблизительно И 20 при — Р : илп, как зто следует пз 14.101), когда просвет уя И между диском и крышкой кожуха превосходит толщину пограничного слоя на диске примерно в 8 раз. При меньших значениях И отдельных пограничных слоев на диске я крышке не будет, и решение следует строиттм применяя уравнения дви.кения вязкой жидкости ко всему объему среды, заключенной в кожухе, ГЛАВА У.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ. ф 15, Приближенное интегрирование уравнений неустановившегося движения жидкости в пограничном слое. 1. Развитие пограничного слоя при течении, возникающем мгновенно из состояния покоя. В предыдущей главе рассматривались зздзчи об установившемся течении вязкой жидкосщг в пограничном слое. Представляет несомненный интерес рассмотреть теперь, как будет развпватьсн движение жидкости в пограничном слгзе со временем.
Мы начнем с ггзложения приближенного метода региения, аналопшного тому, который для случая установивгпегося движения был рассмотрен в ф 11'), Пусть какое-нибудь цилиндрическое тело, покоящееся в маловязкой жидкости, начинает в момент г = — 0 двигатьсн в нзправленпп, перпеадикулирном ооразующпм, с постоянной скоростью сза. Будем при этом считать, что в начальный' момент во внешнем потоке мгновенно устанавливается распределение скоростей, соответствующее установившемусн безотрывному потенциальному теченпггз идеальной нгидкости, и что поверхность обтекаемого те;ш иредстзвчяет собою в этот момент поверхность разрыва, по одну сторону которой скорости жидких частиц вследствие прилппзнпя равны нулю, з по другую равны скороспг внешнего потенциального потока.
Таким образом, мы пгзлагасм, что в момент г = 0 на поверхности обтекаемого тела огбразуется пограничный слой, толщина которого а ранна нулю. В последукзщее время влияние вязкости распрострзняется на слои жидкости, прилегающие к ') Излагаемые здесь н в и, 2 решения были получены Блазвусок (си. сноску на стр.
)47). йбй неустановизшгеся течение В погвхнпчном стое (гл. ч (5.01) п также функцию тоьз ф(х, т, 1), такую, что дЛ' ' У дх (0.0г) обтекаемой поверхности, и тол!цина пограничного слоя начинает возрастать. Считая, что дая внешнего потока остаатся справедливым уравнение Бернулли, н повторяя рассуждении, приведенные в конце п. 1 й 1О, придем к выво'!у, что в некоторый момент в кормовой части обтекаемого тела может пронзой1и отрыв погрз1пшного слов. В последующем точка отрыва начинает перемешзться вверх по течению, стремясь к некоторому предельному поло кенй!о, соответствующему данному распреденению скоростей во внешнем пол.енциальном потопе.
Иззолкеинзя здесь картина развития со временем пограничного слоя по лтверждается как теоретическими расчетами, так и экспериментом. Пользуясь уравнениями движения жидкости в пограничном счое, рассмотрим, как развивается течение жидкости в пограничном слое со временем; определим также момент начального отрыва и последующее перемещение точки отрыва. Последнее исследование при заданном внешнем потенциальном течении будет носить лишь кзчес!пенный характер, так как нзаичие Отрыва внесет изменения в картину внешнего потокз, что в свою о !средь ш<зжет внияние на харзктер перемещен!и точки отрыва и ее предельное положение. Переходя к анзлпжшескому «сспедованинл рззвипи потрави !ного слоя, огрзнпчпнся первоначально случаем плоско-нераздельного течения и будем считать систему отсчйта, по отношению к которой изучается движение, связанной с движущимся тедом.
Так кзк по сделанному прел!попожению тело движется поступательно с постоянной скоростью У, то выбранная системз отсчета будет ннерциальной. Тогда дая течения жидкости в пограничном слое будут справедливы уравнения (4.08). Прп этом в той постановке зздзчп, которая сейшс рассматривается, заданная скорость течения во внешнем потенцизаьном потоке будет функцией одной только крнвопинейной координаты х, т. е. будет У= У(.с). Введвлл вместо у ,новое безразмерное переменное г1, полагая 8 15) пгивлижйнноя интгггиговлнив Углвнвнпй движгнпя 208 Введением ф мы сразу удовлетворнем уравнению (4.08').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
