С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Положим теперь, что для малых значений 1 функцию ф можно представить в виде следуюшего ряда, расположенного по степеням й ф=2 1г'Ф!Ао(х)уо(т1)+А~(х) Г,(г)1+...(, (5.03) где функции Аа(х),га(т1) должны быть определены так, чтобы было удовлетворено уравнение (4.08). Замечая, что — '= =-у'(т1), — = — — у'(й). дУ (ч) 1, дУ (л) дУ 2 Г'тт где штрих означает производную по ти найдем из (5.02) и (5.03): и„. =- 4 а,г'о + А ~ У' ~) + ° (5.04) , =-- — г У'ч1 1 "и в У,-(-" — "'~, )-(-..
Л . (о04) Потставляя зги значения вместе с (У(м) в уравнение (4.08) и перенося все члены в левую часть, получим после умножения обеих частей равенства на 28 г А а ( т1 ~о + .,—,У о ) + ~ 2А е —" ( Ла /о — У е ) + -(-А, ( — 2у, '+и у,"+ —,, у~'~ -~-2и,— ~~ т-(-... =0, (50з) Из (5,05] видно, что уравнение (4.08) будет удовлетворено при любом законе изменении (У(с) и длн любого 1, если по- дожить А, = Ь, А, = и'„'~,... (5.06) и потребовать, чтобы г (и) удовлетворяли системе обыкно- венных дифференциальных уравнений: уз +2т1го =О, У! +2Ы вЂ” Ч =4(уа — азу — ') 50у) 204 неустлнОнипшееся течение В ИОГРАничном слОе [гл, и Будем ползгатгч что в любой момент времени г)0 для течения в пограничном слое выполнвотся граничные условия вида (4.27): прп 1=0 О =О =-О, при у=-ОО О =К Тогда, нз основании (5.04), (О.04') и (5.06), придем к слелУющим УсловиЯм длЯ уа(т!): при т,=О,Ге —— ,Ге=О, Г>=)'>=О,...
(5.08) при 8 = ск> 7а=!, 7> = — О,... Определив из (5.07) функции Гл(т!), уловлетворяющие условиям (5,08), мы нпйлем выражение т„н виде ряда (5.04), который будет сходиться при лостзточно малых значениях ( и давать такин образом решение поставленной задачи, Поскольку коорлннап,т в выражение (5.04) входит только через скорость внешнего потока (7, то в случае (Г=- сопя! зсе характеристики течения не зазвсят от л. Найденное такич образом решение будет давать закон нарастания погравичнш о слоя аля течения жидкости в.юль неогрюишеиной з обе г>лоронм плоской стенки, а не для случая оотекання пластины.
Имея вырюкепие о„н виде ряда (504), оченилно, нельзя получить решение заазчи о рззештии пограничного слоя на пластине, обтекаемой по>оком шк, как >то показано на фвг. 26 (стр, !47). Перейдем к рассмотрению случшп котла (l является некоторой функцией от лп Ограничиваясь в разложении (5.04) первым членом, получим первое приближение, являющееся, как легко убедиться, решением уравнения (4.08), в котором отброшены все инерционные члены, кроме первого, т. е. уравнения Лент сл оу-' Сохраняя в разложении (5.04) первые два члена, получим второе приб>ли кение, соответствующее решении> уравнения (4.08), в котором в левой части вместо е„и О подставлены знзченпя, даваемые первым приближением, и т. д. Рзссмотрим первые лва пз названных приг>лижений.
Интегрируя первое из уравнений (5.07) и удовчетвория условиям (5.08) для 7'а, найдем: (5 Ог)) 7'а =-.= БН (;), 15) игиьлижяннок интяггигонлн1!я углзнений дзижения 203 где функция яерогпности ошибок Ег1(т1) имеет значение, указанное в формуле (3.57'), Отсюда, ограничиваясь в (5,041 первым членом разложении и принимая во вш~манпе (5.06), будем иметь: тГ,~ = У (х) Ег1 (т). (5.!О) + р ~- Ь (2г1з+ 1) Ег1(т1) + т1е — ' ~ (о.(1) (5.11) постоянные интегрирования а и р оиусловпям (5.08) для у, и имеют значения.' — — 1+ —.
~ = — 1,21221, 7 41 1 =- =-! 1 — 1- —,, := — 0,80364. Входящие в ределякжся по Ограничиваясь теперь н разложении (5.04) первыми двумя членаьш, иолу'шм второе приолиженпе з виде: ИУ . ю',.'=(7(х) Ег1 (т!)+У вЂ” Г; (т1) 1, (5.1 2) лх' где 7",(г1) дается формулой (5.11). Как видим, уже второе приближение имеет достаточно сложное аналитическое выражение, Определение последуюших приближений будет связано с чрезаычайно громоздкими расчатами.
Весьма утомительное вычисление третьего приближения было проделано Гольдштейном и Розенхидом '); дзльнейшие попытки никем не предпринимались Также открытым остаатся вопрос об области схолимости разложения (5,04). ') $. Я о1И в1е! и аии 1„К о хе и И е а а, Ргос. Сашиг. Р!и!.8ос., т.
32, !936. Первое и второе и1тиблих,ешгя пыли получены Блазнусом. Выражение (5.10) дает решение в первом приближении, справедливое для мзлых значений д Подставляя значение Га из (5.09) в правую часть второго из уравнений (5.07) и интегрируя, получим: 1 3 Гг = —.;Г(2г1з — 1) Ег(з (х) + —;.. йе "Ег1(г1) + 1 — -е ь+ г 2 +: е — то -(- и (2т1з + 1) -'— 200 неустановившееся течвние в иогганичиом слОе [гл и Решение во втором приближении (5,12) даат возможность определить положение точки отрыва пограничного слоя, Приниман опять за условие отрыва (4.03), найдем, что в точке дох отрыва должно быть —."= 0 при т = О.
Подставляя сюда дс знзчение ех из (5.12), получим уравнение (5.13) позволяющее определить в первом приближении момент, в который наступит отрыв в каждой данной точке контура, или место, в котором наступит отрыв в каждый данный момент. Из (5.13) видно, что отрыв имеет место только в той области, где ии Иl сСх — (О, и наступает прежде все~о там, где велпчина —— и'х получает наибольшее значение.
Поозначая через г, время, по истечении которого происходит начальный отрыв, найдем из (5.13) 0 70ч (5,!4) их!п~п Пользуясь третьим приближением лля пх, прп котором выражение пх в форме ряда (5.04) сохраняет три первых члена разложения, можно получить более точное уравнение для определения условия отрыва в виде: 1 их ' ! ' ~йх) — = — 0,7122 — + (0,7271 ( —, + 0,059750 — „! .
(5.15) Нхз! 11з (5.15) следует, по начальный отрыв произойдет в точке, ну где — — имеет максимум лишь в том случае, если в злой и'х точке одновременно будет Сl= О. Рассмотрим в качестве примера случай обтекания к р у гл о г о ц и л и н д р з. При безотрывном обтекании будем иметь, как известно, следующий закон распределения скоростей на поверкности цилиндра: 77= 2С/з з!и — ' л ' где а — радиус цилиндра, а У,— скорость его поступательного движения. $15) пгивлпжйнноя шюггюиовльия х лвняний движяшш 20? Начальный отрыв в данном случае н по первому п по второму' приближению будет получаться в задней критической точке.
Подставляя значение 6Г из )5.16) в )5.14) и )5.15), найдем для !г в первом и втором приближении значения. )) '= 0,35 — "., гг '= — 0,32 — ", [5,! 7) 1, =- 0,39 —,, )5.! 8) бо гле и — радиус шара. ') Си, Ц'. Т о)1ю1е и, НаиИЬиси д. Ехрег!гиен!а1риузйп т. 1!г, ч, 1, 1931, стр. 274. г) См. Аэродинамика, т. Ш. Оборонгнз, 1939, стр. 120 — !22. Значение 1, во втором приближении примерно на 9",,ге меньше, чем в первом. гт!! Заметим, что величина — — не зсегла имеет нзибопьтее зналх ченис в задней критической точке.
Так, для эллиптических шинках 3 дров, у которых — ) — 1а — большая полуось, З вЂ” малая) и которые ат расположены так, что нх малая ось направлена вдоль потока, отрыв начинается не в задней критической точке, а в некоторых двух точках, снмметричныт относительно малой оси. С увеличением отнои шенка — точки начального отрыва прибюокюотся к копнам голышей ~> осн, а время П убывает '). !г!ы ограничилпсь здесь рассмотрением слу юя п.леско-пзраллельного течения. Распространение того з с метода на случай обтекания тел вращения было дано Вольтпе з).
Идея расчета ос~зется при этом той же самой с той лишь разницей, что уравнение неразрывности вместо )4.08') должно быть взято в зиле (4.19"), Само решение, в котором т, представляется в виве ряда, аналогичного )5.04) с сохранением первых трах членов, нами воспроизводиться не будет по причине его зиа штельной сложности и громоздкости. Соответствующий расчет даат в случае обтекзния шзрз картину развития пограничного слоя, аналогичную той, которая получается для круглого цилиндра.
В юстности, начальный отрыв на шаре происходит также в задней критической точке по истечении промежутка времени 203 нвтстлновив1иенся твчРнпе В погглничное! слое 1!л. У Картина нарастания толщины пограничного слоя на шаре получается аналогичной той, которая дана ни1ке (см. фи1. 33) лля случая обтекания цилинлра. Отметим в заключение, что решение задачи о развитии пограничного слоя, рассмотренное выше, пригодно лишь для доста1очно малого начального иериола движения и не позволяет, полагая Г со, осупгесчвпть предельный переход к соответству1ощсй стационарной за;шче. 2. Развитие пограничного слоя при равноускоренном движении. Рассмотрим теперь задачу о развитии плоско-параллельного пограничного слоя на ц:1линдрическом теле, которое начинает двигаться н 11аловязкой жидкости из состояния покоя равноускоренно.
Полож1щ, что распределение скоростей нз грзнпце внешнего потенциального потока нам известно и представлено в виде: У(х, г) =11Р'(х). (5.1 О) — '+О "— '+о — '= — У'-1-РЮ вЂ” +э Ех (5 20) дг "дх У д1 ' дх днз Введем опять переменное тн определяемое равенством (5.01), и функцию токз ф(х, т1, (). Положим, что для мзлых значений ( эта функция может быть также представлена в виде ряда, аналогичного (5,03): ф = 2 РР Й ~1(тр1(т1) (+ 1à — рз (т1) (а+ 1 (5 2!) При этом в (5.21) величины А (х), А, (х) заменены пх знзчениямп пз (5.06), а (/ — выражением (5.19). Иэ (5.21) с помощью (5.02) накопим: д (Р' т1 = (х'м1 г — 1- )с' — эт (з-(-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
