С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 34
Текст из файла (страница 34)
11Х (5.22) о = — 2 И Р1 (™д э1(+ ~ )Р' — + ( — ) ~ е„.Р +...,. (5.22 ) Подставляя это значение в (4.08), получим в данном случае слепующее уравнение лвижения вязкой жидкости н пограничном слое: В 15 пгивлижвиноз интвггпговаиив ггавнвний движения 201 Подставляя эти значения в (5,20) и требуя, чтобы уравнение (5.20) удовлетворялось при любом г, получим для определения а (т1) слелующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений; и/," + 2ц~', — 4а', + 4 = О, 9з + 2Ц',+ 12Т~т= 4(р,' — р~'а~ — 1) 2 ~р~ = — 2г~а+: ге "+ (! + 2т1а) Ег( (и~).
(5.24) Тогда, ограничиваясь в разложении (5.21) одним первым членом, получим лля о, в первом приближении значение: т~, = Юа' о (5,25) Расчет второго приближения оказываетсв уже лостаточно громозлким. Мы ограничимся предстзвлением графика определяемой при этом функиин Р )фиг.
32; там же показана и зависимость р,'(и), определяемая формулой <5.24)!. ((уу/ Второе приближение дает сле- 01 дующее уравнение, которому лол- (~г (т/ жны уловлятворять время и место отрыва пограничного слоя.' 2,34+ — га = О. (5.26) л'(г сУх Р Ла (а !б у Фиг. 32. Последукашее приближение, рассчитанное Блазиусом, лайт уравнение лля определения места и иремени отрыва в виде: 1+0,427 — и„. Га — ~0,026(~ ) +0,010%' — „,~1'=О. (5.27) 14 с. м. гваг Граничные условия для еь будут прн этом такие же, кзк для /а в (5 08); для Фа — такие же, как для /, и т. д Интегрируя первое пз уравнений (5,23) и удовлетворяя соответствующим граничным условиям, найдем: 210 неустАнОВПВшееся течение н ПОГРАнпчном слое (Гл.
Время начально~о отрыва опрелеляется из (5.26) или (5.27) так же, как и в случае, рассмотренном в п. 1 В частности, при обтекании круглого цилиндра радиуса а находим, что начальный отрыв происходит я задней критической точке. Для времени (> нзчального отрыва получаем из 5.26) и (5.27) в первом и втором приближениях значения ( (5.28) г~> '= 1,02 1/г— г ~О где 11'„— ускорение поступательного движения цилиндра. Оо>ответственно путь, проходимый ш>линдром за время до возникновения начачьного отрыва, рзвен в первом и втором приближении 0,585а и 0,52а.
Сравнивая эти величины с >емп, которые лают равенства (5.17), замечаеч, что при рзвноускоренном движении цилиндр успеет пройти до момента начала отрыва в задней критической точке расстояние примерно в 1,6 раза большее, чем в случае движения, начинающегося из состояния покоя мгновенно.
ф 16. Приближенные уравнения иеустановившегося течения жидкости в пограничном слое и их интегрирование. 1. Приближенные уравнении плоско-параллельного течения и их интегрирование. Изложенный выше приближднный расчет развития пограничного слоя со временем связан, как мы видели, с достаточно громоздкими вычислениями и дает решение, справедливое лишь для достаточно малых значений г. Значительно более простое решение можно получить, если заменить уравнение(4.08) приближенным уравнением,аналоп>чным тому, которое рзссмзтрпвалось в 6 13, и распространить изложенный тач метод решения на случай неустановиншегося течении.
Определяемое таю>м путем приближенное решение обладает тем преимуществом, что дадт в конечном виде результат, годный для любого момента времени > и в пределе при >†со переходит в решение соответствующей стационарной задачи Перехоля к иолученшо приближенных уравнений движеш>я, заметим прежде всего, что уравнение (4.08) может быть пред- $ 16) пгпвлижвнныв углвнвнпя и нх интвггнговлнив 2!! ставлено в впле я —,' + У+ ш/' = тд„ (5.29) гле аналопшно (4.60') У дол дед до ( до о+о х д ло(у Ш "дх ду,) дх о (5. 29') Прн этом в (5.29) и всюду ниже точка означает частную производную по (, а штрих — частну!о производную по х.
Введйм опять переменное г = †, где 3 в толщина пограу пичного слоя, и примем, искодя пз допущения, изложенного в начале ф 13, что уравнение (5.29) можно заменить прнблпжйнным урзвнением '"; = —" ( — (у — ии + ю„). дг! (5. 30) Входящее в (5.30) значение тд„попс штаем с помощью (5.29'), прпниман опять для о„значение (4.63), где ~олько теперь будет У=У(х, !). Тогда, замечая, что в рассматриваемом случае 3 = ;(х, () и, следовательно, у., — = — — — „о' = — г) —, дх о' о до гк иайдзог после соответству!ощпх полсчетов: о о тд„= 2 (3т! — т!о) — —,, 0(4 — 4о) —.
+ о + — „(134' — 3т'+го) — — Уо —,(6п' — Уг'+йо). (5.31) 14о Подставляя найденное значение в„в (5.30), проинтегрируем это уравнение дважды по тп удовлетворяя одновременно условиям: — „=0 прп г!=1 и т~ =0 прп в=О. Тогда, вводя дч х одновременно величину .", определяемую равенством (4.45), найдЕм окончательно закон распределения скоростей в погра- 212 нягстлновпвшввся тячинни в погглничном слов (гл.
я ничиом слое в виде ( + —. (пс ( — 'т — 3т'+ —; т1' — — '+,—. + !б (, 35 ' ' 2 1О 56,) +-;о Еl 1 —.т> — —,, + —,- т,' — — )1, (5,32) 32 ' (,33 2 30 ' бб ) Наконец, используя условие и„=-У при т~ — — 1, получим из (5.321 следующее уравнение н частных производных для определенна „" пли, что то же, е: гл-и+С вЂ” '+ (п0'+т — ) ~=А, (5.33) где в=2,33, л=5,64, 5=23,27. (5.34) Полагая, что в момент начала движения тоаыргма пограничного слоя равна нулю, мы должны будем на1;ги в каждом конкретном случае решение уравнения (5.33), удовлетворяющее условшо ч=О при 1=0.
()пределенное текин образом знзчение "(х, Г) вместе с (5.32) и дает решение поставленной задачи. Лля определения места и времени отрыва воспользуемся опять условием (4.03), принимающим в нашем случае вид: (~ — ""'1 = О. ',Ила ь=н Подставляя сюда значение о„из (5.32) и исключая из получаемого равенства величину,"' с помощью (5.33), найдем окончательно, что в точке отрыва должно быть: ) „= — 6,21 — 0,0976~ — 0,8162 —, (5.35) где попрежнему ),=(7'ч. рассмотрим, в частности, случай течения, возникая>игего мгновенно из сосгоянпя покоя. В этом случае будет (/= У (х) ь 16] пРинлиженные УРАВнениЯ и их интегРНРОВАния и уравнение (5.33) примет вид: ш-;-+и —;+- и„г=л. д( д," дГ дх (5.35) Соответствующая этому уравнению с!ютема обыкновенных дифференциальных уравнений будет: дГ Гх Интегрируя уравнения, даааемые р!Венством двух первых и двух последних из этих отношений, иолу'и!м: Г гге — ° 1 —,-с —— С„ (5.3т) ~и — Л) и — !где=С,.
Тогда общее решение уравнения (5.35) будет, как известно, иметь аид:,=Ф(С„СВ). Найлем отсюда частное решение, удовлетворяющее услояию '=О при (=О, Введем длн этого безразмерное переменное э(, связанное с х занисимостью: ':= ) )иГг) (5.38) где ин и ' — какие-нибудь характерные для данного течения скорость и линейный размер, Кроне того, обозначим; гг(р) = 1 и" (м) ам (5.39) (5.40) !)га (;, з) —.=-.." Л" (э) — — „Л'(м) = С,, ГДЕ ШтРИх ОэиаЧНЕГ ПРОИЗВОДНУЮ ПО Р. Г!ользуясь известныл! методом решения постанленной задачи, п !дставим В (5.40) вместо Г и " нули '). !! Сч., н,!припер, В.
В. Стен апов, Курс днффер нцяадьных уравнений, ОНТУ), 1937, стр. ЗП4. Р!!венечна (5,38) и (5.39) определяют а и Р' с точностью до постаяш ых, которые будем считать включенными в С, и Са. Тогда ураннения (5.37) можно будет представить н виде 214 неустлноииви!ееся течение в погганичнОИ слОе [Гл ° у В результате получим; Чг = — — Ч! = — ЬГ(р) = — ПГ~ — — ! — [, глгч - ( '1'! (Тз'! (5.41) Выражение (5.32), и котором б определяется формулой (5.411 и дает решение задачи для случая движения, возкикаюшего мгновенно из состояния покоя.
Место отрыва по~раничного слоя будет при этом определяться условием: )к = — 6,21 — 0,0076 ~. (5. 42) Заметим, что, удовлетворяя при решении уравнения (5,3б) условию 3=0 (или !=0) при г=б, мы уже не можем удовлетворить одновременно какому-нибудь условпо ала 3 по х. Таким образом, рассматриваемое решение нельзя будет применить, иагц!имер, к задаче о развитии погрзничного слоя на пластинке, так как мы не сумеем при этом удовлетворить одновременно условиям 3 = 0 при г =0 и 3 = 0 при х = О. Тот же результат, как мы видели, имее~ место и при примсневнв метода решения, изложенного в $ 1б!. 2.
Развитие пограничного слоя на круглом цилиндре. В качестве примера рассмотрим опять задачу о развитии пограничного слоя на круглом цилиндре радиуса а, полагая, что в момент Г= 0 цилиндр начал двигаться в маловязю!й жидкости поступательно с постоянной по величине и направление скоростью (га. Тогда на границе внешнего потенцизльного потока распределение скоростей буде~ даваться формулой (5,16).
Введем вместо х новое переменное т, полагая .т С05 — =т, а с(т 1''1 — т' / (5 АЗ) где Чт т1! т= =О. Заменяя ниями '!', и в виде представляют собо!о значения Ч', и Чт при теперь в послелнем выражении Чг и Чт значеЧг, из (5.40), получим искомое частное решение 16) пгивлижвнные кгхвнвния и их интегыповлнин 21„- Кроме того, из (5.16) будем иметь: 1 ~/=2~/ь(1 ! (5.44) Перейдем к определению ,". Принимая в (5.38] С"' = 2Уа и (= а, получим для нашего случая, полагая з = 0 при т = 0: ггс — —, = — Агй! т ) 1 — с-" о (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
