С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Р и (У(е) = 2УЕ формула (6.21) переходит в (2.23), определяющую парзболический режим течения. Лля определения закона течения во входном участке воспользуемся условием постоянства расхода н теоремой об изменении количества движен1пи Умножзя обе части (6.21) на 2иЯ вЂ” м)гас и интегрируя от 0 до 3, найдем, что расход через данное сечение погрз- /4 5 пичного слоя равен пУ~ — )сз — — 31~1. расход же в ядре те.
(3 б !' чеиня будет п(УЯ вЂ” 3)'. Тогда, ввиду постоянства рзсходз в любом сечении, будем иметь: азу(а=и Рао — ~ 31+(К вЂ” 3)з~ . (6.22 13 6 Отсюда находили )с -'-='-' — 1Г6 Ь вЂ” 2 (6.231 Применяя теперь теорему об изменении количества движения к массе жидкости, протекающей за секунду между входным сечением н сечением, определяемым координатой е, получим: Щ=Р— )р', (6. 24) (тзт Р = и)с (Рч — Р) = птс Р ч (6.25) Кроме того, принимая во внимание (6.2!), будем иметь: я 2 %'= 2пй ~р. ( — '~ пе = 4пй)е ~ —, 14е.
(6.26) х=а е где Р— сила давления, а )гт — сила трения, действующие на выделенный объйм. Используя уравнение Бернулли, найдем, что (см. условие 3) ЬГ)= яр [(7тг — а)гЦг+ ( 2(й — ж) п,г//с — 7тггЦа] = 14 а 4 аг) 15 гс 15/]и/ — ий/'г (Цг ! 1 + 1 Ца) (6.27) Подстав!им теперь величины, определяемые формулами (6.25), (6.26) и (6.27), в урзвнение (6.24), заменив прелварптельно всюду величину 3 ее значением из (6.23).
Продифференцировав затем обе части полученного таким образом равенства по а, придем после очевидных преобразований к уравнению: ! /4 Е/а Н']/ !/а . 1' гдЦ (6 а 2, г~ . (628) (~а тле (х имеет то же значение, что и в (6.09). Введем для сокращен!ш записей обозначение (6 о3) Тогда, интегрируя уравнение (6.28) и удовлетворяя условию Ц=Ц, или /=-0 прп я=0, получим ): (6.30) где 1 ! Г53 22 у (Х) = — „~ — 1 — =21п (1 + 7) — — (4+ 2)( — 2/г)г— 16 /4 — йгт] —., 37)г 2 / . 2! — ! . 1 !, 26] — — — — —: агссйп .
— + агсз]п —,/! '! Изложенное решение принадлежит Л. Шиллеру (см, Л. !11и ллер, Течение жнлкостей в трубах, ОНТИ, 1936). Заметим, что ириэеленпое в этой ккиге уравнение (45) солержит опечатки, повторенные в некоторых лругйх изданиях. Выражение 7'(Х), несколько более простое, чем то, которое получил Л. Шиллер, взято из кнвги аСовременное состоюше гидроаэродинамнкн вязкой жидкости», т, 1 236 глзвггтня течения вязкой жидьост«в тгквлх (гл. ч 1 Наконец, для секундного изменения !голичестаа движения, входящего в уравнение (6.24), получим, 237 ПРПБЛПЖЕННЫС МЕТОДЫ РЛС!ЕТА 3 17( Определяемый формулами (6,30) и (6,21) закон изменения скорости вдоль оси трубы ирп разных аначениях г показан на фиг.
33. Сравнение с изображенными там же экспериментальныьш кривыми показывает, что изложенный метод данг хорошее сониадение с зкспериментом лишь для значений а . — 0,05 Й(т и притом для области течения, близкой к осп трубы. По мере же приближения к стенкам, особенно при еу гт)( .— ВРВ т — (<77 — йа )::< <)В !В В,ВВ г ВУВ В,В В2В йй и а,аг ВВВ В<6 ййГ ай Вй ам Фнг. 88. г) 0,5 <<1, отклонение от экспериментальных крпных становится всй более значительным дан<с при достаточно малых значениях г.
Эги отклонения объясняютс<1, очевидно, тем, что даваемый формулой (6.21) профиль скоростей в пограничном слое не вполне удовлетворительно описывает истинное распределение скоростей вблизи стенок трубы. Найдем теперь определяемую изложенным решением длину начального участка Е. Для зтого положим в правой ысп! <6.30) Ег= 2Ц или у = 1. То!да !юлучич Е = Е( г<((1! илн (6.3!) Е =-0,115 !ТЯ. 233 глззитпе течения Вязкой жидкости В тгузхх [Гл. ч! Даз;!емое формулой (6.31) значение Е, как это видно ~з хода экспериментальной кривой, изображенной на фпг.
38, следует считать преуменьшенныи, Ззкон изменения давления на начальном участке может быть опрелелен по формуле (6.25), з которой значение У берется пз (6.30). Сгютзегствующие расчаты приведены в выше цитированной кинге Л. Шиллера. Более точный расчет начального участка с помощью теории пограничного слоя можно произвести, если применить непосредственно к уравнениям (6.05) численный мегол, изложенный в 6 !1. При этом, как обычно в теории пограничного слон, величина — в правой части уравнения (6.05) заменяется тем бр дг ее значением, которое дает уравнение Бернулли, применяемое к ядру течения. Такие вычисления, связанные с численным интегрированием уравнений (6.05), были произведены Аткинсоном и Гольдштейном ').
При этом оказывается, что если даже, как это лелали авторы, сохранить в применяемых разложениях первые пять членов, то получаемое решение будет справедливо лишь для чрезвычзйно малых значений г.-0,0025 !сК. Срзвнение полученных таким путем результатоз (ири з ( =- 0,0025 ИЯ) с решением Шиллера дало для г 0,8 Я расхождение, меньшее !'/з! при г=0,0 разница состзвилз 5з(а! сравнение с экспериментом прп столь малых значениях т произвести довольно трудно.
Заметим з ззключение, что при длине начального учзстка порядка 0,2 )3)ч решсние, справелливое лишь для з(0,0025 Я)с, не имеет существенного самостоятельного значения Названными выше авторами это решение было использовано кзк дающее распределение скоростей в начальном сечении при расчете по методу Буссинескз (см. и. 2). 4. Расчет начального участка в плоской трубе.
Расчет начзльного ушсткз в плоской трубе с помощью методов теории пограничного слоя был ниереые произведен акад. Л. С, Лейбензоном з). Рассмотрим течение в начальном участке 6 См. ~ною у з) из стр. 233. Аналогичный расчет зля плоской трубы был ранее ирои)везбн Шлихтингом (11. Я с Ь1! с И ! ! и Гь Еейзспг. !аг зпсетг.
Гйайь ипи л1есь., т. 14, !934). з) Л. С. Лейбензон, руководство по нефтеиромысловой механике, ч. 1, Гидравлика. ГНТ1!, !931, стр. 33. 6 17) пгиялиженные ° >гголы РАсчьтх 239 плоской трубы ширины (> и высоты 2А и будем иопрежнему исхолить из изложенной выше схемы рззлеленпя потока нз ядро течения и погрзничный слой, Обозно пш скорость во входном сечении Уо, скорость в ялре течения (>, з в погрзничном слое о,, причем будем опять полагать, что о, определяется формулой (6.2\). В конке начального учзсткз ре.ким течения переходит в параболический, определяемый формулой (2 14), При этом буде« -= »>, а (l= †„ Со и формула (0.21), тзк кзк при принятых оГ>о;нзчениях х= й — у действительно примет вил (2.14). Перейдем к изложению расчета, дзнного акад, Л. С. Лейбензоном.
Из условия постоянство рзсходл в любом сечении будем иметь: Р= 2(>й» (ро — 7>) = 7>1»о (Уз — (уо), й>=2(> ~ 1» (~ — *) >Уз=4(>й ~ —, г»з, о о й>',) =2Р(> ~(7» — 3) бм+ ~ о.а(х — й0о) о =~~И ~й — (7~ — — 'и-" — '1. 15 л)' Заменяя здесь >' значением 16.32) и подставляя все эти величины в (6.24), мы, взяв от обеих частей равенства производные по г, получим г>кончательно следу>ощее дифференцизльное уравнение: »я 191 ц йз) Ц' — =Л9 — 16 о+ 7 з(', (.> ~Я ти (6.33) 2Г)о(>7>=2(Л> (й — 6)+29 ) о,>тх.
о Заменяя здесь величину о, ее значением из (6.21) и вычисляя интеграл, найлем окончательно: —, =3 (1 — —,",)) . (6.32) Применим теперь теорему о коли >естве движения, вырзжземую урзвнением (6.24). В лзнном случае будет: 24О глзвитпа течения вязкой жидкости в >ггьлх 1г». щ где 16.34) !!нтегрируя уравнение 16.33) и удовлетворяя условию ЕГ= Ега при з == О, нзйдсм следую>иую зависимость между Е> и — — 9 — — Ч вЂ” — 1,6!и — — 2) . (6.35) 3 !' и иа и лп )о >, и„ег ' е> Отск>да, с поиощью (6.32) можно найти закон нарастания толщины погрзничного слоя, а используя уравнение Бернулли, определить закон изменения давления в из юльном участке плоской трубы. 3 Полагая в правой части 16.35) ЕГ= — — Е>а, получим для длины нзчзльюпо участка Е в плоской трубе значение Е = 0,103 Лгт.
(6.36) Таким образом, все характеристики течения в начальном участке плоской труб>ы оказывая>тся найденными. Уточненный расчет пограничного слоя в начальном участке плоской трубы связан, как и в слу же круглой трубы, с довольно гро>к>здкимп вычислениями 1см. первую сноску на стр. 238). Лля >плыл г этот расчет производится с помощью численного метода, изложенного в й 11, а дате>> решение распространяется на ббльшие значения г по методу Буссинеа<а.
11олучаемые графики изменения скорости те'>ения в начальном участке носят качественно тот же характер, что и для круглой труг>ы. й 18. Изучение развития течения жидкости в трубе с помощью приближенных уравнений движения. 1, Развитие линейного профиля око,остей в круглой .трубе. Приближенные методы расчета течения в начальном участке, изложенные в предыдущем параграфе, име>от ту особенность, что при построении каждого нз них приходится делзть наперад некоторые предположения о характере течения.
Тзк, в методе Буссинеска наперед полагается, что течение должно в пределе перейти в параболическое; в методах теории пограничного слоя наперед предполагается, что течение в начальном участке раз еляется на потенциальное в ядре э 18) изрчение течения с помощькз приглижйнньж УР-ний 241 течения и на пограничный слой. При этом, кзк и следует ожидать, решение, лзваемое первым методом, хорошо соглзсуется с опытными данными нз достзточном удалении от входного сечения и лает знзчптельные неточности близ входя в трубу.
Наоборот, метод, основзнный нз теории пограничного слоя, дайт хорошее согласие с опытом в сечениях, близких к начальному, и приводит к значительным расхождениям с опытом на большом удалении от входа. Уточнение расчетз погрзннчного слоя в начальном участке трубы с помощью численных методов приволит к очень громоздким рзсчетам и ио существу не меняет результзтз. Ниже излагается другой метод решения задачи о рззвитии течения в круглой трубе, основзнный нз использовании приближенных урзвнений движения вязкой жилкостп, в которых, подобно тому, кзк это делалось в параграфах 13, 14 и 16, производится чзстичный учет как членов, ззвисяншх от вязкости, так и инерционных членов.
Чтобы упростить выкладки, рассмотрим внзчзле задачу о развитии линейного профиля скоростей, которая являлзсь предметом исследовзния и н прельшущем параграфе. Пусть опять в круглой неогрзниченной в одном иапрзвлснии трубе радиуса Я происходит лзхшнзрное течение вязкой жидкости, причвм во входном сечении жидкость имеет всюду постояннучо скорость ст . Выберем ту же систему цилиндрических координат, что н в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
