С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 39
Текст из файла (страница 39)
2 8 17, и воспользуемся урзвнениями движения (6.05), в которых уже произведен частичный учйт вязких членов, тзк кзк отброшена вторая произволнзя от пт по г, Произведем дальнейшее упрощение уравнения (6.05). Прежде всего, считая п,(<пы положим в левой чзсти урзвнения и, = О. Кроме того, допустим, что в коэффициенте при дскб — * можно приближенно принять и, = (7, где (7 — некоторая д харзктерная для каждого сечения скорость, В рзссхшгривзе. мом случае естественно положить (7=(ум так кзк (уз является олновременно средней по расходу скоростькз в любом сечении, Тогдз уравнения (6.05) примут вил: (6.37) др, ! д (грр — ' + — — '-=О. дз г дг 18 С, М.
тарг елзвнтив твчвнпя вязкой жидкости в таянах (гл. ш 742 Прп этом в (6.37) принято во внимание условие (6.05"). Введем новые переменные, полагая г У=й (6.38) У вЂ” Уо =, иог где Р, — давление во входном сечении, Тогда уравнения (6.37) примут вид: ди 1 д(уо) дх у ду —.+ — — = о, (6.39') где гс дается формулой (6.09). Из условий прилипания жидкости к стенкам трубы, принимая одновременно во внимание симметрию течения, получим для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: при х=О и=О, Р=О; (6.40) при х уО н у=1 и= — 1, и=О; ( при х ь 0 и 1 = 0 и = О. 6. 40' (6.39) дгй 1 дй дуо у ду — + — — — р)си = росР, Ри+ — =О, 1 «(у3) у ду (6.41) (6.41') где р — комплексный параметр преобразования.
При этом, так как преобразование от постоянной величины равно ей самой, граничные условия для л и о сохраня~ нид (6.40'). Уравнение (6.41), взятое без правой части, имеет, как известно, своимп линейно независимыми решениями цилиндрические функции от мнимого аргумента 1о (лу) и Ко(лу). Ча- Решение системы уравнений (6.39) при условиях (6.40) будем строить, используя методы операционного исчисления, основные сведения о котором были даны в 9 7.
Для этого перейдем в (6.39) от оригиналов и, тг я Р к их изображениям ио переменному х. Тогда, принимая во внимание условия (6.40) и формулы (3.05'), (3.06') и (3.07'), получим: 18) изхчвнив течения с поносные пеиилижйнных ие-ний 243 стное же решение неоднородного уравнения равно, как легко видеть, — Р. Тогда общее решение уравнения (6.41) будет. и =С!,(пу)+С,Кя (пу) — Р, причем р и и связаны зависимостью р(7 =л', (6.45) (6 42) ' Так как К,(0» = оо, а скорость течения на оси трубы должна быть конечна, то следует положить С,=О.
Определяя теперь С, из условия (6.40') для и, найдем окончательно: (6.43) Для определения Р умножим обе части уравнения (6.41') на у гг'у и проинтегрируем по у в прелелах от 0 до 1. Тогда, принимая во внимание условия (6.40') для о, получим: 1 ( ау ггу= О. (6.44» Подставляя в (6.44) значение и пз (6.43) и вычисляя интеграл, нийдам: и = (Р— 1) — — Р=О.
2 - !г(п) (я(п) Но так как 11 (л) = !я (л) (я (л) и то окончательно, принимая во внимание (6.42), получим. 1 Э'р(е) ( О» (6.46) р'вй 1, (р"зй» Г. ф» Зная теперь нзобра кения и и Р, перейдем к определеш1ю их оригиналов и н Р. Из (6.46) видно, что Р представляет собою дробную функцшо вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17) и имеющую в точке р=О простой полюс. В последнем легко убедиться с помощью приведенных ниже рядов (6,49).
Следовательно, оригинал Р будет даваться формулой (3.22). Обозначим через ря (й=1,2,...) последовательные корни уравнения д (х)=0'), где Яя — функция, связанная с 1 '» Все эти корни являются дейстаительиыии н простыми. Значения их можно найти в кинге: Г. Н.
Ватсон, Теорня бесселевых функций, ч. В, изл. иностр. лиг„1040, стр. !О!. 244 влввитив течения валкой н пакости в твхвхх (гл, т равенством 1, (х) = — Лх (гх). Тогда легко видеть, что полюсы функции Р или, что то же, нули функции /г(р) лежат в точках, где )лл — — — у (1=1, 2,...), )л (6.47) Найдем выражения, нходяшие н формулу (3.22). Прежде всего имеем; /, (р,) = — 21, (ф'у,Я). 7(елее, так как 2 ! (х) =1, (х) —: 1, (х), (6.48) то будет: у.'(р„) =„-"„1)'я )а()'й)) ь — м =-.' 1,(У~д). Отсюда, принимая во внимание (6.47), полушш; )т га) (),г) сл) Наконец, польз>ясь разложениями: с4Г а"" (,")"" л! + 11(л+ 1)1 + 21 (л -(-2)1 + ' ' (л = О, 1, 2,...
), (6.49) найдалц иереллножая и дечя почлснно соответствующие ряды: где Е (р) — регулярная часть ряда. Отседа, сравнивая с (3.20), находим; 71 лг (х) = — ) — + — х) . 13 (т Подставляя теперь полученные выше значения ул(рл), (а„Яр„) н х, в (3.22) и используя равенство (6.47), будем иметь: Р= — ' — х+ —, — 4 ~~~~~ —., а н ~ . (6.36) ~ й 3 18] изтчкипк тьчкнин с помощью пгиклижкнных тг-инй 245 Переходя здесь с помощью (6.38) к размерным величинам, найдем окончательно следующий закон распределении лавлений вдоль оси трубы.
со Как — — — — — 4'~' — в и и (6.51) е Легко проверить, что в (6.51) при к =0 будем иметь п=п, таи как') ! ! (6 бч) г 12' что совпадает с выра!пением (2.24). Таким образом, решение (6.51) дает распределение лавлений вдоль оси трубы, совпадающее в пределе при г оо с распределением, соответствующим параболическому режиму течения. Перейдем теперь к определению закона распределения скоростей в трубе.
Имея выражение (6.50), можно определять и из (6.43) с помощью формулы (3.09), Однако при атом выражение и будет дано двойным рядом, что усло книг последующие числеш!ые расчеты, Поэтому найдем л непосредственно из (6,43) тем же путйм, каким было определено Р Пользуись соотношениями (6.45) и (6.46), представим выражение (6.43) в виде. (бд53) где )к()' Р!т! ! /! !Р) 1, !)г вй! /к(В! ' Тогда, очевнлно, будет: (6.54) и= — м — Р. (6.55) !! См. Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции. ОНТИ, !935, стр, 1!2. Из показанного следует, что ряд в правой части (6,51) равномерно сходится. Наконец, из формулы (6.51) находим 248 тьзвития твчвнпв вязкой жидкости в ттэвьх Лля решения задачи остается определить и.
Из (6.54) следует, что т также является дробной функцией вида (3.16), удовлетворяющей условиям (3.17) и имеющей простой полюс в точке р=О. При этом полюсы функции р совпадают с полюсами функции Р, т. е. лежат в точках, определяемых равенствами (6А7). Слеловательно, значение р будет лаваться формулой (3.22), Принимая во внимание форъгулы (6.47) и (6Л8), а также то, что 1,(гх) = бе(х), получим: Ь; т1(Рь) = )е(14ьу) Ра/ (Рь) = 4 )о(Еа) Наконец, используя (6.49), найдем, деля и перемножая соответствуюнцне рялы: и ! /, 2 8 Х 1 — —, + ~ 2уя — + — ' х ) — + (.(р), э =17р (, з (е откуда 2 8 е1 = 2ут — — + — х. 8 й Заменяя теперь все входящие в (3.22) величины найденными выше значениями и используя равенство <6.47), получим: т Ь и=2уз — —,+ — х — 4т — е "У е ' (6.56) 8 ч 1 ~е() Ю и Подставляя это выражение и, а также определяемую формулой (6.50) величину Р в (6.55) и переходя с помощью (6.38) к размерным величинам, вайдам окончательно следующий закон распределения скоростей в трубе: () ), Можно показать, что з (6.57) действительно выполняется условие о,= С/„при я=О; тем самым будет доказана и равномерная сходимость ряда (6.57).
Однако чы не приводим здесь соответствующих выкладок, так как этот результат будет получен как частный случай из более общего доказательствз, данного в конце п. 3. Заметим, наконец, что при з оо формула (6.57) переходит в (2.23). Таким образом, мы уоеждаемся, что закон 8 18) изтчзнии тнчнипя с помошьго пнивлижйнных кг-иий 847 распределения скоростей и давлений в трубе, определяемый формулами (6.51) и (6.57), действительно дайт в пределе при х - со параболический режим течения.
Чтобы нагляднее представить картину развития течеши в трубе, на фнг. 39 показаны профили скоростей в разлп шых 0 007 о04 000 о(0 000 оуа ой ав Фиг. 39. сечениях, вычисленные по формуле (6.57). Качественно картина течения полностью совпадает с той, которая была получена экспериментально Никурадзе. Сравнение количественных г Ц Я 7.0 0 (0 (О 0 0Ы 00я 000 000 000 00 0н 06 РД Фнг.
40. результатов удобнее произвести с помогдшо графиков, изображенных на фиг. 40. Как видим, полученные кривые дакии достаточно хорошее совпадение с данными эксперимента на всей длине начального участка. Сопоставление расчетных кривых, показанных на фпг. 40, с расчетными крпвыни, данными зля Развитие течения вязкой ж!!дкосж! В тРуБАх (гл. ч! на фиг. 3,т, 36 и 38, показывает, что формула (6.57) дает для всего начального участка в !юлом картину распределения скоростей, более близкую к данным эксперимента, чем это аа!от расчбты, изложенные в й 17. Определим я заключение с помощью формулы (6.57) длину начального участка. Г1олагая в (6,57) с=О и сохрзняя в стоящей справа сумме одно лишь первое слагаемое, так как величины Раа РастУт очень быстРо, полУчим дла осевой скоРости следующее приближенное вырзжение: ! ~оба)~ l ' где !м —— 5,136. Требун, по принягому ранее условию, чтобы при второе слагаемое в фигурной скобке равнялось 0,01, найдем отсюда для длины начального участка значение У.
= О, 16 тт ге. (6.58) для определенна степени точности пролеланио!о расчвта заметил!, по первое из отброшенных в (б.5?) слагаемых ирн «=Ебулет равно 0,000083. Очеаилно, зтнн слагаемым можно вполнепренебречь, поскольку в вырам<еннн о,з второе слагаемое в Фигурной скобке равно 0,01. Формула (6.58) дзет величину Л, довольно близкую к эксперпментзльной.
Из (6.58), в частности, следует, что при гс = 1000 дтиьп !шчально!о участка равна 80 диаметрам трубы. С уменьшением К длина начального участка убывает. 2. Развитие линейного профиля скоростей в плоской трубе. Приближенные уравнения, зналоп!чные тем, которые рассматривались в п. 1, могут быть составлены и прои!мегри- рованы п дли случая течения в плоской трубе, т. е.
между двумя неограниченными в одном направлении параллельными плоскостями. Пусть расстояние между рассматриваемыми илоскостямп равно 23, Тогда, если поместить начало отсчета в пентре входного сечении и направить ось Оя вдоль трубы, а ось ОР перпендикулярно плоскостям, то для определения закона распределения скоростей и давлений в плоской трубе можно !8] изучение течения с ПОМОЩЬЮ пРИБЛИЖЕННых уР-Нпй 249. получить следу!ощие формулы '): '(и „ ! ' 2~ ', Ни и=! Ти (6 59) ! У=', ~1=,';') 2~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
