С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 42
Текст из файла (страница 42)
3 лля круглой трубы. Таким образом, приходим к следуюгцему вывозу; предельный режим течения в плоской трубе, определяемый в резултлате интегрирования системы приближенных уравнений (6.81), будесп параболическим при любом симмеслрично.к профиле продзлэнмх и поперечных скоростей в начальном сечении. Аналогичное заключение можно, очевидно, слелать н зля течения в круглой трубе. Все подученные ло снх пор результаты, устанавлнззюшие, что предельный режим течения в трубе будет параболическим, опрелелялись пттем интегрирования систеи уравнений вила (6.37) или (6,81).
Особенность этих уравнений состоит з том, что в основном уравнении, которое служит для определения продольной скорости, отброшен с целью упрощения член, солержашнй поперечную коипоненту. Это отбрасывание, хотя и оправдываемое тем, что поперечная составляющая скоростгг мала по сравнению с продольной, будет все же вносить в получземые результаты некоторую погрешность. С целью уяснить, хотя бы и очейь приближенно, влияние этой погрешности на предельный режим течения, сохрзнии в основном уравнении все инерционные члены, заменив поперечную компоненту, так же, как н вролольнуго, некоторым ее средним значением, Будем опять лля опрелеленности рассматривать течение в плоской трубе высоты 2И.
Для изучения течения обратимся к приближенным уравнениям вида (6.37), в которых учтем частично обв стоящих слева инерционных члена. Для случзя плоской трубы соответствующие уравнения будут: дав дов 1 йР дзов . (е — в+Ре — '=-- — — + — „.', да ду р йл дул ' 9 161 нзучкник ткчкнпя с помощью пзинлижйнных уг-ний 260 би 1 ир вен "о — = — — — +"— о1У Р Ыз НУз' Интегрируя это уравнение, найдбм: 1 Нр и=Се" — — — У-) С„ Р)'о "з Для опрелелення постоянных С, н Са имеем условия: я'и при У=Π— =О, при У=И п=О, о(у удовлетворяя которым, получим г 1/~ 1 ер ( „)à — — «т( и= — — ( — ( е' — е' ~+(И вЂ” у) ). (6.91) Р)'о "л оо Для опрелеления величины — обратимся к условию постоянства кр пл расходз, которое заменит нам уравнение (6.90'). Это условие лает: а (Ро» = и с(у.
Подставляя сюда значение и иэ (6.91) и вычисляя ннтегрзл, будем иметь: у' за 1 — — =(тоИ вЂ”,(е" — 1/ — — е" +- Р('олз 1 Ф(, / (го 2~ о Введем, наконец, для сокрашения записей обозначении: оо во (уо иа — =й, У вЂ” = 10, И (6.92] Тогда, исключая с помощью прелыдушего равенства велнчину— др 4л так же, как и в прелыдушем случае, путем отыскания изображения и, и опрелеленни о„ как значения и при р = О. Однако гораздо проше тот же самый результат может быть получен, если для отыскания о„применить к урзвненню (6.90) одну иэ теорем, показанных проф. А. Н.
Тихоновыи для уравнений типа уравнения теплопроводности. Согласно этой теореме, если репаение уравнения (630) имеет при л ао прелельное значение о = и, то и будет решением обыкновенного дифференциального еээ уравнения ' 64 нлзп!ю не течения вязкой жплеостп в тгуьлх )гл. т! нз (6,91) и испо>!ьзуя обозначения (6.92), найдем окончательно следуя>шее эпсшепне предельной скорости течения в плоской трубе: "> ) (Е' — а) — (Еиж — чп!) ) и =н=(гзо(з 1) ч „т) (6.93) С>апов) сменно решение спшемы (6.96) дает о„= О.
Предельный режим течения, оиределяемь>й формулой [6.93), >лличаегси от результатов, которые лазали прельшушие решения тем, что алесь значение о.л зависит от параметра з, пропорционального введенной выше средней скорости Ь;, и числу Рейнольдса )Т, Прн малых значения! и находки нз (6.93), разлагая соответствтюшпе покзэзтельные ф)нкции в ряды: = -;; (>„~ 1 — нт! --- — „. (1 — 99 +-33 ) + ... ~ . П .'!4) и фн'. 4- (сч> =- пса!. з Все эги результаты наводят на мысль о том, нельзя лв предпол! жить, что формула (6.93) определяет одновременно предельный пс>раболичссьий режим в случае лзминзриого течения, если в ней считать а ближнм к нулю й предельный режим турбулентного течешш прн больших знзченпял з, если прп этом в (6.93) под и.. понпмзть среднее:>з достаточно большой промежуток времени значение ') Эта кривая взята с графика, привеленного в кн)ц'е Л.
Пр а ил т >! >,-О. Т и т ь е и с, Гидро- и аэромеханнка, ч. П, стр. 63. Таким образом, при > чень малых значениях з, что соответствует тесьма мзлым 1>з илн малым Р, предельный режим течения приближается к параг>олпческому н совпадает с нпм в точности, когда з = О. Наоборот, прп з . 1 профиль скоростей, апрелеляемый форт!улой (6.93), значительно отклоняется от пзрзболнческого и очень напомпнае! профили средних продольных скоростей, которые экспериментальные исследования дают для турбулентного режима.
Прп э!он интересно, что с увеличением а, что соответствует увеличению й>, скороств все более н более выравнвваютси, и при )1> ->-чэ формула(6 93) лает н пределе о ., = — (/з. Такой же результат, как известно, лают и экспериментальные исслелования для профиля средних продольных скоростей ири т>рбтлентноч режиме (см. графики нз фиг. 41, построенные п> опытам Нпкурадэе лля нруглой грубы). Нз фнг. 42 нюбражены профили скоростей, рассчитанные по формуле (6.93) прп некоторых знзчеипих а. Там же лля сравнения показан профиль слоростей в плоской трубе при турбулентном режиме по измерениям Доила '). Прн сравнении соответствуюших грзфнков и следует иметь в нилу, что на фиг.
41 отложень! значения . —, а на 'г>псж ф 18) изкчсипв течения с сптчощьнт пипилпжкинык и иий йбй продольной скоросин т. е. считать ! отта и сгс тте 3аметитн что приближенные уравнения 16.001 в силу вз линейности созранят свой вид и лля названныз сроднил по времени ско- 05 и ад йг йу йа йу йЮ йг йу аЮ 1О Фиг. 41. ростей, чего нельзя сказать иро уравнения, в которьсх ннерпиоиные. члены учитываизтся полностью 1сьт,, например, 1равнения (б.ббй.
Результаты, аналогичные поаучеппыьс вы~не, могут быть найдены и для предельного режима течения в круглой ийлиидр~ ческий. трубе радиуса тс. .266 глзвишш тзчзнпя вязкой жидкости в тетядх [гл. ч! По аналогии с (6.90) воспользуемся в данном случае вместо(6.37) приблвженным уравнением до, дп, ! 'др Удго 1 до Т (7 «+ Ею д= — — +ъ~ — *+ — — »~. (6.96) а д» юдг Р д» [,дгз г дг~ 'Тогда, применяя алесь опять теорему А. Н. Тихонова, будем искать предельное решение и ет е = и из обыкновен- Ц ного дифференциального .(5 уравнения: ди 1 др (гю — = — — + дг ю д» Введя обозначении гз —— —, (6.96) — )7 = е, )гю (ую найден, интегрируя предыдущее уравнение: ди )7 — = —,х игз р(7юаа др С,еиь — 1 — зг, у л'»з г, (О 6 Уловлетворяя здесь усю(и ловию — =О при гз —— О дг, О а~ Фнг.
42. и=-Π— - — [Е(аг,— Е! а+а(! — г,) — (пгз), (6.97) (7 Ир Р ю'з д»з жле » Г е» Е! (.т) = 1 — й». » (6.97') убедимся, что лолжио быть Ст= 1. Тогда, пптегрирун вторично и чзолагая и = О при г, = 1, получим: ф 18) изкчиник ткчвнпя с помощью пэивлнжкнных кщний 267 прнчбм при х ) 0 булет г) ла Е! х = С+ )п х -(- ~ '" ь'за Л! а=! (С= 0,5772... — постоянная Эйлера).
Уравнение постоянства расхода дает в данном случае: 1 2 ~ нггПг, = ()з. з Заменяя здесь и его знзчением нз (6.97) и интегрируя, найдем: (7 Лр — эз г()эзэ Лзг л (э — 1)+ 1 — — зт — — эа 3 Подставляя, наконец, это выражение в (6.971, найдйм окончательно следующее значение предельной скорости течения в круглой трубе: =и= У~ аз [Е(з — Е1 зг, + 1п г~ — э(1 — гД (6 93) 1 1+Из(т — 1) — — за — —, аз 2 3 Формула (6.98) пает для круглой трубы результаты, аналогичные тем, которые в случае плоской трубы следуют из (6.93).
В частности, при з=О из (6.98) находим: от„— 2и, (! г-",), т, е. получаем, кзк и следовало ощипать, параболический режим. Большие значения з лают опять профили скоростей, напоминающие распределение срелних продольньп скоростей при турбулентном течении, всб более спрямляющиеся с увеличением з. При э= оэ формула (6.98) дабт о. =()з.
В заключение заметим, что формулы (6.93) и (6.93) не дают пока возможности построить предельный профиль скоростей в плоской нлн круглой трубе для заданного значения й, так как мы не можем указать, чему при этом следует считать равной величину (тз. Мы полагаем, что величина (та будет по всей вероятности как-то зависеть от возмущений, которые имеет поток при входе в трубу, и от значений самого параметра т(. Поэтому полученные выше результаты могут рассматриваться как лающие только некоторую качественную картнйу предельных режимов течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
