С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 45
Текст из файла (страница 45)
с)то касается частного решения 1' (т), то оно, как показано в цитированной выше работе Н. А. Слезкина, имеет вил 282 тячдипя аязкой жидкости в диаскзоглх )гл. чи и ограничиться первым членом разложения, то будет; !1 11 Р— Ра — 2рС'(! — Зта) ( а а ) где Р, — давление в сечении г= г„а С имеет значение (7.34'). Исследование поведения линий тока, определяемых решением (7.43), показывает, что в сходнщемся потоке линии тока по мере удаления от входного сечения прижимаются к оси конуса и обращены к ней своею выпуклостью.
В расходящемся потоке линии тока с удалением от входного сечения отходят от стенок, приближаясь к оси. Из аида полученного решения следует, что оно содержит в качестве главного 'члена член, зависящий от вязкости, и .издается пригодным для течений сильно вязкой жидкости. По этой причине полученные результаты нельзя использовачь для определения условий и места отрыва потока от стенок в расходящемся течении. В саном деде.
если здесь формально воспользоваться услозием 7с)к,'( отрыва ( — ') =О, то найдйм нз (7Л4) для коордкнагы местаот.(,бз )о= рыва значение О (1+ о)" Из этого результата следует, что с увеличением расхода (;), а следовательно, н иараиегра )Е, точка отрыва удаляется от входного сечения, з то время как в действительности будет ииеть место обратное явление.
Приведенное выше решение представляет собою очень интересный и, насколько нам известно, единственный пример интегрирования полных уравнений движения вязкой жидкости методом последовательных приближений, содержащий дочазательствз сходпмости проиесса и регулярности всех приближений. Указанные доказательства можно найти непосредственно з работе Н. А. СлЕзкина. Там ясе дано решение задачи о течении вязкой жидкости между двумя соосными конусами. В ааключение отметим, что изложенное решение, так же как н рассмотренное в п. 1 решение задачи о течении в плоском диффузоре, не позволяет учесть злиянис входного сечения, так кзк фоомулы (7.34) лают для сечения г = г вполне определенный профиль скоростей. 20) Развитие течения в плоском днееузогз й 20.
Развитие течения вязкой жидкости в пло=ком диффузоре. В зада гах, рзссьютренных в 2 19, изучалпсь течения, обусловленные наличием источника в вершине дпффузора. В реальных условиях жидкость поступает в диффузор через какое-то входное сечение, где при установившемся режиме имеет место вполне определенный начальныв профиль скоростей. Если при этом вход в диффузор будет достаточно плавным, то скорость течения во всех точках входного сечения 'почгп постоянна.
Поэтому с практической точки зрения болыпой интерес будет представлять изучение развич ия течения жидкости в диффузоре при заданном профиле скоростей в начальном его сечеюш. 1. Приближйнные уравнения двлжеиия и их интегрирование, Рассмотрим задачу о развитии течения низкой жидкости в и юском диффузоре. Пусть мы имеем диффузор, образованный двумя плоскосчями, наклоненными друг к другу под углом 2а )фпг. 28 на стр. 170). Будем прн изучении течения пользоваться коорлин;шами г, у с началом в точке О, тле пересекаются продолжения плоскостей.
Положим, что жидкость, поступая в диффузор, имеет во всех ючках входного сечения г= г, одинаковую, направленную вдоль ралиусов скорость Ум Йайдем, как при этих условиях булет пропсхолить течение жидкости в лиффузоре, считая, что движение являсчся плоско-параллельным и установившилюя, и пренебрегая действием массовых сил.' 1)ля решения задачи обратимся к уравнениял~ движения в цилиндрических координатах (1.47). Так как течение является илоско-параллельным н устаиовившимсн, то третье из этих уравнений выпадает совсем, а в осзальных булут отсутствовать пены, содержащие о, и производные по я или по Е Произведем теперь в оставшихся урзвнениях частичный учет членов, ззв ыящпх от вязкости, полагая, что о,.
(( и, и что производные от о, по г будут малы пз сравнению с произноднымп по и. Заметим, что ири больших гс эти предположения будут, строго говоря, справедливы лишь вблпзп стенок лиффузора, где к нпм можно притти путем оценок, аналопшных тем, которые делаются обычно в теории погра- 284 течение вязкой жидкости в диаэгзоглх [гл. чп (?.35') нпчного слоя (см. п. 2 В 10). Однако прп приближйнном учете членов, зависящих от вязкости, их сравнительную оценку и следует производить в той области течения, где вязкость до- минирует, т. е.
у стенок. Вдали же от стенок течение при больших знзчениях гс близко к потенциальному и там влия- нием вязкости можно вооб:це пренебречь. Замепш, что ана- логичным обрззом мы поступали и в теории пограничного слоя, когдз, считая слой асимптотическим, применяли фактически полученные для него уравнения ко всей области течения.
Отбрасывая теперь в (1.47) члены, которые по сделанным оценкам являются малыми, получим следующую систему при- ближенных уравнений: М, г,дщ 1 г>а > дапг (7.35) 'д>. г нв а»>г гаду»' »>р , .2»на, д> г»>в »)»»г ~ г, ~ 1 дг» »г ' г г д- (7.35") В целях дальнейшего упрощения произведйм в уравнения (7.35) частичный учет тзкже и инерции,»ных членов, подобно тому как это было сделано в 8 13. Примем, что в левой части ввиду малости ю„можно положить п,,=0, а величи- ну и, заменим некоторои характерной для данного сечен>ш скоростью У.
Тогдз уравнение (7.35) заменится уравнением дг, 1 др > деа,. (7.36) Г г>г >' г»ва ' Урзвзещш (7.36), (7.35') и (?.35") п представляют собою ту систему приощнквнных ур,»внений движения жидкости, ко- торой мы в>спользуемся для решения поставленной задачи. Остановимся сначала нз выборе характерной скорости (?. Будем в дальнейшем принц»ють в качестве»? ту скорость, юнорая будет входить в выражение параметра [с, если его выбрать так, ч гобы он сохранял постоянное знзчение для всех сечений диффузора. В рассматриваемом случае за харзктерный размер в пзраметре )с для с»ченпя, определяемого коорди- нзтой г, естественно прин>пь величину гд.
Тогда будет И'х К=в 20) Рхзвитие течения в плоском дпФФЕЕОРе 285 Если считать параметр Й при дзнном режиме во всех сечениях одним и тем же, то У окажется величиною, убывающей обратно пропорционально г. Принимая теперь во входном сечении (7. 37) получим 1«згз (7 ~ИА (7. 38) Это знзчение У мы и будем считать входящим в левую часть урзвнения (7.36).
Обратимся теперь к уравнению (7.35') нашей системы. Интегрируя это уравнение по Ф, найдем: Р = 2р — '+7 (г), (7.39) где /(г) — некоторая подлежащая определению функция ко- ординаты г. Тогда будем иметь: — -~ = — 2ч — ~ — "1+ — —. дф Подставляя полученное значение — в уравнение (7.36), пг заметим, что в прзвой части этого урзвненпя члены порядка д I РД вЂ” — по срзвненшо с сохраненными были отброшены. дг(,г) Следовательно, мохсет быть отброшен и этот член. Заменяя, кроме того, величину У ее значением (7.38), представим окончательно уравнение (7.36) в виде «„и, Ь, 1 ИУ, ° Эзп, (7.40) г дг Р Мг гт птз ' Введем теперь новые безразмерные переменные =, уп и, тп п Р(;), полагая: г т и,— ба и.
= )п —, Ф1= -'-, и=, ш= -'-, (7,41) гз зз сгз з(7з У(г) =Ро — 2р — е+ р (уот ~ Р(с) е-е + ) Р(с) а-' дЬ1, (7.41') го а где Р, — давление во входном сечении. течение вязкой жидкости В диФФхзогйх [Гл. чп 235 Тогда уравнения (7,40) и (7.35") примут вид: ~' — ', ' — „"+и+) =О. ~ ае,1Н; (7.42) При принятых обозначениях, учитывая равенство [?.39) и сим- метрия! течения, получим для рассматриваемой задачи грзнич- ные условия: р,=О Ф1= 1 Таким образом, решение задачи сводится к интегрировашио системы уравнений (7.42) при граничных условиях (7.43). Лля получение искомого решения воспользуемся опя1ь методами операционного исчисления. Перейдем в сис~еме (7.42) от оригиналов и, ез и Р к их изображениям по переменному ':.
Тогда, принимая во внимание первые из условий (7.43) и формулы (3.05'), (3.06') и (3.07'), пол! чим. Лсп — -,. — )1гсаи = р)саР— "+(Р+))11+) =О, ,~,, + (7Л4) где Р— параметр пре1!Оразозания. Прн этом, тзк как преобразование от постоянной величины равно ей самой, граничные условия для и и ти сохранят вид (7.43). Если ввести обозначение из=(са, (7.45) то линейно независимыми решенпяьш первого из уравнений (7.44), взятого без правой части, будут ай()Р рею,) и с(1()Р ртнр1). Кроме того, ч,1стное решение этого уравнения, как легко видеть, равно — Р.
Следовательно, общее решение будет: и =С, я)1(У р п1р1)+С,сй !РУ р и!р1) — Р. при Е=О при г)0, при г) О, и=О, — — =О, дя! и= — 1 Р=О; и!=О; еа = О. 9 20) глзвитпв течения в плоском дпеетзогв йч7 Определяя С, и С. по условиям (7.43) лля и, найдем окончательно: и =.,Р () — — = — "- — Р. си (1г в лг:,) (7.46) с!~(Р Игл! З(ля определения Р представим второе из уравнений (7,44! в виде: — - гУгп = ((р+ 1) и+ 1~ г)м,.
Беря от обеих чащей этого рзвенствз определенные интегралы в пределах от ~, =0 ло Ф, =1 и принимая во внимание условия (7.43) лля тз, получим ! 1 сс гУФ, =.— и 9 Заменяя здесь а его значением из (7.46), найдем после. соотвечствующнх преобразований Р== 1+ Р,, (7. 47) где (! + ц!( ~ )т в — $г р ) уг(и) Найдя таням оорззоч изобра кения и и Р, перейдем к определению их оригиналов и и Р. Из (7.47') видно, что Р, представляет собою функцию вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17).
Бслп ооозначить через '( (й †. 1, 2, ... ) корни уравнения '). !Ям =х, (7. 48) то легко впдетги что Р, будет иметь простые почюсы в точ- Г ках, где т)' Рь=гу или где р,= — -"'; (7. 49) а также в точке р = — 1. Заметим, что точка р= О не будет полюсом функции Рп в чем можно убедиться, раскрывая получщощуюся неопределенность. ') Значение ятях корней см., например, в книге: Е. Я н к е и Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
