С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В этом случае будет и(0 н, следовательно, у(0, причем / будет опять 19) устхиоьизгиееся течение в диФФузоглх 278 определяться уравнением (7.08). Если ввести обозначение 7'(0)= †, где )'о)0, то, так как в силУ симиетРии У'(О) = О, получим из (7.08) С/( †) = О. Кроме того, зд сь опять буду.г иметь месго условия (7.10) и (7.10'), вследствие чего кривая (7(7) может иметь только вид, изображенный на фиг.:,44,б. Следовательно, все три корня уравнения (/(7) =- О в ланном случае дейстнптельны, причем лва из них отрппательны ( уо и — 7,), а третий положителен или ранен нулю (уз =.-.
0). Тогда (7 08') можно представить в аиле ив= У.-+~) Ц, +Р(уа — Л. Введя теперь обозначения и замечая, что прп о = 0 булет 7= — 7о пли 8 = 1, получим из (7.08) для со == 0; г з и «) р = )У вЂ” 1,,—,-;,= — -.,— (7.18) 206 ~, К' (1 — МФ вЂ” )16о+г). Опрелелпв из (7.18) р(р), мы н найдем решение поьтавлениой задзчи. Заметиоп что в слУчае, коглз величина )' (Ч7ох будет мала, течение з конфузоре будет также оирелеляться формулзми (7.16) и (7.17). Этот результат очевиден, так как при получении укззанных решений мы исходили непосредственно.из уравнения (7.06'), справедливого как для расхолящегося, тзк и для сходя~цегося потока.
Рассмо~рим поэтому, калов булет характер течения в конфузоре в случае, когда величина Ъ~~Ц,а весьма велика. Из (7.18) имеем: 1 )' Руоп= ~' ~ — — .. -, — — Е()г, О), (7 19) '-',У (1- — ))(),— ))() +1) где Е (Ф, 8) — эллиптический интеграл первого рода, в котором ') (о= т~ — + — "', з1п8= 1/ — " ', '. (7 19') '1 См., например, И. М. Р ы ж и к, выше пит. таблицы, стр.
91, формула 49. 276 течвнив вязкой жидкости в дпьчгзоглх (гл. чи Так как ~, может изменяться от 1 до со, то, как видно из (7.19'), Е(л, (!) может иметь л!обые значении от 0 до оо. Следовательно, величина угла а в данном случае ничем ие ограничена н сходящийся поток, направленный в одну сторону, может иметь место в конфузоре с любым углом а, В рассматриваемом случае ( !суза)) 1) должно быть Е(м, 8)))1, а зто, как известно, имеет место лишь тогда, когда одновременно 7г близко к единице, а 0 к †' , что в на- 2 шем случае будет при р, = 1.
Так как, кроме того, соотношение (7.09) имеет теперь вил 1+3, — 3г —— р— , б иго то, пренебрегая злесь правой частюо по сравнению с единицей и полагая р, = 1, найдем ря = 2. Таким образом, мы найдем приближенное решение для больших значений )/К~ра, полагая в (7.18) и (7.19) р,=! и 9,=2.
Сделав это и вычитан одновременно названные равенства почленно олно из лругого, будем иметгн з 3 (' л! 2нго ) (1 — )! $/2 + ф Отсюда, интегрируя, находим: 3 !(гз ~ 1/ о (а — У)+-Т~ — 2 (7 20) и, г где Т=!,146 есть корень уравнения 3!(г'7=2, Так как ири больших значениях аргумента величина гипер- болического тангенса близка к елинице, то из (7.20) слелует, что почти во всей облзсти течения и - пм Только у самых ! стенок при значениях а — у порядка величина и начиг' ~уз нает заметно убывать, обращаясь в нуль ири а=и.
Этим результатом прекрасно подтверждаются предпосылки теории пограничного слоя, соглзсно которым для течений с больпшми числахш Рейнольдса можно поток считать потен- циальным всюлу, кроме тонкого слоя, непосредственно примы- ф 19) Устлнонияигееси течение В лиФФУзоехх 277 кшощего к обтекаемой твбрдой стенке, причем толщина этого слоя имеет иорялок = . ~')7 ' Наконец, из (7,08') на основании свойств корней функции с7(г) имеем: , С й =УоЛ УоЛ ЛЛ =.7ог (гк! — ~г !1ггнг) здесь р, = 1 и рг=2, будем иметь С= — Й,~от. зто значение в (7,07) и пренебрегая там отноше- сравнению с Йу„получим: Полагая Подставляя ннем — ио у го р = — —,„+ сопз(.
"Г2ВУог згг Отсюла, принимая во внимание (7.04) и (7,03), найдбм окончательно: Р + г = соиз!. (7.21) !) Р!зложеиие этого более общего решения, предстазлягошего чисто теоретический интерес, можно найти в книге: Н. Е. Кочин, И. А. Кибел ь, Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханнка, ч. П, 1948, стр. 37!. Рааеиство (7.21) подтверждает второе допущение теории пограничного слоя о возможности считать давление в пограничном слое равным лавлению во внешнем потенциальном потоке'. За!гетин в заклгочение, что во всех случаях, когда мы полагали значечие Й большйгц иолразумезалось, что при этом Й <.
Й,р, т. е, что течение остается лаиииарным. Привелйнное выше решение было получено Гаггелем как частный случай более общей задачи, где рассиатриванотся течения, линиями тока которых являются логарифмические спирали г), Изложенные результаты представляют в большей степени интерес для теории движения вязкой жидкости. Изнестная их ограниченность с ирактической точки зрения состоит не столько в том, что они относятся к ламииариому течению, сколько в том, что в них не учитывается злинние входного сечения. 278 течение ВязкОЙ жидкости В дпФФузогхх (гл. нп 2.
Течение в коническом днффузоре (конфузоре). Решение залачи об установившемся течении вязкой жплкости в круглом конусе было дано проф. Н. А. Слезкиным '). Рассмотрин, следуя Н. А. Слезкину, установпвп!ееся осесимметричное течение вязкой жидкости в крутлом конусе, полагая, что в вершине конуса расположен источник (диффузор) или сток (конфузор).
Для изучения течения воспользуемся сферическими координатаяп!, начало которых будем счита гь совмешенным с вершиной конуса. Массовыми силами булеч пренебрегать. Тогла движение булет описываться уравнениями (1.48), в которых только валлу симметрии и стаиионарности течения будут отсутствонзть все члены, содержащие т!, и ироизволные по р и по 1; второе из уравнений (1.48) при этом выпадает совсем.
Введем функцию тока ф(г,б), полагая 1 д) (7. 22) га!насда' О гжиОдг' Легко проверить, что тем самым мь! удовлетворили уравиеншо неразрь!виостн. Переходя теперь в первом и третьем из уравнений (1,48) к ф и исключая из этих ураннеиий пу"гем перекрестного дифференцирования и почленного выч!панин давление 7!, получим для определения ф уравнение ('дй дП~ ддд)ЗН!') 1 2 7 д) я!Вбд!') гамп О!, дО дг дг сМ 7+ газ!В!0!, дг !. дб ! — -( — — — — — )+,- „соз() — ' — — — ' ~7д5=~~!Тдф!, (7. 23) гле оператор Ая' имеет значение: Если здесь ввести ново' переменное т= соя !1, (7.24) то у равнение (7.
23) примет вид: — „~ л — д — ' — д- -«--)+ 2 (~ — тад— '+ — д — "~)сят!1 =Юг'ф, (7.25) тле О= да дгз ' гя дгз ' !) Н. А, Слезкин, Движение вязкой жидностя в конусе в между двумя конусами, Матем!. сборник, т. 42,№1, 1935,стр. 43 — О4. 9 19) устАнозизшееся течение В диФФузоРАх 279 !!ри этом из (?.22) будел! пметтс 1д ! дй гз д ' и" „:-,:д ' (7'25) Обозначим угол раствора конуса 2а и положим сова=!м Тогда, считая, что жидкость прилипает к стенкам и что секундный расхол Я через любое поперечное сечение конуса постоянен, придйы к следующим граничньш условияы: при т=те о,=О, о„=О; прп г= оо о,=О, оз =-О; 2п (ф (г, 1 ) — ф (г, та)1=(;1= сопя!. Таким образом, задача сводится к нзхожленпю решения уравнения (7.25), которое уловлетворяет условиям (7.27) п дзйт для о, и ом определяемых формулами (7,26), значения, регулярные во всей облзстп те(т=='1, г,(г~ оо, где гз) О.
Будем искать решение в виде бесконечного ряда: % )у',(г! (7.28) А=1 располозгенного по отрицательным степеням г, Подставляя это значение ф в (7.25) н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получим следующую бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, которые служат для определения у„: > (й+1) (й+2)+(1 — 'гз)„—,1 > й(й — 1)уз+(1 — тх) =- — Х (т), (7,29) где З вЂ” 1 Хз (т) = ~ > п (п — 1) (п+ З)7„/,'„— л (л — 1) (ш — 1)7",,у'„+ + (и+ 3) (1 — тз)?'„?"„— (тп — 1) (1 — тз)7'„"'? 2л(л — !)(щ — !)т 1 (7.29') (и+л=й).
2ЗО ггченпв вязкой жидкости В диФФузогхх (гл. чи Заметим, что Х (т) выражается через функции ,г» г (7= 1, 2,..., /с — 1), определенные в результате решения предыдущих (г — 1 уравнений системы; таким образом, Л'»(т) представляет собою известную функцию ог т. То~да решение (7.29) будет слагаться'из общего решении уравнения без правой части и частного решения неоднородного уравнения.
Линейно независимыми решениями урзвнения (7.29) без правов части явлшотся функции; г» 7»»г Н» Н»+а которые связаны с обы шымп функшшмп Лежандра первого п второго рода зависимостями: И)» ЫИ» †. =-Р, , (т), — = Я , (т), Так как производные от Н» и Н , по т, которые войдут в выражение т„ обращаются при т=- 1 в бесконечность, а скорость течения на оси должнз быть конечной, то Н и Н „а не могут войти в об,цее решение. Таким обрззо»н обпгее решение урзвнения (7.29) будет иметь вид: /» (т) = (»7» (т) + В»/»„х (т) + У» (т), (7.30) где Г»(т) — частное ре~иение уравнения с правой частью. Для определения постоянных интегрирования А и В» обратимся к условиям (7.27).
Заметим, что второе из них уже удоалегв~рево в силу вида решения (7.28). Лалее, из (7.26) и (7.28) имеем: ы СО с,.=з г;=" Следовательно, первое из условий (7.27) примет впд. У»( ь)=-О((»=2 3,...), /д(т,)=0()г= — 1, 2,...). (7.32) Наконец, так как в сапу симметрии е»=-0 прп т=-1, то, следовательно, должно быть г»(1) = 0 (й =- 2, 3,...). Поэтому последнее из условий (7.27) примет вид: (7.32') У (1) Л (то)=ах. 8 18) хстхнонпашхгся течении в дифехзонхх 28! ,,й .„)„ ,л — О л (л -1-1) (л 4-2) Р й, ы, .1 ! г 7~„., нй г) 1 1 (7.33) где Вл(а, т) =7а(а) Ц(т) — Н (а) I (т). При этом как само решение, так и его производная в рассматриваемой области регулярны и обращшотся в н> ль при т = 1.
Таким образом, разложение (7.28) вместе с (7,30) и (7.33) и дает решение поставленной задачи. Если ограничптьсн в (7.28) первыми двумя членами, то по подсчетам Н. А. Слезкина будем иметгн ф= +-С(1 — т)(тх+т+1 — Зт„')+ + = (1 — та) (т — т,)а ( —,, — ' +.— ~, ЗС а С Ь1 х 81 — '. 1Зт — — ) тх-1-(5та) — 8) т-' — От — — ' о и (7.34) где С=, ч) 2Г(1 — -.„)а(2т„-1- 1) ' (7.34') Прп этом в (7.34) верхний знак соответстнует расходящемуся потоку, а нижний — схолящемуся. Распределение давлений в текущей жидкости может быть найдено непосредс|ненно из уравнений движения (1.48). Если искать В(г, т) в виде ряда: Условие (7.32') вместе с условием 71 (т,) = 0 служит для определения Л, и Вм а остальные условия (7.32) определя~от Аь иВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
