С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Э м де,. Таблицы функций, !948, стр. 47. течение вязкой жидкости в дпечкзовдх [гл. чи 288 Тогдз, кзк покзззно в 9 7, оригпнзл Р, оудет дзвзться формулой (3.22). Переходя к вычислению сходящих в эту формулу. величин, получим пэ (7.47'): з , та Г! (рь) = — г' —,. Далее, принпмзя во вниз!знпе, что 7, удовлетворяет уравнению (7.48), нзйдем: р.у((р,) = ' — ',,' (1+р,))'р,~ з '- — 1! =; —,'-"-з(г! ' — Тд. 1 с!Ы(т р !!47, ) ) 2тз Кроме '!ого, для значения ))= — 1 будем имст!н 71( — 1) т !я л, — т Наконец, раскрывая в (7.47') соответствующую неопределенность, получигп А= У! <О) 3 яп) тз (?.50) Подставляя все эти значения в формулу (3.22) и прин ышя во вниызние (7.49) и (7.47), нзйдем окончательно: сО гь Р=! — -' — „+ 3, т:, Ъч 1 е 1 — 2 э' „е е''.
(751) ли 18 лг хч ~" ~ тт ь —.! т тьз Покажем, !то полученное решение действительно лает Р— =О при '; =О. Для этого рззложим нз простейшие дрони функцшо г(х)= ч1 (х) х' ез (х) 1 — х с!8 х ' Учитывзг! особенности Р(х), нетрудно убедиться, что это разложение будет иметь вид '): , ьуз з — ть где 7 — попрсх<нему корни уравнения (7.48), !1 См., например, В, Рй Смирнов, К>рс высшей математики, т, Ш, !939, стр. 443. $20) Развитие течения в плоском диФФузОРЕ 289 Произведя все подсчеты, найдйм: — --:- —,— = 3+ 2х' ~~' 5=1 Полагая адесь х=гл, прндем после неслджных преобразований к равенству 1 3 гл 5 —.1 из которого и следует, что условие Р= — 0 при ." =-0 в решении (7.51) выполняется.
Излогкенным доказывается одновременно, что стоящий в правой части (7.51) ряд равномерно сходится. Перейдем теперь к определению скорости и. Подставляя в (7.46) значение Р из (7.47), получим: а =- ф — Р, (7. 53) где глр 1' Р с" Ол У З Е11 Л ф) ф= —— — — — (7 5'Ф') 11+а)(айрл')'р) — гл)'1>сн(Л5У'р)) 75(р) 8, гн с05 (глч',1 лп ' 18гл+ьч созга СО та 1 сов (ТЕФИ) — —,Е - 2ы л,", .О5-У„ (7.54) 19 с. м, тхаг Из (7,53') видно, что Ъ ~анисе представляет собою функцшо вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3,17), следовательно, оригинал ф будет даваться формулой (3.22), При атом все полюсы )15 функции Ф, включая и полюс 4ы.—:: — 1, совпадают с полюсами функции Р,.
Одновременно легко убедиться, что значения у,(ра) и 7'„(р ), определяемые из (7.53'), отличаются в данном случае от аналогичных выражений, косо5 (т,тг) торые вычислялись при подсчете Р, только множителем со5 те знзчение же величины и, будет и в данном случае определяться формулой (7.50). Отс|ода следует, что формула (3.22) даст для ф выражение: тггчгш!г. вязкой жидкости в дпеегзоглх [гл. чи 2 О Наконец, из (7.53) будем иметь: п=ф — Р. Подставляя сюда звзченпя ф п Р из (7,54) и (?.51), найдем: ГУ! И! !СС5 глм! — СО5 /Л) -[ 1= ".-=---' ' — -С 1-[- Ь'„5И! и! — л! соа в! ! ~ и!!в с05 тр! Выполнеи! е в полученном решении условия о,=.Оа при С=О мох!по проверить путем разложения соответству!ощпх тригонометрических функций е ряд.
Переходя с (7.55) с помощью равенств (7.41) к размерным величинам, получим окончательно следующий закон распределения скоростей в плоском диффузоре: СО5 ' Л! — ' — СО5 !и а„д 5 — =И (?5 5!И !Π— ги С05 и! + ~~~ °, /! — - ~ [г) ' (756) Наконец, заменяя в (7.41') величину Р ей значением из (7,51), найдем выражение г'(г) через Е Подставляя это выражение в правую часть равеиствз (7.39), получим окончательно следующий закон изменения давления в плоском диффузоре'. Р— Р,=29 [ —" — — ))+ри т(! — — + —, о, У!!1, 3 ! ги (1-[-е м)— [,г г„) 51 ай 2 !йп! — и ! та — 2 у' „! иге+'('-,'с !!!и + ?11[ .
(7.57) ! !!и! .,! ! =- Заз!ет!ц!, что (7,57) вырамсает Р как функцию ие только расстояния г, ио и угла м, который входит в правую часть через ем Форт!улы (7.56) и (7,57) и да!от решение поставленной задачи. 9 20) яхзвитпя тгшхния н плоском диеххзо,з ч91 Отметим и ззкл~очение, что полученными форчулзми чгнкио пользовзться для оиределеюш о, п р зо всех случзях, кроме тех, когда параметр т = р' Кп окззывзстся рзвным одному из коРней (ь, так как з этих слУчзЯх соотсетств)чоисие фоРмУлы стзновятся неопределеннычп.
Рзскрывзя зти неопределзнностп по пзвестньш прзвялзм знзлнзз, пол) чим пз (7.51) и (7.56) после всех рзсчетов, ио ири Кп='(-' величины Р и тб должны вычисляться по формулзм: ю ОП члр шх . ш2 — тс ь 1 +2 чу 1 (! с '3 '*г1! '- (? 58) шз — т- Ь соз 1х «=~ где знак штрих у знзкз суммы означает, что в ней выкинут член с 7 =ль Соответствуюитее яырзжение для р может быть получено из (7.58) с помошыи равенства (7,41') и формулы (7.39) таким же путем, кипим было получено выразгеиие (7.57). 2.
Исследование характера течения и плоском днффузоре. Пользуясь полученным решением, перейдем к исследоввниго харзктерз и особенностей течения в плоском диффузоре. Пре~кде всего отметим, что формулз (7.56) при г= со лает о, = О, что находится в полном соглзспи с условием постоянства рзсходз. Найдем, кзкое значение при г= со будет иметь давление р. Если обозначить некому~о величину через Р-, то, полагая в (7.57) 8 = оо и вводя в правой части парзметр Й, получим; 1 — —,+ — — —,' 2 О ° и-' Г ',„-" )-.„, „,+ ь я=1 Но пз формулы (7.52) и из видоизмененной формулы, которап течзн>ш вязкой жидкости в дилехзогах (гл, чи зр получится, если в (7,52) заменить т иа >т, будем иметь: 2У-с 3 1 1 — т'+ лр/ 1 т 1 т 1 у 19ул ууу ' у 11!уз — л> Подстзьляя это выражение в праву>о часть предыдущего равенства, найдем окончательно: (7.59) т 11> л>1 1(сследуя свойстсз функции ( ! — — ), вайдам, что онз и 1 1 меньше -,—, при т( 1,92 и больше —,, прп >и) 1,92, Отсюда следует, что при >у>(1,92 прзвзя часть руувенства (7.59) будет всегда отрицательна.
Тзк как и =:= 1~ )х а, то полученный результат приводит к выводу, что п,уп Ка - 3,69 /уы < >ум (7 бп) т, е. что ири этих значениях (са давление в нзпрзвлшши течения лидие>л (.течение жидкости направлено в с>у>о>уоуул паде>>ия давления). С другой стороны, если о>равич>ться рассмотрением диффузоров с малыми углаьу>у растворз а и прп зизчениях Ка ) 3,69 пренебречь в прзвой чзсти (7 59) нуследним слагаемым, которое будет при этом меньше а-", то придем к выво у, что при (ха 3 69 )у, )ум (7.6!) т.
е. что при укзззнных условиях давление в >увир>>влепив течения будет в плоско» дпффузоре везу>у>с>у>ауу>ь (жидкость тегбт в с>лорану ууотууутгуу>у>у>ил дивлвууия), Таким образом, в зависимости от значения величины (ха, течение в диффузоре может происходить или в направлении плп против направления градиента давления. Перейдем теперь к исследованию явления отрыва. Буде>у, кзк это делалось и рзпее, пулзгзтсь что отрыв произойдет в том 20) Рлззптие течения В плоское! лпееузогс сечении диффузорз, где у стенки будет: — = — ' (-'-' 1 = — 0. Хдя г-.= х (д;"! уч=3 Позстзвлня с!одз знзчение т!, из (7.56), нейдем для определешш координаты точки отрыве г, уравнение — !!!- ) !их 2 (л! — ГД!н) ' где соглзснз (7.41) ' =!и — ', Заметим пре;кде всего, что наименьший из корней '(ь, з именно (! 4,40, больше п.
Снедав.!тслюич при лг: — и левая часть равенства (7.(12) всегдя положительнз. С другой стороны, г при 0(пг( —,', будет 12л!)гл, з при —,"; =лг(п будет (хггл х. О, откуда заслк>чзсм, что н интерн!!ле О.- и(гг прзвзя часть равенстве (7.62) нсегдз отриц.!тельна или равнз нулю. Из покзззнного следует, по ири ис.- и урззнение (7.62) ие может быть удовлетворено ни прп кзком знзчеиии г,.
Тзк кзк т= )о гсз, то приходим к выводу, что при (7.62) течение в плоском диффузоре является бстогл)!маны.!д Срзвнивзя этот рсзульгзт с условиеч (7.1 4) чисто рзтчзльного, направленного в одну сторону течения в плоском дпффузоре, полученным в 2 19 для случзн больших (х, ззисчзсм, что обз результзтз прзктически сонпадают. При знзчеииях (ся) пз з плоском дпффуз.)ре иропсхолпт отрыв жидкости от стенок. При етом, кзк видно из (7.62), с увеличением (ха = шз величине с, будет убывать п точи! отрывз будет прибли!кзться к входному сечению. Одноврег!еин ! из (7.61) следует в соглзсии с обшей теорией, что прп нзличип отрыве течение жидкости изпрзвлено в сторону взз(х!ст!!- нпя дзвленин.
Ззметим, что н случае, когда если'ишз )! Кз оудет Рзгит одному из корней '(„, уравнение (7.62) пгрестзет иметь смысл. В ятом случае, подстзвляя в условие отрыва зизчение т!, пз 294 твчкние вязкой жидкости в дпеьязоглх (гл. ти (7.58), нзйдем для определения места отрыва урзвнение р ,, т. 1 ') г +с — 5 (764) Положение точки стрывз при кзл;дом денном значении (ха определяется из уравнений (7.62) пли (7.64). Чтобы дать нзглядное иредстзвление об изменении положения меств отрыва (Р йя: зд И И В И ай 71й гзйН ччи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
