С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1. Бслп з форм!лаз (6.69) н (6.73) гьоложить д„=О, то мы естественно придем к полученным выше выраженинм (6.5!) и (6. 57) . Результат, аналогичный тому, который лают формулы (6.69) и (6.73), может быть получен из соответствующих приближенных уравнений п для слу шн течения в плоской трубе.
Покажем в заключение, что в полученном решении оь ирп г = О действительно принимает заданное значение (6,61). Для этого лпстаточно лоьззатзи что в (6.72) ири е= О булет и=О. Для доказательства воспользуемся формулой разложения некоторой функции /(у) в ряд Дини' ): /(У) = ~х'„ак)в (Тьр) + /сз (6,74) ь=! 8 18) пзячянив течения с иомоиг~~ пгпвлижьннык кз-ний 257 Положим теперь в (6.74') л=) и Н=- — 1.
Тогда, принимая во внимание, что "о(х) + ) (х) = '-' А (х) (6. 76) будем иметь ф(х) = — — х,)а (х) и, слеловательно, в ланном случае булет 7„==(), где,', корни уравнения,)з(х) = О. В результате разлоягение (6.74) призют вил: у(у) = Х п,,),((,у) + К,. (6.77) Так как при этом Н+ л = О, то Йа будет определяться из (6.75), Разложим теперь в рвд Лини, определяемый фнрмулой (6.77), функцию 7(у) =-Л, (глу). Тогда, вычисляя ал по формуле (6.74') и й, по (6.75), получим из (6.77): .),(нгу)=4ьлУ „, — + — )з(гл), )а Он) )~ ()лу) 4З , )л рлз )лз) "е()л) откуда 8 1! (>ск) 2)г Ол!Р) 8 )ау( "— ф1 ()а) Если разложить теперь функцию )а (гггу) в обычный ряд фурье- Бесселя, то получим: 4 )г (Ьу) 33 (глт) (а' Фа) )о (га) Вычитая последние два равенства почленно одно из лругого и принимая во внимание зависимость (6.76), найлзм: гн Лалее, из рассматривавщегося ранее рззенстза (6.70), полагая в нем х=лг, булем имстги 4 э' ',=1 — — я+ — ' а="1 17 с, и, тврг 2В) РАЗВптпе течения Вязкой жидкОсти В тРуБАх [Гл.
У! Произвеля опять почленное вычитание предыдущего равенства пз данного, придем к формуле ~~(ЬУ1( ) 4(~У) — )а(В1) (6 78) шз — )з ( "э 6~) ) "1(ш) ЭРЫ Л Полагая теперь в (6.78) и=О и раскрывая получающуюся прп этом в правой части иеопределвнность, найдем: — 4 ~; †, ( ) — ) = 29 — ) . (6,79) ээ(ЬУ) ) 1 з )эФлу ) Полагая далее в (6.78) т=п„и умножая обе части э~ого равенства иа — дг)з (а„), булем иметь.' Если теперь положить в (6.72) х=О, то, принимая во внимание (6,79) и (6.80), мы убедимся, что при этом действительно будет и=О. Этим одновременно доказывается равномерная сходимость ряда, стоящего в правой части (6.72), а следовательно, и ряда, входящего в (6.57), 4.
Предельные режимы течения в трубах. Выше было показано, что при течении в крутлой трубе любой симметричный профиль продольных скоростей переходит з пределе з параболический. Диалогичный результат, как отмечалось, может быть получен и лля течения в плоской трубе 1). Соответствующие решения были при этом получены из приближенных уравненйй лзижения, не сотержащпх поперечной компоненты скоростей. Ввиду этого полученные резтльтшы дают по существу только картину развития продольной скорости течения.
Между тем представляет йесомненный интерес исследование вопроса о том, какое влияние нз прелельный режим течения оказывают поперечные составляющие скорости. Вопрос этот и будет рассмотрен ниже. При этом рапи простоты мы ограничимся рассмотрением течения з плоской трубе и будем считать поток жидкости ') Считаем необхолпмым подчеркнуть, что прнвелбнные выше решения лают не только этот результат, которык, как мы узндни, можно было бы получить гораздо проще, Полученные решения аа1от картину развития течения в трубе, позволяют найти занон падения лавлення вдоль трубы, построить профпть скоростей в люгюи сечеяин трубы н опрелал1пь, в частности, лж1ну так нааываемого началь:1о1.о учаспса.
ф 18) изучение течения с помощью пРпвлп кенных уР.ний 259 и трубе симметричным относительно средней плоское~и. Нззовем попрежнему высоту трубы 26 и направим вдоль линни симметрии координатную ось Ол, а перпендикулярно к ней — ось Оу. Для описания движения воспользуемся уравнениями (!.46), в которых отбросим массовые силы и члены, содержащие производные по времени, Кроме того, для упрощения уравнений заменим в левых частях, как зто делалось ранее, о, величиною ()ь где ()з †. срелняя скорость во входном сечении, а оу — нулем.
Тогда для рассматрнваемо1'о течения получим саелующт.ю систему приближенных уравнений ()о -,)з до„ и,—," (6.81) до, — '+ — з=-0 до дз л —. у Лт л' л' 1'1 =- —, и -.= — '"- — -з о = — ' -(У„' 61,' Риоз (6.82) где р„ — пос~оянное давление во входном сечения. Тогда уравнения (6,81) примут вид: / ди дР ~, дги с)ги й1 — + — 1=.— „+ — „, (дх1 длт! длг,) -"' ' до дР Т дго дго й( — + — ) — — +— (ол1 ду, г) д г дуг' 1 1 ди, с)о — + — =О.
дз1 ду1 1) См., например, Н, В. Ко ч н н, 11. А. К и бель и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханикз, ч. 11, 1948, стр. 401. Эти уравнения по типу аналогичны системе уравнений, предложенных Озееном для решения задач о медленном движении тел в вязкой жидкости 1), Положим, палее, для сокращения выкладок, что во входном сечении профиль продольных скоростей прямолинеен, т.
е. что при л= 0 1 =()а.— сопз1. Это попущение, как мы вплели, не окз1ывзет существенного влияния иа предельный режим течения. Кроме того, будем считать, что во входном сечении имеется еще некоторая попеРечнап скоРость о„з(У); пРи жом п)зим~и, что фУнкциЯ о т(У) дважды дифференцируема и вместе со своими произвохньы1и лоптсьает разложение в ряды Фурье. Приступая к решенво задачи, введем в (6.81) безразиерные переменные: 260 елзвптик ткчгнпя вязкой жидкости в тгквлх (гл. к! Пнтегрировать получеину!о систему нулем, опять пользуясь метолами операционного исчйсления. Переходя здесь от оригиналов к их изо !- ражениям по переменному л, и принимая во внимание формулы (3.05) и (3.06], а так ке ураяиенне неразрывности, будем иметь: р(ч(и+Р] и +р и+(ц]. до (!)(р '+у')= "+р"о — р! +р — — ры 1 дл! ]„=; рп+о'=О, и"'+(р! — рйр!' — ро" — (р! — ртй.ц = рФ (у,), (6.83) где до ~ Ф(у ) — ~ — — (р' — рй) — р— (6.83') Введем теперь функцию (ч полагая: и= о!', о= — рь, (6.84) Тем самым будет уловлетворено последнее из полученных ранее ) равнений.
Положим, далее, что Ф(у!) вследствие симметрии начальньж условий в сечении л = 0 мозкет быть представлена радон Фурье !): св Ф (у,) = ~ Ь! жп Акуи »=1 Прп эхом коэффицие!пы Ь» булут содержать параметр р, но так, что при р = 0 каждый из коэффициентов Ь» будет величиною нонечной или нулем. Под!тления юо выражение Ф(уй в (6.83) и переходя зам от п и и к Ь, придем окончательно к следуюгцему дифференциальному уравнению' ( !! +(Орт — РЯ) ("+(Р4 — Рз(с) 6 = Р ~ Ь! 3!п»яз!, (6 8!) »-.-! ') дт зр лположення, что Ф(у) — функция нечетная, можно отказаться. Это, каь показали расчеты, несколько удлиняет выкладки, цо ие меняет конечно!о результата. гдс штрихи означают производные ио у!.
Продифференцнруем теперь первое из полученных уравнений по уп а второе умножим почленно на — р. Тогла, сложив зги равенства, мы искл!очим Р и прилем к уравнению 18) пзУ!ение течения о помощью ИРПБлиженных УР-ний 261 эг = С! э!! ну!+с, си пут+. сз э!и ру -)-с сох ру + Р ~~ ~В» э(и Асут, » —.— ! (6.86) гле в,= Ь Л»к! — (2рл — ля)дгиз + 01! — 1 1(7) ' !6.86') лг — 011 ),з Для определения постоянных интегрирования обрзтимся н гртиичиым условиям. В силу симметрии течения будем иметь и'=0 и и=О при у! = 0; ироме того, нз стенке, принимзя во внимание ооознзчеиие (6 82) для и, будем иметь: и = 0 и и= — 1. В реэультзте,учнтывзя (6.84), придем к следующим условиям лля Ь: при у!=0 4=0, г!"=0; при у!=1 у!=О, Ь'= — 1, Удовлетворяя этим условиям, получим: з!пр, зпл С! — — — И!ИВ'+ 1), С! — — (..РВ'+ 1) —, Сз = С! = О, (6,87) д где со з=лсйпз)п р — рли лсоьр, В'= ~нр ~( — 1)»ЛВ» »=! Таким образом, чнзчение у! булет определено.
Принимая теперь но вииизнпе (6.84), найлом иэ (6.86): и = С! л с1! лу! +С!8! соз йрт+ гр ~ lгВ» соз А 0 !, (6.881 — о= С!р зй лу,+С П э)п ру!+рз ~Ч~ ЛВ» жп»кут, »=! тле С, к Сз опрелеляютсн рзвенствзми (!'.87). Мы огрзничим наше исслеловзние отыскзниеи предельного ре- жима, т. е, знзченнй о, н о„при л ю. Для этого, кзк слелует из (3.11), лостзточио положить в прззых частях (688) 0=0.
с(лены, содержащие суммы, как видно из (6.86'), при этом сразу обратщся г нули. Рзскрывая эзтем получающиеся неопределенности, что проще всего слелзть, ззмеиив тригонометрические и гиперболические фун- киин сш!тветствующими рялзмн, з лз его зизчеиием пз(6,86'), получим: (г) =и. = — (! — 3 !), (о), =-о „. =О. э=з— 1!Нтегрируя полученное урзвнеиие, легко нзйдем, что его общее ре- шение имеет вил 262 Развитие тячБнця ВязкОЙ н нцкостц В тРуБАх (гл. Т! Переходя в первом равенстве с помошью (6.82) к размерным величинзм, найден окончательно; =- —., (7 (1 — ~— ,г — — 0 игу' (6.89) (6.90) до, до — + — *-.= 0.
ду дл (6.90') й(ы ограничиваемся рассмотрением приближбниого уравнекии (6.90), дагошего уточнение решения, апрелеляемого уравнением вила (6.37), так кзк предыдущие расчеты показали, что рассмотрение более полной по сравнению с (6.37) системы (6.8!) привозит к таким же результатам. При этом в (6.90) 1св — некоторое среднее значение компоненты и, вводимое яля линеаризацин уравнения. Нас булет интересовать определение с помошью уравнений (6.90) предельного режима течения в трубе при условии, что в начальном сечении л= 0 и = (сэ Рецгенне этой задачи нахолится Такой же результат в случае произвольного симметричного профиля продольных сноростей в сечении л = 0 легко получается тем путем, который был применен в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
