С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда это уравнение даст — =О, откуда следует, что в (6.05) можно дг считать (6.05") р =р (е) т. е. полагать, что в каждом данном сечении давление вдоль радиуса не изменяется. Исключим теперь из уравнений (6.05) и (6.05') о„ и перейлйм затем к переменному С. Для этого, интегрируя (6.05') по г и уловлетворяя условию о, = 0 при г= гс, получим: Р ( дох го = — ) —" гдг. ,) да д 228 глзвитив твчвипя вязкой жидкости Тогда, принимая во внимзние (6.0!), будем сщетгп до 1 до,( до до, (до. о — '= — — —" ( =гдг= — — Г д! —" с(=. ' дг г дг,( дз с)с,) дз )т ! Так как, кроме того, ! до, 2 д!', дз!'» 2 до», 4 . дто, гдг )78д:' дгс Рсд! ' йе дР' то, подстзвляя все этп знзчения в (6.05), придем к уравнению до, до,(до, а ! др 4» д Iсдосз 'дз д,! оз " о Б ' Фд( (," д! ) ' 1 Подставим теперь в (6.07) вместо о, ее значение из (6.08) и, полагая величину ю малой, отбросим все члены, содержащие произведения ш или ее производных.
Тогда, вводя обозначение ! ДВ "д! ' получим следующее приближенное урзвнение для определения (! (7(з ! с до сжо (6.08) 2 с дз д(с ' где 77(7 » (6.09) Кзн видно из (8.04), приближенное уравнение (6.08) годится лля достаточно больших з и буает лзвзть значительные погрешности при ж близких х нулю, т, е, вблизи входного сечения, гле предположение о малости э не выполняется. Чтобы нзйти условие, которому удовлетворяет функция ((, заметим, что ! ! ~,„ое ~ ад д.
~ (),~" Чтобы искшочсжь отсюда р, продифференшсруем оое части равенства по с. Тогда получим: еегеевлеежйнные хитоды Рлс.чета $ !е) 229 В справедливости этого равенства легко убедиться, если воспользоваться лля левого интеграла формулой интегрирования по частям п услов еем (6,04'), С другой стороны, условие постоянства расхода, если при- 1 нять во вешмание обозначение (6.01), лает ) тЧе(ее= (е'„. Пол- о е ставляя сюда значение тЧ из (6.03), находим, что ) ые)а=О. В результате получаем слелуеощее граничное условие аля 0; 1 ~'ге (х=О.
(6ПО) а тех' !!==ее ли Че(Я) где еп и г — постоянньее. Полставляя в (6.08), найдам, что функция Че должна уловлетворять уравнению 1 — !. ! "+ш —.' !е — -О. ! (6.11) При этом, как легко видеть, граничные условия для Че сохраняют нид (6.10) и (6,10'), Решение урапч сипя (6.11) булем в свою очередь иска гь в ниле ряда: ЧЕ (=) = - — А, е 4- 4з.' — -' -" + ° (б 12) лая которого условие (6.10') уже удовлетворено.
Подставляя этот ряд в (6,11) и уравнивая коэффициенты прп одинаковых степенях е, найдем: п! А 18 ( Кроме того, очевилно, булат: при '= = О 0 = О. (6. 10') т!так, задача свелась к нахожденшо решения уравнения (6.08), удовлетворяющего условиям (6.10) и (6.04). Будем искать это решение в виле 230 тазвитик ткчзнпя вязкой жидкости в текила (гл. Наконец, подстзвляя ряд (6.12) с коэффициентами (6.13) в условие (6.10), получим следуюшее уравнегше для определения кп ю жа !03)из !097сю 1 — — + — — — '+ — '„— —...=О.
(6.14) 4 45 360 280 300-" 294 Кажлому пз корней гло лга, ш„.., уравнения (6.14) соответствует своя система коэффициентов (6.13) и, следовательно, свое значение функции Чт. В результате полное решение уравнения (6.08), удовлетворяющее условиям (6.10), предстзвптся в виде ряда ы щ о с '~'с е 'ли у (~) =о( с — ~ (6.1 5) Р!нтегрируя полученный ряд пачленно по и и принимзя во внимание условие (6.04'), будем иметь: ы= — ~~' сае ли фа(а), (6.16) где ( (с,ф, +с,фа+... +г ф +ы,)гд-' имел минимальное значение. При этом в (6.17) м~ означает заданное выражение и при а=О (в нашем случае ые =26 — 1), а все подинтегральное выражение представляет собою квадрат разности ы, „ — ы„ где и, „ есть то значение <о в сечении г =О, которое дается решением (6.16).
Заметим, что уравнение (6.14) не может быть удовлетворено при тч О. Следовательно, в(6.16) условие м=0 при з=оо будет выполнено. Остается уловлетворить первому из условий (6.04). Это можно сделать приближенно, ограничиваясь в (6.16) первыми н членамп и выбирая коэффициенты г так, чтобы интеграл $17) игг!влпжвнные методы Рдсчнтд 31 Таким образом, зздзча оказывается решепной.
Закон изменения давленая вдоль трубы можно найти из уравнения (6.06), где ол теперь известно. Получаемое таким путем решение будет давать знзчительные погрешности для малых энзчений г по двум причинам. Первая, как уже отмечзлось, вытекает из предположения о малости ы, сделанного при получении уравнения (6.08); эта погрешность может бытто правда, несколько уменьшена отысканием значения ы во втором приближении с пом,иные уравнения (6.07). Второй причиной явлиется то, что при сохранении в раэлоткении (6.16) мзлого числа членов (в конкретных расчетах приходится ограничиваться олиии, двумя слагаемыми), условие в начальном сечении будет удовлетворено очень груоо.
Поэтому при малых г значения ом даваемые формуламп (6.031 н (6.|6), будут весьма далеки от истинных. Бусспнеск, ограиичивзясь в рзэложении (6.1 6) од~шьг первым членом, изгнал из 16.14) тл, — 8 и после численных расчетов получил; Ы ы(х, ч) = — 8,2е Ни )гг ( — ~ .
,.-т',- (6.1 8) гле ф, (е) = 0,160 — '-+ 2 з — 2,222':з + + 1,778',-' — 1,102сь+ 0,56 | 8з — 0,242;-т+... (6,18') Заметим, что определенное с помощью (6.17) значение с, = 8,2 здесь очень грубо удовлетворяет условиго (6.04) при г=-=О, на что было укаэзно выше. Тзк, нзпрпмер, (6,18) дает ш(0,0) = 1,31 вместо оэ(0,0) =-1 по условииз (6.04). Более точно закон изменения скорости на оси трубы будет даваться формулой (6.19) (т'.,)1 —..з = т',в -' — ' (уч (2 " е ) получающейся иэ (6.03), если в (6.18) определить с, тзк, чтобы условие (6.04) при а=О уловлет.ворялось точно. Необходимо заметить, что для зазчений г ' 0 и особенно при г, близких к Р, формула (6.!9) будет )же давать погрешности, значительно ббтьшне, чем (г.18).
Закон изменения осевой скорости, опрелеляемый формулами (6.18) и (6.19), показан нз фиг, 35. Там же нанесена экспе- 23'! РАзвитпг течения ВязкОЙ жидкости н тРуБА.' (гл, ч! риментзльная кривая, построенная по измерениям Никурадзе '). Как и следовало ожидать, прп малых з получается значительное рзсхожление между результатамп приведенного Теоре<ического расчета п эксперимента.
Для значений г) 0 соответствуюи<пе кривые (нз фиг. 65 не показаны) должны строиться по форчулзм (6.03) и (6.18). При этом для малых г расхождение с экспериментальными данными оказывается еще более значительным. 11олученное решение позволяет приближенно определить длину начального участка. Для этого найдем то расстояние и и!за <! <а (4 ы <2 са <)з 04 ч:и!. 35, начиная с которого т<,„отличается от 2с<Р меньше, чем <с — — ! на 1",'а. Очевидно, это будет при е лн = 0,02. Отсюда для ллпны начального участкз получаем знзчение !.
= 0,24А<)с, (6.20) достаточно близкое к экспериментальному, но, кзк видно пэ кривых на фпг. 35, песк!!лько его превышающее, Более точныЙ рзсчет с помощью изложенного здесь метода Гыл произведен Аткинсоном и Гольдштейном"-). При расчете н разложении (6.16) были сохранены первые два члена; кроме <ого, было вычислено ещй второе приближение путем полста- ') П<н<азаннзя на фиг, 35 экспериментальная нривзя взята на книги: Л. П ран д тл ь — О. Т ать си с, Гидро- и аэромеханиза, т. П, ОНТИ, 1935, стр. 35. По зп<м же данным построены экспериментальные кривые нз фнлрах <<б,;53 н 40. !) См.
книгу ,Современное состояние п<лроаэродннамики вязкой и<илкостн:, т. 1. Изд. иностр. лиг., 1948, стр. 341. йЗЗ- 171 пепвлщкйнныв методы глсчйтх „м, — 3 — ' новки одного только члена с~е пп ф (:) пз первого приближения в те слагаемые, содержащие произведения ы и ее производных, которые были отброшены в (6.07) при получении уравнения (6.08). Значения коэффициентов с, и с в полученНом решении также определялись из условия мииимумз интеграла (6.1 7).
Однако при этом за то начальное сечение, где дано <оа, принималось ие г = О, а г =0,0025(7(х, в позором гг(7 йп ОЯ ч,(ь ЬЬ ча ль а Оу паз Озь йаа ам огг ам зуь ФИГ. Зб. распределение скоростей было предварительно вычислено по методам теории пограничного слоя (см. ниже п. 3). В результате всех этих уточнений получилось решение, дающее досгзточно хорошее совпадение с экспериментом при значениях г ) О,ОЗЙ(х. Соответствующие расчетные (пунктирные) и экспериментальные (сплошные) кривые показаны на фиг, Зб'. При значениях ак.
0,0377(ч расчеты, по указанию авторов, дают заведомо неточные результаты, и данные о них авторами не ириволятся. Однако и этот уточненный расчет при г.=- О 4гс, г=О 677 и г= — О 977 дает для значений г =- О 0877(х значительные отклонения от экспериментальных кривых, объясняемые, как уже отмечалось, тем, что при сохрзнении 234 глзвнтпа течения вязкой жидкости в тггвлх (гл, щ в (6.16) только лвух членов, условия в изчальноч сечении уловлетзоряются весьмз приближенно Вопрос о длине начального участка авторами расчетов не рассматривался.
Олнако характер кривых, показанных на фнг.36, н приведснные авторами данные об изменении давления вдоль оси, указывают, что значение 7. в этом приближении будет меньше того, которое лзется формулой (6.20). 3. Рзсчйт начального участка в круглой трубе с по.мо|пью мчтоячэ теорчл пограничного слоя. Расчет течения в начальном участке трубы можно произвести, используя идеи и методы теории пограничного Ж слоя. Пусть опять во входном сей чении круглой трубы радиуса )с скорость всюду постоянна и равна и Уе 1)скола из картины течения, данной в п. 1, положим, что з кажлом последующем сечении — — 9 трубы скорость жидких частиц, д достаточно удаленных от стенок, остзется также постоянной (ядро А '' течения), а в примыкающем к стенФпг.
З7. кам трубы пограничном слое скорость постепенно падает до нули (фнг. 37). Прп этом, по мере улзления от входного сечения, толщинаядра течеиияВ7) убывает, а толщина пограничного слоя 3 возрастает до тех пор, пока пограничный слой не заполнит вщп трубу. Сечение, в котором это происхолит, т. е. то сечение, где окажется 3 = Й, и определяет конец начального участка. Переходя на основе изложенного к расчету течения в начальном участке, будем полагать, что: 1) скорость 0 ялрз течения в каждом данном сечении трубы постоянна; по мере удаления от входного сечения величинз с) вследствие постоянства расхода возрастает от значения У, в сечении г = 0 ло значения 2(У, в конце начального участка !таким образом У= У(г)]; 2) профиль скоростей в пограничном слое является параболическим и изменяется по законт х хат о =У(г) (2 —,— — „71, г о У)' (6.21) 1 т) ПРИЕЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЛСЧЕТА 2ЗЕ где х — расстояние, измеренное от стенки трубы вдоль радиуса; 3) трение в ядре течения практически Отсутствует, и для течения в нем справедливо уравнение Бернулли; при атом в кзждом данном сечении давление в пограничном слое совпадает с давлением в ядре течения, Заметим, что тзк как х = )с — г, то при 3 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
