С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1, получим для " частное реп~ение, удовлетворяющее условика в=О прп /=О в зиле, совпадающем с (5.4!), с той лишь разницей, что всюду вместо функции Г будет стоять Гп Место отрыва будет в этом случае ошпь гн1ределячься уравнением (5.42). 4. Развитие пограничного слоя на шаре.
В кзчесж,с примера рассмотрим задачу о развитии пограничного слоя нз шаре радиуса а, который в момент /= 0 мгновенно приобретает скорость (/а и дальше дни;кется с этой скоростью равномерно, поступательно и прямолинейно. Одновременно бу'дем считать, что в момент / = О во внешнем потоке устанавливается потенциальное распределение скоростей и на внешней границе пограничного слоя во все время движения 222 неустАнОВПВшееся течьние В ИОГРАннчном слое [Гл ° у Кроме того, в нашем случае будет х Йь — Н 51П вЂ” .
н (5.66) Введем опять переменное т, определяемое равенством (5.43). Тогда, заменяя в (5.63) (/ и )7В их значениями нз (5.65) и (5.66) и переходя к переменному т, мы после вычисления соответствующих интегрзлов получим: 2 лги 3 б, 1-[-т= Т+! 2 Ьа ~(1 — т') ' + — — Ф (т)=СЕ, 3(г, ! — '- "/ (5.67) где Ф,(т) = ) (1 — т') тг(т. (5.68) Интеграл (5.68) можно тзк хге, как и (5.46), представить в виде ряда, аналогичного (5.47). Повторяя в точности те же выкладки, что и при получении формулы (5.41), найдем Окончательно следующее решение уравиешш (5.61), удовлетворяющее условию 5=0 при Т=О: 2 Ьа Ф, !Т! — Ф11!) (5.69) 3 ('А (1 — -"") где 7(т,)) также определяется формулой (5.51), в которой, однзко, будет: lг= — —, з и (5.
70) 2 л!а' Формула (5.69) вместе с (5. 59) п дает решение поставленной задачи. Так же, как и в предыдущем случае, при Т- сю это решение переходит в реп!ение соответствующей стационарной задачи. Положение места отрына определяется условием (5.42), которое в данном случае может быть также приведено к виду, аналогичному (5.55).
Не производя вновь этих преобразований, найдем время начального отрыва пограничного слоя непосредственно пз уравнений (5,42) и (5.61). $16] птивлижвнныз хгхз«ени» и их интсггиговхнив 222 Подставляя н (5.61) вмсто С7 и )тз их значения из (5.65) и (5.66), будем иметь: (и ~ + — (I~",' з)п — + 1 — п + 3 ) — ' ~ соь — ' = Ь, (5.
71) 2 а 1,2 а а Так же, как и у цилиндра, нзчзльный отрыв на шаре произойдет в задней критической точке. Тогда, полагая в (5.71) х — =и, нзйдем следующее уравнение для определения закона а нарастания слоя в задней критической точке: (о.72) Проинтегрировзв зто уравнение п удовлетворив условию к=О при г = О, получим и. 1 -1- О, 492 — ~ и = е ' " " (5.73) а при атом в (5.73) подставлены значения ш, л и б из (5.34).
Далее, нз условия отрыва (5.42), имея в виду, что 2=У'„ н подставляя сюда значение У' при — '=",т из (5,65), будем а иметь: (5.74) — '„—" "=6,2! +0,0976". Исклкзчая из (5.74) ", с помощью (5.72) и ззменяя одновременно ч значением, определяемым формулой (5,73), получим для нахождеьия времени начального отрывз Г, уравнение кш — "г, и. е' а' 448 которое даат: (5.75) 7,= 0,31 —, Г.' Как и з случае шшиндра, знзчение го даваемое формулой (5.75), меньше того, которое определяется формулой (5.18). Прп дальнейшем движении шара точка отрыва быстро перемещается вверх, стремясь к предельному положешио, которое, как и в случае цилиндра, определяется углом 6, = 11Оо. Проведенные подсчеты показывают, что угол отрыва будет' яь) ишсткновивгпееся твчгниз в поггхничиом слое (гл. ч отли шться от предельного значения () нз 1")а по истечении промежутка времени вн равного г, — 1,26 —.
(5.76) Уа ' Закон нарастания толшины пограничного слоя определяется формулой (5,69). Соотвегствуюгпие подсчеты дзгот результаты, .аналоги шые тем, которые в случае пнлиндра представлены на фиг. 33 и 34. В заклкхчсние отметим, что как в случае обтекания шара, так и в случае обтекания пилинлра все приведенные выше расчеты были проделзны также прн условно, по в уравне- нии (5.30) величина ш„определяется законом изменения скок г, рости: о„=(/в)п) — т,) . В обои~ случаях для величин Г„)з и 6, (или р,) были получены те же самые значении, что и и пп. 2 и 4.
ГЛАВА У), РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ. й 17. Приближенные методы расчета течения в начальном участке трубы. 1. Понятие о начальном участке. При ламинарном течении жидкости в круглой трубе движение нз достаточно большом расстоянии от входного сечения происходит по закону, полученному а п. 3 Э 5. Профиль скоростей в любом сечении трубы оказывается при этом параболическим п определяется формулой (2.23), з закон изменения лавления вдоль трубы дается формулой (2.24), Эти результаты хорошо подтверждзются как первоначальными опытами Гагенз и Пуззейля, тзк и экспериментами ряда Лругих исследователей. Однако вблизи входа в трубу картина течения окачывзется совсем иной.
Если считать вхол в трубу достаточно плзвныи, то жидкость, втекающзя в трубу, буде~ иметь первоначальное рзспрсделение скоростей, почти постоянное по всему поперечному сечению. Только у самих стенок трубы вследствие прплипания скорость жидкости будет обращаться в нуль. Затея, по мере улзлегюя от вхолного сечения, под влиянием сил вязкости будет происходить торможение слоев жидкости, ссе более и более удзленных от стенок, и в конце-концов установится режим течения, который описывзется формулами (2.23) и (2,24) и который мы в дальнсйи'ем будем называть парабол шеслилс.
При этом переход течегюя в параболическое будет, конечно, происходить асимптотически. Условимся прн конкретных расческах считать, как предложил Пранлтль, мо параболический режим устанавливается, нз юная с того сечения, для которого скорость нз оси трубы отличается от величины 2(,'„, даваемой формулой (2.23), менее 1б с.
и, тьрг 290 зхавития тячвния вязкой жидкости в тггвлх [гл. щ чем на 1а/ . Тот участок трубы, на котором распределение скоростей изменяется от распределения, имеязщегося в начальном сечении, до распределения, соответствующего (с точностьго до 1а/,) параболическому режиму, н будем именовать началькылг учасглкож. Длина начально~о участка, как показывают и теорегические и экспериментальные исследования, окззывается достаточно большой, и учет особенностей течения на этом участке при различного рода конкретных расчетах приобретает существенное практическое значение (например, в висьозиметрах, коротких трубопроводах н т. и.). 2. Расчйт начального участка в круглой трубе по методу Буссинеска.
Рассмотрим течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе радиуса тс. Совместим с центром входного сечения начзло осей цилиндрических коорлинаг и направим ось Оа вдоль оси трубы в сторону течения. Будем считать, что во входном сечении скорость жидкости всюду одинакова н равна с) . При этом вследствие постоянства расходз величина Г(а будет одновременно равна средней ио расходу скорости в любом сечении. Далее примем, что на достаточном удалении от входного сечения устанавливается параболический режим с профилем скоростей (2.23).
Тогда, вводя новое переменное г-" Е=й,а, (6.01) будем иметь. при г =О о.= ГГа, при я= оо от= 2ГГ~(1 — Е).(6.02) о,=У,!2(1 — Е)+ы!. (6.03) ') ). В о и а а1п е ай, Сожри кеийиа де 1'Ас. д. Вс., т. 113, 1991, стр. 9 и 49. Задача расчата течения в начальном участке может быть при этом сведена к определению функции о.(г, Е), удовлетворяющей условиям (6.02) и граничным условиям на стенках трубы. Г!риближенное решение задачи в такой постановке было лано Буссинеском '), метод которого и излагается ниже. Введйм в рассмотрение функцию ы(г, Е), полагая $ 17) ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА 227 тогда задача сведется к опрелелению функщеч ы, для которой, как это следует из (6.02) и из условия прилипания жидкости к стенкам трубы, будет: при л= 0 ы = 2:- — 1, при е = оо от = О! (6,04) при с =1 (г) 0) в=О.
(6.04') Перейдем к опрелелеиию дифференциального уравнения, которому должна удовлетворять искомая функция ы. Для этого обратимся к уравнениям движения ткпдкости в цилиндрических координатах (1.47). Считая, что в каждой ланной точке ско- рость с течением времени не изменяется, отбросим в уравне. ниях производные по й Далее, в силу симметрии течения выпадут зсе члены, солержащие о, и производные по о. Массовыхи! силами, как обычно, булем пренебрегать. 1!аконец, считая, что изменение основной скорости о, по направлению вдоль радиуса происходит значительно быстрее, чем в направлении дто, оси трубы, пренебрежах! производной —.,* ио сравнению с ОАН дтоа — Тогда последние лва и ~ уравнений (1,47) примут впд: дге ' дох дог ! до удго ! до.З о — *+ о — *= — — — + т !х — „- -1- — — "'71, (6.05) 'дг хдг ядг 'Хдга ' г Ог)' дох ! д(го„! (6.05') Кроме того, в первом из уравнений (1А7), считая о,(<ом можно пренебречь всеми членами, содержащими и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
