С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 40
Текст из файла (страница 40)
еГЗ Р Ро= Р('о ~ (о о~ (о!! где ч — последовательные корни >равнения !й х=х. Из (6.59) видно, что прн г Оо это решение лает парзболическнй реоким течения, определяемый формулаиш (2.14) и (2.15). Повторяя те же рассуждения, что и при получении формулы (6.57), найлем из (6.58) для длины начального учасгка в плоской трубе значение 5 — 0,18 АК, (6.60) где )т даатся равенством (6.34).
Величина, определяемая формулой (6.60), оказывается примерно на 80о(о больше той, которую дабт (6.36!. Отсутс~вие экспериментальных данных не позволяет установить, какое пз эы!х значений ближе к истинному, однако сравнение соответствующих решений для круглой трубы даат основание считать формулу (6,60) более верной. 3. Развитие произвольного профиля скоростей в круглой трубе. Решение зсшачи о развитии линейного профиля скоростей в круглой трубе, рассмотренное в п, 1, легко обобщается на счучай произвольного профиля Рассмотрим опять течение в круглой трубе радиуса К и пололшм, что поступающая в трубу хгндкость имеет во входном сечении е=0 некоторый напербд ззданный произвольный г осесимметрнчный профиль скоростей (У(иб, где ! = —. Допустим далее, что функция ~/(у) может быть разложена в ряд !) Решение втой аааачв, вполне ана !Оп!чное решению лля нруглой труби!, нами не приводится.
Ниже, в 8 20, формулы (6.59) буауг получены предельным переходом нэ решения задачи о течение а плоском диффузоре. 230 РАВВитие течения ВязкОЙ жидкости В тРувах (гл.у! Фурье-Бесселя и что зто разложение имеет вид: и(!) = и„ф(у), (6.61) ф (у) = 1+ ч, Ь, (дв (а„у) — дг (а„)), (6.61') где а„— последовательные корни уравнения 3,(х]=О, а (>„— постоянные коэффициенты разложения '). Что касается величины и„то она при выборе ф(у) в виде (6.61') будет равна средней по расходу скорости во входном сечении трубы. Лействп тельно, расход во входном сечении равен: ! !.! =2игсгио ~ ф (у) уду. (>одставляя сюда ф из (6.61') и вычисляя интеграл, получим: Е2 =п(сгие, откуда О и„= —,= и,. яйм Тогда уравнение (6.37) примет нид: дги 1 ди (ди дР ~ дуг у ду ~дх дх / — + — — =- А>1 — + — 1 — Р(у), (6.63) где Р (у) — — + — — — — ~чР Ь„аг Ло (а.у) (6.63 ) дг4 1 д(> Уравнение же (6.37') преобразуется попрежнему в (6.30').
Легко убедиться, что граничные условия в рассматриваемой задаче сохранят вид (6.40) и (6,40'), кроме условия (6.40') для и, которое теперь будет; ирн х)О н у=О и= — ы!(1)= — ф,. (6.64) !) Значения а„можно найти, как указывалось, в цитированных нз стр. 101 таблицах Л.
А. Л>остерника и др. По поводу же определения коэффициентов Ь„см. Р. О. К у а ь и и н, стр. 126. Для нахождения закона течения в трубе обратимся опвть к уравнениям (6.37) и введем новые переменные, которые Все, кроме и, будут иметь значения (6.38), а и будет: и ! — Вр (у) (6.62) ио 3 18) изхчянпв твчянпя с помощью пгнвлижянных хг-иий 2Ы При этом, как видно из (6.61'), Ф1=1 ~3.3х(а,) Р Таким образом, рассматриваемая задача сводится к интегрированию системы уравнений (6.63) и (6.39') при граничных условиях (6.40) и (6.64).
Лля решения ед опять воспользуемся методами операционного исчисления. Так как расчдты здесь во многом аналогичны тем, которые встречались в п. 1, то в некоторых случаях промежуточные выкладки будем опускать, Переходя в (6.63) от оригиналов к их изображениям пах, получим уравнение й1л у Иу — "+ — —" — рйи=рйР— Р(у) (6.63) общее решение которого будет: и =С,1,(пу)+СхКа(лу)+ и„ (6.66) где и имеет значение (6,42). Частное решение и, будем искать в виде: и, = ~чР А„3, (а„у) + В, где А, н В в подлежащие определению постоянные коэффициенты. Подставляя это значение и, в (6.66) и заменяя там одновременно Г(н) выражением (6.63'), будем нметгс ~с'., — (а„'+ пх) А„Ла (алУ) — Р й В =РйР+ ~ лаЛ„(аУ).
т Отсюда, приравнивая соответствующие коэффициенты в левой и правой части, найдвм: а яч А„= — „" ', В= — Р. а; -(-па В результате общее решение (6.66) примет впд: Ь.,я; и=С 1 (у)+С К ( у) — 1„х ' ' 3а(а,Зу) — Р. 252 Развитие те'и:ния вязкой жидкости В тРуБАх (гл. \Г1 Так как скорость на оси трубы конечна, то в полученном выражении следует положить Са = О, Определяя теперь зиа1ение С, с помощшо условия (6.64), найдем окончательно. 1 (лу) - ч-ч ад и=(Р ф ) а ' Р У „За(п„у) ° (6,67) (а(н) а--)-иа Перейдем к определеи1ио Р. Второе из уравнений нашен системы после перехода от оригиналов к изображениям примет вид (6.41') и ириведйт опять к соотношению (6.44). Подставляя в (6.44) значсш1е и из (6.67) и вычисляи интеграл, получим: :(Р— ф1) — ' — Р— 2 Ра .," — ',)1(а,)=О и 1 1„(л) а", -1-па Принимая теперь во внимание равенство (6.45), а также то, и что: Л1 (и.,) = )1(п), так как Оа(а,) = О, найдем окончаа, тельно, заменяя л значением (6.42): з ат " 7'~я 11 ПУдй) 11 (у'"ВВ ) „а'„-'-(-ря ™ или Р— Ра+ ч~Р Р, (6.68') где смысл введйнных в (6.68') ооозначеннй очевиден.
Перейдем теперь к определению оригинала Р. Сравнивая правые части (6.68) и (6.46), находим сразу, что Ра будет равно произведению выражения, стоящего в привоя части формулы (6.50), на ф,. Остаатся определить Р„. Из (6.68) видно. что Р, так1ке являетси дробной функцией вида (3.16), имеющей в точке р=О простой полюс, и что, следовательно, ей оригинал Р, дастся формулой (3.22). При этом полкжы функции Р„также лежат в точках, где р„имеет значении (6.47).
Заметим, что точка, где р)т = — пт„не является полюсом функции Р„; в этом легко убедиться, раскрывая соответствующую неопределенность, которая иолучае1ся вследствие того, ф 181 изгнание тьчвнпя с помощью пгчшлижкнных кг-нпй йаз что одновременно будет !а (рЯ) = 1а (га„) =.)а (а„) = О. Тогда, представляя Р„в виде: Р—— !'д. аа(ч,) !в!1 ргг! у, (а) ! ,-'-)-РУС)(а(рг1и) Л(»' найдем подобно предыдущему: у <1, ! 4Ь,,а()а(а„) ват. Ша! гаа(т. — гсл Кроме того, используя ряды (6А9), будем ивет!и Р 8 ! Р., — = — — К,,), (а,,) в.—,— Ђ '-''за —,1( 8 х+ ! )лА (а )+ !! 8 ) лА (а ) г ! + (н) ,')с „,, с, 8 1 8 т Ь„а„ Ла(ч„) Заметим, наконец, что на основании (6.68') будет: Р=Р,+~,Р„.
Заменим злесь сумму найденным выше знзчением, а величину Є— произведением прая(,й части (6,50) на !!у!. Подставляя одновременно вместо ф, выражение (6.64') н переходя с помощью (6.38) к размерным величинам, найдйм окончательно следующий закон распределения давлений вдоль осн трубы: Ра — Р Ь ! кчг 8г —.-= — а+ —.+ т ! — — ' Ь Ла(а,)— тих й 8 х а Ъ~ ! ! %)Ь„)а(т„)1 ~а "— ~а (6.69) откуда следует, что а! равняется выражению, стоящему в фигурной скобке.
Подставляя все этп значения в (3.22), получим. 254 елзвитии твчвния вязкой жидкости в тггвлх (гл. ш Покажем, что решение (6.69) действительно дает р=р, при х=О. По формуле, устанавливающей зависимость между цилиндрической функцией и еа корнямп, имеем '): Е 2х (х Ча(х))' х 4 х 14(х) — = — — — — — — (6.7О) ха )т х а),(х] 2 х 2 1а(х) ' Полагая здесь х = а„, получим: 1 1 2 4=1 ~, )» т я 4 з' = — Р—  — ХЬ ч гле 1а ( Ф~з') "' 1а(УМ ' а„'-,' (1„(.„Г) 1,(У В(Е)+1,Д~'Р)ед) )а(.„)» (а„-)- вй) 1 (и' г1(т) Тогда, очевидно, будет: = — Р— ра — ~ т„. (6.71) Сравнивая выражение у, с правой частью (6.54), приходим к выводу, что м, будет равно произведению правой части выражения (6.56) на фо Значение,, будет здесь опять определяться формулой (3.22).
Прп этом полюсы функции м,. также лежат в точках, где ра имеет значения (6.47), а точка, где рГ)1гс =и„попрежнему не является полюсом, так как 1, (га„у) = За (а,у) п г) См. Р. О. К у з ь и и и, выше цнт., стр. 111. Это равенство вместе с (6.52) и доказывает выполнение условий прн а=О. Отсюда одновременно следует равномерная схолимость ряда, стоящего в правой части (6.69) Перейдем теперь к определению и.
Заменяя в (6.67) величину Р, входящую в первое слагаемое, ее значением пз (6.68) и принимая во внимание соотношение (6.45), представим и в виде: и 18) пзУченпе теченпя с помощью пРньлпженных УР.ППЙ гчз 1г(уа„)= — )г(а„). То~да, обозначая числитель н знаменатель. пРавой части Р„чеРез г, (Р) п уг(Р), найдвм, что — — = — 4п„а„"- ), (а„) 7! Фк) ° !о(гаУ) рьу'(рь) " " " )г(о — ' )1-(' ! Кроме того, используя ряды (6,49), будем иметь: РР 8ог!г(о,) ! + Ь„,!о (а„у) + )г (а„) ( — л+ 2у' — —,, †.':, — + Е (р), 78 2 8')(! откуда определим и!. В результате формулз (3.22) даст: !р, = а, ( )о (а У) + )г (а„) ( — л+ 2у' — — — —...
(— чг !о (4У) — — к — 4Ь„а„')г (а,) Я ° г г а Х Подставим теперь в равенство (6.71) найденное знзченпе л„, а также величину )г„раину!о произведению правой части (6.о6) на !г!, и выражение )о, определяемое формулой (6.69). Тогда, после замены ф, вырзжением (6.64') получим: и = 1 — 2уг — ~г(г„()о (а,у) — )г (а„))— Переходя здесь с помощью (6.38) и (6.62) и размерным велич!щам и заменяя одновременно в (6.62) величину ф!(у) ей значением (6.61'), найдем окончзтельно следующее выражение для закона распределения скоростей в круглой трубе: ок=2ио (1--')— Ф! оз.' т,г,г )гг ! !Е() ) 255 гьзвитие тсчснпя вязкой жидкости в тгьвлх !гл, ш тле 7„7х — послеловзтельные нУли фУнке~и Ф(х) = хЛ„(.с)+ Нйн(х) и (6.74') 1 2тьз ) х/1х! !н(тьь Гх (6.
74") (т'ьь — пй),',(ть)+т' )",,'(ть] ' Если сумма вхолящего в (6.74') постоннного коэффициента 'Н и индекса цилинлрической функпип п положительна, то ,в разложении (6.74) /7в=О. Если же Н+п=О, то 1 йз — — 2 (п+! ) у" ~ хн+'/(х) с/т. (6.75) ~) См. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. !. Изд. пиастр. лнт., !949, стр. 655.
Тзм же указаны довольно широкие ус.ловия, которым при атом лолжна удовлетворять функция /(у). Из формул (6.69) и (6.73) след)ет, что при лалсинарном ре.нсиме любой' осссилынсчприиный нро(т)иль продольных скороспич! переходит в пределе при е — оо в параболический протри.гь с осевой' скоростью, равной удвоенной средней ло расходи скорошии во входном сечении. Прп етом формула (6.73) дает картину развития произвольного профиля скоростей и позволяет определить ллину началы<ого у щетка так же, кзк это было сделано в и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
