Главная » Просмотр файлов » С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений

С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 43

Файл №1132350 С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений) 43 страницаС.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350) страница 432019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

т) Таблицы см. в цит. выше кни~е Е. Янке и Ф. Энде, стр. 102. ГЛАВА У11. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ. Ь 19. Установившееся течение вязкой жидкости в плоском и коническом диффузорах. 1. Радиальное течение в плоском диффузоре (конфузоре). Изучение течею>я ьязкой жидкости в диффузорах п).еде г;шляет собо>о зпдачу, пиеющую большое значение как для пракгики, так и для тео, ' >> рии движения вязкой кпдкастп вообще. Случай чисто радиального течения в плоском диффузоре плп конфузоре, рассмотренный л Гамелем '), особенно ин>ересен а г в теоретическом отношении как один пз немногих примеров течений, для которых удается получить точное ре>пение соответствующих уравнений двпя<ения вязкой жидкости. Фиг. 43.

Рассыотрпм установившееся плоско-параллельное течещю вязкой жпдкосгп между двумя нео>'раиичеиньмш илоскостямп, наклоненными друг к дру~у под углом ря >фиг. 43). Прп этом будем считать, что течение является чисто радиальным, а в точке О находится источник )диффузор) или сток >>конфузор); массовыми силами, как обычно, будем пренебрегать. Для изучения течения жидкости обратимся к уравнениям движения в цилиндрических координатах (1,47), полагая в них ') С>. Н а гп е1.

)аигезЬег. ф Оеа1ьс1>. Ма>П. Уег., т. 25, 1916, стр. 34 — 60. 19] Устлнонизшееся течение В диФФУзоглх 269 соглзсно принятым условиям о, = о(г,з), и, = ть = 0 и 7-'= О. Тогда системз (1,47) примет вид: ! др 7дзн ! дго ! до ФД вЂ” — --+ ' —:+-з — + — — — 2! ! ° й дг (дгз г:"дте г дг г!)' ! (701) ! др ! 2ндо д(ге) — г дт+ге д,— дг де дг В дзльнейшем будем рзссмзтрпвать поток или только рзсходящийся во всей облзсти течения, т. е. такой, что нсюду о) О, илп только сходящийся, т. е.

тзкой, что всюду о< О. В обоих случаях течение будет симметрично относительно плоскости р = О. Введем тогда в рзссмотренпе величину Я =. г! ] т дл ! = — г я! ом, (, Р (7.02) предстзвляюи!ую собою численное знзченпе полцринного рзсходз жидкости через любое сечение диффузорз, причем ввиду неразрывности течения 1,! = сопя!, Кроме тото, примем в качестве пзрзметрз Рейноль.зсз длн рзссмзтрпвземото течения величину г" ] еср] г М (7.03) о= —, И (т! г (7.04) где постоянный множитель !д введен с тем, чтобы сделать 7 величиною безразмерной.

Подстзвляя зто знзчение о во взорое из урзннений (7.01) и интегрируя по Ф, нзй.чеьс р = —, у ( й) + (л) Ф ( г), гид (7.05) где Ф (г) — некоторзя, подлежзитзя определению функция от г. Перейдем теперь к ивгетрироззнщо системы (7.01). Последнее из этих урз вненпй укззынзет, <то произведение го является! функцией тольло угла о и что, следовательно; течения вязкой жидкости в диввязогьх [гл. чи 270 Наконец, заменяя в первом из уравнений (7.01) о н р выражениями (7.04) и (7.05), будем пмегги У" (р)+ 41(р)+ ЙР(р) = — „Ф'(г), где гс имеет значение (7.03).

Так как левая часть полученного равенства зависит только от м, а правая только от г, то каждая из этих частей должна быть постоянной. Следовательно, будет: ~с (7.06) /" (р) + 47'Ор) + Яу'а (м) + С = О. (7.06') Определяя из (7.06) значение Ф(г) и подставляя его в (?.05), найдем для распределения давлений выражение р= — „~ У(р)+---~ +сопэС (7.07) Интегрируя уравнение (7,06') один раз по у, получим: у-а=-." ;Й(7(~), (7.08) где И()) = уа — — ~"" — 3 — 1+ И, (7.08') при ~ем й — постоянная интегрирования. Уравнение (7.08) интегрируется, как легко видеть, в эллиптических функциях и определяет зависимость 7 от р.

Вместе с (7,04) и (7.07) это и дает решение поставленной задачи, Мы получим гораздо более на~ладное представление о характере течения, если, не представляя в явном виде зависимость 7(р), с помощью эллиптических функций произведйм качественное исследование решения, исходя непосредственно из уравнения (7.08). При этом рассмотрим случаи расходящегося н сходягцегося течения отдельно. а) Расходящееся течение (днффу вор).

В случае расходящегося течения будем иметь о ) 0 и, следовательно, ~) О. Введем обозначения; о(г,О)=ня н У(0) =уя. $1Я УстАнонившяеси течение в ДПФФУзоглх 271 Тогда, так как рассматриваемый нами поток симметричен, то, при 7 =7а будет 7'=0 н, следовательно, 17(7,) =О. Пусть два дРУгнх коРнЯ УРанненпЯ У(7')=0 бУдУт /г и га. ПРи этом, как видно из (7.08'), должно быть: Уа+Л+Л= о. б (7.09) далее, так как при р = а значение 7'(а) действительно н.

Фнг. 44. так как в силу прилипания жидкости к стенке /(а) в=О, то из (7.08) следует, что У(0) = — й =- О. (7.10й Кроме того, на основании (7.08') будет: и(+ )(О, и( — )~О. (7ПО'), Принимая все это во внимание, придем к выводу, что кривая, изображашщая зависимость У(7), может иметь вид пли (/), или (О) нз показанных на фпг.

44, а; прн этом в случае (О) корни,Гг н га будут комплексно сопряжен нымн иУ~ + Га (О. Всякая, другая форма кривой У(7) будет противоречить иля условию (7.09), илн нераненствам (7.10). Заметим теперь, что если в (7,08') внести вместо С величину уы то будет: ( (У)=(.7,— 7') ~7'+(Л+ —,) У+ ~,~ ('") Тогда пз (7.08), принимая во внимание, что г(|р) в направле- нии от оси убывает н что при р=О 7=7а, а при т=п. тгчгнпг. вязкой жидкости в диьвтзотхх (гл. тп 272 7=-0, получим: а= )/à —, йй. 1' и(т'1 (7.1 2) !'сли угол раствора а будет превосходить значение (7.12') то в диффузоре с чисто радиальным потоком будут возни-' кать области обратного течения. Эти области могут возникать или вблизи одной из стенок, пли около обеих стенок одновременно, или, наконец, обласп! вытекання и втекання могут чередоватьс!~ между собой, причем число этих областей с увеличением )х может неограниченно возрастать.

Т;!ким образом, расходвцееся течение, при которгм! жидкость во всем сечении течет только в одном направлении, возможно лишь при углах рас!вора диффузора а(а,„. Для подсчета значения аых„удобно ввести новое переменное ф, полагая 7=/ соз' ф. Тогда из (7.12') получим: / б а!! и!нвв — ~I ВУ 2 Е (7.13) Величинз стоягцего в правой части эллиптического интеграла ири ка кдом данном значении )с/а может быть определена из соответствую.иих таблиц. Так как Ь вЂ” величина положительная, то, как видно из (7.11) и (7.12), с уменьшением Ь значение а будет возрастать. Но по условию (7.10) постоянная интегрирования й не может .быть меньше нуля. Следовательно, при й=О угол а достигает в случае течения рассзштриваемого типа своего наиболь.шего значения а,„,„, где 9 19) установившееся течение в диееузорлх 273 В частности, при достаточно болшиих числах Рейнольдса, 3 пренебрегая величиной — по сравнению с единицей, получиои "Уо )' РК, ам,„= — 1' 3 ~ — ~ — = 3,211.

(7.13') 1/ 1 1 1 — — зп!о ', Заметим еше, что на основании (7,04) и (7.03); о по оо о= ~ Положим здесь оо =-,'о, ) (1+ а (г)), где е (г) — величина, характернзуюшая разность между осевой и средней скоростью в данном сечении. Тогдз из (7.13') будем иметь: — 3,211 ) Рамн. —— — ' -32, 1 )- р(г) (7.1 4) так кзк при больптх значениях Р, лля которых справедливо (7.14), величина о,р мало отличается от о и а (г) близко к нулю. Из (7.14) следует, что при болю!их Р расхолшнееся ~ечение, совершаюшееся в олпом направлении, может иметь место только в диффузоре с достаточно малым углом раствора а. Найдем в атом случае приближенное выражение для закона распределения скоростей. Для это!о обратимся к уравнению (7,06'). Так как при больших Р величина о почти во всбм сечении мало отличается от оо, то соответственно и 7 будет мало отличаться от уо, Позтому можно приближенно положить Р /' — Р,Гот.

Тогда уравнение (7,06') примет вил: ~" (м) + (4 + Руо) 7(р) + С =- О. На так как в россо!атриваемом случае угол а весьма мзл, то, как видно пз 17.13'), величина РЯо очень велика. Тогда, пренебрегая ч!голом 4 по сравнешпо с Руо, получим окончательно: 7" (Т)-+ Е~.у ® = — С 18 с, и, торг тгчгнив вязкой жидкости в днээгзогдх [гл. чи 274 Интегрируя это уравнение, найдем: С 7 = А з(п пъ + В соз лз — —, где «=1 й/,. (7. ! 5) (7.(о') Для определения постоянных Л, В и С имеем условия: при э = п,т=- О, при р = 0 г'" = 0 и ~,~ (р) с(м = 1, вытекающие соответственно пз факта прилппзнпя жидкости к стенке, из симметрии течения и из постоянства расхода.

Удовлетворяя этпи условиям. получим пз (7.15): соз «т — соя «ч /=л . 5!и «3 — «х сох «и Подстзвляя это в (7.04), найдем окончательно: «ы соз «т соз «х г а1и «я — ««соз «« (7. ! 6) Таким образом, в рассматриваемом случае профиль скоростей в каждом сечении изменяется по закону косинуса, а скорость течения вдоль каждого из радиусов убывает обратно проиоршшнально расстоянию от источника. Рассмотрим, наконец, течение в диффузоре с углом а, много меньшим, чем а „, и таким, что лп((1. Тогда.

заменяя в (7,16) тригонометрические функции их разложениями в ряды и отбрасывая члены с («а)ч и выше, получим: се= — —,, — 1 — — „ зд( "хг(, «а!' (7. 17) Таким образом, при очень малых углах раствора профиль ск«ростей в каждом сечении будет параболическим, чего и следовало ожидать, так как ввиду малости и мы здесь приближаемся к случаю течения в плоской трубе. Отличие состоит лишь н том, что по иере удаления от «сточнпкз скорости убывают обратно пропорционально г. б) С х о д я щ е е с я т е ч е н и е (к о н ф у з о р), Перейдем к рассмотрению случая сходящегося течения.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,89 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее