С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 43
Текст из файла (страница 43)
т) Таблицы см. в цит. выше кни~е Е. Янке и Ф. Энде, стр. 102. ГЛАВА У11. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ. Ь 19. Установившееся течение вязкой жидкости в плоском и коническом диффузорах. 1. Радиальное течение в плоском диффузоре (конфузоре). Изучение течею>я ьязкой жидкости в диффузорах п).еде г;шляет собо>о зпдачу, пиеющую большое значение как для пракгики, так и для тео, ' >> рии движения вязкой кпдкастп вообще. Случай чисто радиального течения в плоском диффузоре плп конфузоре, рассмотренный л Гамелем '), особенно ин>ересен а г в теоретическом отношении как один пз немногих примеров течений, для которых удается получить точное ре>пение соответствующих уравнений двпя<ения вязкой жидкости. Фиг. 43.
Рассыотрпм установившееся плоско-параллельное течещю вязкой жпдкосгп между двумя нео>'раиичеиньмш илоскостямп, наклоненными друг к дру~у под углом ря >фиг. 43). Прп этом будем считать, что течение является чисто радиальным, а в точке О находится источник )диффузор) или сток >>конфузор); массовыми силами, как обычно, будем пренебрегать. Для изучения течения жидкости обратимся к уравнениям движения в цилиндрических координатах (1,47), полагая в них ') С>. Н а гп е1.
)аигезЬег. ф Оеа1ьс1>. Ма>П. Уег., т. 25, 1916, стр. 34 — 60. 19] Устлнонизшееся течение В диФФУзоглх 269 соглзсно принятым условиям о, = о(г,з), и, = ть = 0 и 7-'= О. Тогда системз (1,47) примет вид: ! др 7дзн ! дго ! до ФД вЂ” — --+ ' —:+-з — + — — — 2! ! ° й дг (дгз г:"дте г дг г!)' ! (701) ! др ! 2ндо д(ге) — г дт+ге д,— дг де дг В дзльнейшем будем рзссмзтрпвать поток или только рзсходящийся во всей облзсти течения, т. е. такой, что нсюду о) О, илп только сходящийся, т. е.
тзкой, что всюду о< О. В обоих случаях течение будет симметрично относительно плоскости р = О. Введем тогда в рзссмотренпе величину Я =. г! ] т дл ! = — г я! ом, (, Р (7.02) предстзвляюи!ую собою численное знзченпе полцринного рзсходз жидкости через любое сечение диффузорз, причем ввиду неразрывности течения 1,! = сопя!, Кроме тото, примем в качестве пзрзметрз Рейноль.зсз длн рзссмзтрпвземото течения величину г" ] еср] г М (7.03) о= —, И (т! г (7.04) где постоянный множитель !д введен с тем, чтобы сделать 7 величиною безразмерной.
Подстзвляя зто знзчение о во взорое из урзннений (7.01) и интегрируя по Ф, нзй.чеьс р = —, у ( й) + (л) Ф ( г), гид (7.05) где Ф (г) — некоторзя, подлежзитзя определению функция от г. Перейдем теперь к ивгетрироззнщо системы (7.01). Последнее из этих урз вненпй укззынзет, <то произведение го является! функцией тольло угла о и что, следовательно; течения вязкой жидкости в диввязогьх [гл. чи 270 Наконец, заменяя в первом из уравнений (7.01) о н р выражениями (7.04) и (7.05), будем пмегги У" (р)+ 41(р)+ ЙР(р) = — „Ф'(г), где гс имеет значение (7.03).
Так как левая часть полученного равенства зависит только от м, а правая только от г, то каждая из этих частей должна быть постоянной. Следовательно, будет: ~с (7.06) /" (р) + 47'Ор) + Яу'а (м) + С = О. (7.06') Определяя из (7.06) значение Ф(г) и подставляя его в (?.05), найдем для распределения давлений выражение р= — „~ У(р)+---~ +сопэС (7.07) Интегрируя уравнение (7,06') один раз по у, получим: у-а=-." ;Й(7(~), (7.08) где И()) = уа — — ~"" — 3 — 1+ И, (7.08') при ~ем й — постоянная интегрирования. Уравнение (7.08) интегрируется, как легко видеть, в эллиптических функциях и определяет зависимость 7 от р.
Вместе с (7,04) и (7.07) это и дает решение поставленной задачи, Мы получим гораздо более на~ладное представление о характере течения, если, не представляя в явном виде зависимость 7(р), с помощью эллиптических функций произведйм качественное исследование решения, исходя непосредственно из уравнения (7.08). При этом рассмотрим случаи расходящегося н сходягцегося течения отдельно. а) Расходящееся течение (днффу вор).
В случае расходящегося течения будем иметь о ) 0 и, следовательно, ~) О. Введем обозначения; о(г,О)=ня н У(0) =уя. $1Я УстАнонившяеси течение в ДПФФУзоглх 271 Тогда, так как рассматриваемый нами поток симметричен, то, при 7 =7а будет 7'=0 н, следовательно, 17(7,) =О. Пусть два дРУгнх коРнЯ УРанненпЯ У(7')=0 бУдУт /г и га. ПРи этом, как видно из (7.08'), должно быть: Уа+Л+Л= о. б (7.09) далее, так как при р = а значение 7'(а) действительно н.
Фнг. 44. так как в силу прилипания жидкости к стенке /(а) в=О, то из (7.08) следует, что У(0) = — й =- О. (7.10й Кроме того, на основании (7.08') будет: и(+ )(О, и( — )~О. (7ПО'), Принимая все это во внимание, придем к выводу, что кривая, изображашщая зависимость У(7), может иметь вид пли (/), или (О) нз показанных на фпг.
44, а; прн этом в случае (О) корни,Гг н га будут комплексно сопряжен нымн иУ~ + Га (О. Всякая, другая форма кривой У(7) будет противоречить иля условию (7.09), илн нераненствам (7.10). Заметим теперь, что если в (7,08') внести вместо С величину уы то будет: ( (У)=(.7,— 7') ~7'+(Л+ —,) У+ ~,~ ('") Тогда пз (7.08), принимая во внимание, что г(|р) в направле- нии от оси убывает н что при р=О 7=7а, а при т=п. тгчгнпг. вязкой жидкости в диьвтзотхх (гл. тп 272 7=-0, получим: а= )/à —, йй. 1' и(т'1 (7.1 2) !'сли угол раствора а будет превосходить значение (7.12') то в диффузоре с чисто радиальным потоком будут возни-' кать области обратного течения. Эти области могут возникать или вблизи одной из стенок, пли около обеих стенок одновременно, или, наконец, обласп! вытекання и втекання могут чередоватьс!~ между собой, причем число этих областей с увеличением )х может неограниченно возрастать.
Т;!ким образом, расходвцееся течение, при которгм! жидкость во всем сечении течет только в одном направлении, возможно лишь при углах рас!вора диффузора а(а,„. Для подсчета значения аых„удобно ввести новое переменное ф, полагая 7=/ соз' ф. Тогда из (7.12') получим: / б а!! и!нвв — ~I ВУ 2 Е (7.13) Величинз стоягцего в правой части эллиптического интеграла ири ка кдом данном значении )с/а может быть определена из соответствую.иих таблиц. Так как Ь вЂ” величина положительная, то, как видно из (7.11) и (7.12), с уменьшением Ь значение а будет возрастать. Но по условию (7.10) постоянная интегрирования й не может .быть меньше нуля. Следовательно, при й=О угол а достигает в случае течения рассзштриваемого типа своего наиболь.шего значения а,„,„, где 9 19) установившееся течение в диееузорлх 273 В частности, при достаточно болшиих числах Рейнольдса, 3 пренебрегая величиной — по сравнению с единицей, получиои "Уо )' РК, ам,„= — 1' 3 ~ — ~ — = 3,211.
(7.13') 1/ 1 1 1 — — зп!о ', Заметим еше, что на основании (7,04) и (7.03); о по оо о= ~ Положим здесь оо =-,'о, ) (1+ а (г)), где е (г) — величина, характернзуюшая разность между осевой и средней скоростью в данном сечении. Тогдз из (7.13') будем иметь: — 3,211 ) Рамн. —— — ' -32, 1 )- р(г) (7.1 4) так кзк при больптх значениях Р, лля которых справедливо (7.14), величина о,р мало отличается от о и а (г) близко к нулю. Из (7.14) следует, что при болю!их Р расхолшнееся ~ечение, совершаюшееся в олпом направлении, может иметь место только в диффузоре с достаточно малым углом раствора а. Найдем в атом случае приближенное выражение для закона распределения скоростей. Для это!о обратимся к уравнению (7,06'). Так как при больших Р величина о почти во всбм сечении мало отличается от оо, то соответственно и 7 будет мало отличаться от уо, Позтому можно приближенно положить Р /' — Р,Гот.
Тогда уравнение (7,06') примет вил: ~" (м) + (4 + Руо) 7(р) + С =- О. На так как в россо!атриваемом случае угол а весьма мзл, то, как видно пз 17.13'), величина РЯо очень велика. Тогда, пренебрегая ч!голом 4 по сравнешпо с Руо, получим окончательно: 7" (Т)-+ Е~.у ® = — С 18 с, и, торг тгчгнив вязкой жидкости в днээгзогдх [гл. чи 274 Интегрируя это уравнение, найдем: С 7 = А з(п пъ + В соз лз — —, где «=1 й/,. (7. ! 5) (7.(о') Для определения постоянных Л, В и С имеем условия: при э = п,т=- О, при р = 0 г'" = 0 и ~,~ (р) с(м = 1, вытекающие соответственно пз факта прилппзнпя жидкости к стенке, из симметрии течения и из постоянства расхода.
Удовлетворяя этпи условиям. получим пз (7.15): соз «т — соя «ч /=л . 5!и «3 — «х сох «и Подстзвляя это в (7.04), найдем окончательно: «ы соз «т соз «х г а1и «я — ««соз «« (7. ! 6) Таким образом, в рассматриваемом случае профиль скоростей в каждом сечении изменяется по закону косинуса, а скорость течения вдоль каждого из радиусов убывает обратно проиоршшнально расстоянию от источника. Рассмотрим, наконец, течение в диффузоре с углом а, много меньшим, чем а „, и таким, что лп((1. Тогда.
заменяя в (7,16) тригонометрические функции их разложениями в ряды и отбрасывая члены с («а)ч и выше, получим: се= — —,, — 1 — — „ зд( "хг(, «а!' (7. 17) Таким образом, при очень малых углах раствора профиль ск«ростей в каждом сечении будет параболическим, чего и следовало ожидать, так как ввиду малости и мы здесь приближаемся к случаю течения в плоской трубе. Отличие состоит лишь н том, что по иере удаления от «сточнпкз скорости убывают обратно пропорционально г. б) С х о д я щ е е с я т е ч е н и е (к о н ф у з о р), Перейдем к рассмотрению случая сходящегося течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
