С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 35
Текст из файла (страница 35)
45) нли т= — !и з. (5. 45') Бведйм, кроме того, функцию Ф ( ) = ( (1 — т )' о(т. (5.46) о Если взять из (5.34) значение и=5,46 и представить подинтегральное вырез<ение в виде ряда, то, произведя почленное интегрирование, будем еще иметь: Ф(т) =т — 0,606 т'+ 0,149 т'+ 0,007 т'+... (5.47) Тогда, замечая, !то Ф(т) — функция нечетная, найдем из (5.39) и (5.45'): г"-(а) = (2(7о)" Ф (О! 6), Г(1! — й!) =(2(уа)" Ф ((Мз — й()1, / где обозначено (г — о — 0 86 ~'ь хчн и (5. 48) (5А9) Подставляя значения (5.48) в (5.41) я переходя с помощью (5А5') от м к т, получим окончательно; д а 69 — сР(г) и (5.50) где !ь (аг) + т Т= ! + т!в (аг) ' (5.51) Закон распределения скоростей в слое будет даваться формулой (5.32), где в рассматриваемом случае ()= О, а ч определяется формулой (5.50).
Таким образом, задача оказывается решенной. '!б нгтстлновившвтся твчвниз в !!огтхничном слоя (гл. и Покажем, что при г — со полученное решение пеоеходит в решение соответствующей сташюнарной задача. Прежде всего из (5.51) будем иметь, что при г = оо Т = 1. Тогда формула (5.50) дает Ьа Ф(!! — Ф!г) "г —.— ж = —.>— 2С н !! — т-")"' (5.52) (К Ва (1 — та)': — ' д.! д! Ж„(1 Ы!" Л г!Г ' Но из равенства (5,51) следует, что дт а (! — та) ! — тг 1 дг=(СИЛ!+гайд!) ' ! — -:-'=(Сна!+я,ЛЕ)р (О 55) В результате, принимая во внимание (5.49), получим.
Ь ,"=--(с)!И+тяпах) ". (5.54) Последнее равенство дает при ! = оо чх == О. Так как в рассматриваемом случае и У=О, то формула (5.32) перехотит при этом в формулу (4.64), вырахсающую закон распределения скоростей и слое при стационарном течении '). Таким образом, мы убеждаемся, что полученное решение действительно дает ири à — оо решение соответствующей стационара ай задачи. Перейдем к определению положения точки отрыва.
Подставляя в (5.42) значение ч пз (5.54) и используя равенства Х ') Значение с ири — =х нлн т= — 1 в случае Г т может не а рассматриваться, так как з установившемся течении отрыв иограничного слоя происходит при †' с х. а Заметим, что такой же результат получится из формулы (4.66) для стационарного лвижения, если в ней заменить У значением (5.16), и, беря начало отсчета в передней критической точке, положить х„ = О. Далее нз (5.50), учитывая обозначение (5А6), найдем: (5.34), получим: т ') — хб4 1, = — 6,21 — 0,976 (с1~ М+ соз — зб лг' ~ . (5.55) Вырзчсение );=У'С опрелеляегса знзчениями О и . из (5,16) и (5.50). Таким образом, формула (5.55) позволяет найти место отрыва кзк функшио х и 6 т. е. установить, где произойдвт отрыв е какой-нибудь фиксировзнный момент времени ( или, нзоборот, когда произойдет отпив з точке с длиной коорлинзтой х.
Нзйдбм, пользуясь формулой (5,55), момент начзльиого ~трывз. Из (5.5э) и (5.16) вилно, что отрыв них ступит пре'кле всего в точке, гле — =я, т. е. в зздисй крин тической точке. Полагая тогда т= — 1, получим из (5.51), что (( — 1, 0 = — 1. При этих знзчениях формулз (5.50), определяюгцзя величину,", дает неопределешюсть. Рлскрывзя вту иеогредсченность н используя при диффереицпровзнпи функции Ф1т~ озвенство (5А6), получим: Ззменяя здесь величину, стояшую в круглой скетче, ее знзчением из (5.53) и вычисляя с пои шгью (5.51) — ', нзйдйм дг' окончательно: ).-, ~ = -- (1 — с ""').
1> и Положим теперь в (5.56] — =и и иодстэвим туда нзйленное и значение ь, з также величины Ь и и из (5,34). Тигля для определения момента начального отрыве г', почучим урзвнение ез з'"' .= — 3,28, Отсюдз, заменяя )з его знзчением нз (5А9), находим; (1 —— -0,25 — . и„' (5.56) Полученное здесь значение г, окззывзется несколько меньшим, чем то, котороз определяют в первом и втором приближении равенствз (5.17). 9 16] пвивлижкнныв хвлвивния и их интвг иеовхнив 217.
203 неустьионившеьси те!ение В пОГРАничнОм слОе (Гл. ч При дзльнейшем дьиженип цилиндра (б)б,) точка отрыва нзчинает перемещаться от задней критической точки вверх. Найдвм положение, к которому стремится точка отрыва при б. О~; это полох ение будет соответствовать месту отрыва погрзничного слоя при установившечси течении, для которого закон распределения скоростей во внешнем потоке дается формулой (5.16).
Полагзя в (5.55) (= Оо, придем к условию А =((э"э),= — 6,21. Заменяя здесь (ч1~= ее значением из (5.52) и вычисляя ф(1) с помощью (5.47), получим для определения предельного положения точки отрыва уравнение Ьт, (0,55 — Р(т,)) =- — 6,21 (1 — т()"э ° Нзйдеиная из этого уравнения величина т, дает для предельного угли отрыва р значение е — 110~, где р — центральный учол, отсчитываемый от передней критической точки '). Время перемещении точки отрыва от начального положения, где рэ = 180~, до предельно~о положения, определяемого углом мю теоретически равно бесконечности, Однако практп.
чески, благодаря тому, что время Г входит в условие отрыни кзк степень поеззательной функции, перемен:.ение точки отрыв1 происходит очень быстро. Подсчет иокззывает, что угол отрывн ббдет с.тличзтьсЯ от шоего пРедельного значениЯ ф, нз 1в,'в тб а га бб бб ба аб аа йб Гбб а р ' Фиг, 33. г) Фотографии, приведенные в конце книги Л.
Прандтль— О. Т н т ь е н с, Гидро- н аэромеханнка, т. 11, ОНТИ, 1935, лают для угла я, несколько Сольнес эизчение, примерно 114 — 11,'Р, 16) пгпвлпженные Углвнения п нх пнтягниговхние 219 по истечении промежутка времени га (отсчитываемого от != О), равного: (а= 0,94— (5,57) с!о цилиндр за зто время пройдет расстояние немного меньше~, чем длина его радиуса. Можно считать, чзо примерно с этого момента начинается нарастание образующейся за цилиндром пары вихрей.
Появление этих вихрей вызывает изменение распреде ния скоростей во внешнем потоке; в результате вместо (5.16) получаетсн распределение скоростей того вида, которое для соотве!сгвующего частного случая лается эмпирической формулой (4.35!. Изменение распределения скоростей приводит в свою очерель к дальнейшему перемещению точки отрыва вперед до нового прелельного положения, определиемого углом и, = — 82 (см. ~ 1 1 или п. 2 ~ 1 2), Чтобы дать более ясную картину ростз толщины пограничного слоя с течением времени, были произведены соответствующие подсчйты по фор-, а муле (5.50) для момента на- ' !4 чального отрыва !! и лля момента с„ когла точка отрыва практически близка к пре- Г йод " фД дельной.
Картина изменения " ' " )"!!сф~~, толщины пограничного слоя на цилиндре в указанные !~лр' р! ныше моменты времени дана Йврмв на фиг. ЗЗ. Ллв! болыией на- ; !!ври глядности на фиг. 34 потри- '" -С:Фв'Ф' вм вм ничный слой для моментов !! и !а изображйн в увеличенном масштабе непосредственно на самом цилиндре. Обращает нз себя внимание сильный рост тол!цины пограничного слоя за точкой отрыва в момент 1, (грзницз слоя за точкой отрыва показана пунктиром), довольно ясно указывающий на образовзние нзчального вихря. 3.
Приближенные уравнения осесимметричного течения и их интегрирование. Изложенный выше метод легко распространяется нз случай обтекания тела вращения потоком, направленныч параллельно оси симмштрии тела. В случае неустанониви!егося течения движение в осесимметричном пограничном 220 накстхновгвшевся течение в погглничном слов (гл.
и слое описывается урзвнениями (4.08) и (4.19"). Как и в предыдущем случае, у равнение (4.08) может быть представлено в виде (5.29). При этом шюлогично (4.?2) найдем, что У дг„дп до, ( ?дп„, Р' — — — — — — — ) атл (5.58) х ПГ ~ крх йт ~ 10т ! ?С к) о Пользуясь теми же лов щенпями, что и в п. 1, заменим уравнение (5.29) приближенным уравнением (5.30). Прн вычислении тв, примем опять закон изменения о„ в виде (4.63], Одновременно, полаган, что перезнав часть обтекаемого тела является тупой, положим приолпженно ?? = )?ь(л). Тогда, подставляя значение т~ из (4.63) в (5.58), получим для ш„ выражение, отличзюигееся от (5.31) лишь тем, что коэффициент перед последней скоокой будет вместо — '. сохерхшть ~ — "+ — ~, 1О,' х '(1 а). Подставляя найденное таким образом значение а в правуич часть (5.30) и двзнсды интегрируя, н. идем аизлогичнс (5.32) и (4.73): 12 (? х4 ' ' " 20) 1ь (,35 ~ 2~ 10 56,1 4 (,4 ь ип, 3" ~ ' ь,'„)~зб ' 80 аб?~ ' Отсюдз, используя условие и,=(? при и =-1, получим для опре еленин следующее уравнение в частных производных: гл — '-~- С/ — '+ ( 2 — ' Ь + лИ' + т -, ' = /, (5 60) ис пг (, Й,~ где значения и, и и Р— те же, что и и (5.34), Задаю сводится теперь к нахождению чзстиого решеши уравнения (5.60), удовлетворяющего условию "= — 0 прп (= О.
Определив соотвегствующее вырзжение „"((, т1, мы их (5.59) найдем распределения скоростей в пограничном слое и шдзча таким зораном будет решена до конца. Пзконец, используя условие (4.03), получим, что и в данном с ~?чае месго и вре;и отрыва будут определяться уравнением (.5.35). й 16) пгивлпжйнныв хглвнвния и пх интшжпговхипв 221 В частном случае течения, возннкзкнцего м|новенно из состояния покоя, уравнегше (5.60) примет впд: о( / Ро и — + (/ — + ( 2 — (/ — 'лУ'),"=1>, ш дх (, й'ч (5. 61) и соответствующая ему системз обыкновенных дифференциаль- ных уравнений будет: пч па и (/ а — (2 — (/-( — л(/' ~ б % (5.62) Инчегрпруя уравнении, дзваемые равенствами двух первых и двух последних очношений, получим: (5.63) Перейдам здесь опять к переменному р, определяшшиу равенством (5.38), и введем функцшо /', (Р) = ~ Яз (Р) (/" (,1/, (5.6)) (/= —;,- (/„э и.— Х (5.65) Тогда, повторяя все рассуждения, приведенные в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
