С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Следуя идеям теории пограничного слоя, будем считать, что диск приволит вместе с собою во вращагельное движение только некоторый достато<но тонкий слой среды. Вне этого слоя среда вращательн,<го движения не имеет н давление в ней в направлении радиуса неизменно. Так как распределение давлений в пограничном слое полагается совпадающим с тем, которое имеет место во внешнем потоке, то, слеловательно, и в слое будет - — =- О.
др д<" Изменение давления в направлении Ог вследствие подсасывания жидкости к вращающемуся лиску будет при этом иметь место; олнзко опрелелением зависимости р(а) мы в рассматриваемой зада<с заниматься не будем. Движение среды в пограничном слое описывается уравнениями (1.47), в которых только будут отсутствовать массовые силы и произволиые по ! и по <р, так как течение считается установившимся и симметричным относительно оси вращения, Для решения задачи воспользуемся, подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе, вместо полных уравнений движения приближенными, учитывающими влияние инерционных членов лишь частично. При этом, имея в виду плавность течения в пограничном слое диска, заменим стоящие в левых частях уравнений (1 А7) компоненты ускорения частиц срелы их среднн<т по толщине пограничного слоя значениями ') Задача зта была поставлена н првбхнженно решена Карманом (Ка<шаи ть., Ле!ысьг.
раг авйеч<. мз<ь. иид месь., т. !. 1921, с<Р 244; изложение решенкя см. в кни< с Л. Г. Л< йнзнского «Аэродинамика пограничного слоя», стр. 218), Уточненное решение путем и<- сданного ннтегрвровани» подучил Ковран (С осй гав '<!<. С., Ргос. СашЬг. Рьи, йос., т. 30, !934, стр. 365; см. также книгу «Современное состояние гизраззродинамнкн вязкой жндхостя», т. 1, стр.
!22). 1ОЕ УСГАИОВиашееся течение В пОГРАничнОм слОе [Гл. 1ч (идея такого способа частичного учйта инерционных членов принадлежит проф. Н. А. Слезкину' ). Тогда рассматриваемые приближенные уравнения можно будет представить в виде: д ~ 1 д(го,) 1 дог', 1 др дг) г дг ) даэ Ндг - ~ — — '1-)- — ':= — — -)- (г), 1 д ~! д(го„)1 д оо дг (г дг 1 ' дао 1 д(гол доо — — '-+= =О, дг да (4.82) Где обозначено о 4(г) =- —.
) (о — '+ о ога,) 'дг ода г 7' о (4.82') В(г)=- —,~ р — — '+О "- 1 огз д' (, ' дг а да о а) См. Н. А. С л е а к н и и С. №. Т а р Г, Дока. Акал. наук СССР, т. (.!Ъ', № 3, 1946. Третье из уравнений системы (1.47) опущено, так как оно служит лишь для определения р(е); коэффициенты г при ( и В в уравнениях (4.82) введены лишь для упрощ«ния получаемых ниже выражений. Прп установлении граничных условий примем, что иа внешней границе погршшчного слоя скорости частиц среды могут иметь направление, только параллельное оси вращения (эта составлвгощая скорости сохраняется вследствие наличия подсоса), и что основная компонента трения т на этой границе равна нуле.
Кроме тою, полагаем, как обычно, что среда прилипает к плоскости диска. Тогда будем иметь: при а=О и,= — О, оэ=оаог, т~ .=О; до. (4.88) при г==:8 П,=О, Оэ=О, --'=-О. Заметим, ч го в рассматриваемом решении условно оэ = о, = О и та, =то,=о при а=о одновременно удовлетворены быть не могут, Поэтому мы сохраняем при т=-3 условия, указанные в (4.83), как основные, 1.1) поггхничный слой нх вгхшх«зшвися диск~ 111З Исходя из особенное~ей задачи, будем исьзть частное решение сисгемы (4.82), удовлетиоряюшее условиям (4,83), в виде: тб=г~, (г), о, =гУя(я), 'и,-= з(я) (4,84) Подставляя зтп знзчения в (4.82) и принимая во ннимание, что в рзссматрпввемой задзче — = О, придем к следующим др дг урзвнениям: уг(г) = Л, )г(я1 = — В, 27~ (г] +-.6з(я) =- О, (4.85) где иприхи означают производные по ю Так квк н первых двух уравнениях левые чести являются функциями только -, а Л и В могут ззвисеть только от г, то отсюда следует, что в данном случае А и В будут постоянныгш.
Звметим однонременно, что выражения (4.84) удовлетворят условиям (4.83) только прп г = 3„ = сопв1; вывод о постоянстве 8 следует, впрочем, и и~ нида получаемых ниже решений. При укзззнных условиях интегрирование системы (4.85) не представляет ннкзких затруднений, результатами, уловлетворянзшимп всем гршшчным )словпям (4,83), будут: 1 у, =.= — —,, Айо (з~ — з(), ! з, з уз= . Айо(3я( — 2яг) 3 Уя ==- гче (1 — Я~)з, (4,86) Йм В== = где дли со«решения записей обозначено: г,= — —, е (4. 86') 40 ч Л = — Аво„' — 8го-", 20 я =.= — Лйю 4 Ог сюдл находим: А.= — = —, во=3,50 $' 15 (4.87] 13 с, м.
тарг Для определения остзвшихся неизвестнымп величин Л и носпользуемся раненствами (4.82'). Полстлвляя в (4,82') знзченпя и„ и, тй и В из (4,84) и (4,86). придем после вычисления интегралов к урзвнениям: 194 Установившееся течения е погглничном слОе [гл. 1ч Такил~ образои, залача оказывается решйнной до конца.
Определим теперь момент снл трения, действующих иа лиск. Учитывая трение с обеих сторон диска и принимая во внимание (4.84), будем иметь для величины М выражение я А4=4п)е ~ гав с( =пцй~ ~ й 1 . (4.88) о ,и 9прК а 1,80)7 1, р,,„,т (4.88') зв Введем в рассмотрение безразмерный коэффициент момента сил трения, определяемый равенством: См,= ", (4.89) г™оьм Тогда будем иметь: 1,80 с„,=(,8о 1г А.
ма ь'й (4.90) где 02ЫО К=в т (4.91) — параметр Рейнольдса для рассматриваемого движения, Упоминавшееся выше приближенное решение Кармана, получение которого связано с более длинными расчетами, дает Смг )Угт = 1,84, что практически совпадает с (4.90). Весьма трудоемкое уточненное решение Кокрена, требующее численного интегрирования системы нелинейных уравнений и состав- леши таблип вводимых при этом функций, даат С г(~ гс = 1,935. Результат, определяемый формулой (4.90), отличается от Уточнйнного Решениа всего на 7а/а. СРавнение с экспеРимептои (фиг.
31) показывает, что определяемое теоретическим расчетом значение С является несколько преуменьшенным '). Это, повидимому, объясняется тем, что теоретическое решение не учитывает влияния концевого эффекта. ') ооответству1ощне эксперименты ирсжзволнлись Кемифом. О. К е ~и р 1, Чог!г. аиа б. ОеЬ. б. Н)т(го- ипй Аегобупашйц 1924, гтр.! бй. ПодставлЯЯ сюда значение Ут из (4.86), а зател~ значение а, ич (4.87), - ." в 141 погганпчный слой на вгащающамся диска 198 Следует име~ь в виду, что все полученные результаты будут справедливы только для ламинарного режима, т.
е., как видно из фиг. 31, приблизительно для К -- !О'. При гс м 10а пограничный слой у краев диска ста- г45 новится турбулентным. В заключение отме- — (55 тн, что полученное м решение может быть (65 уточнено следующим образом. Обратимся ко 175 второму пз полных урзвненпй движения (1.47), йу хв ряг»м М Уй которое служит для ! ',. ° ь (6! 16 ум определения в,. Отбро- -(55 9 Тура рвем сим в прзвой части этого уравнения все члены, содернгащие производные от пм по г г или отношение о к -655 г, как малые по сравнению с произволной ,65 по г; в левой асти запеним величины и„ и, .»15 и о» темп пх значения'- 46 46 46 Ы %6 60 64 ми, которые определя- (рд Р к1тся формулами (4.84), Фиг. 31, (4.86) и (4.87) предыдущего решеши. При этом все компоненты скорости считаются функциями»,.
В результате придйм к уравнению ч 4 — „—,; =0,348» — (Зг, — 6»1+ 4»1 — »,), 6;"и д» где ащ — новое, подлежащее определению значение толщины пограничного слоя. Интегрируя пол)ченное уравнение и удовлетворяя первому и последнему пз условий (4.83) для о,„ найдем: = ыаг — 0,01816 » — ' 8а»г (9»г — !ба~+ 18»,' — бгг +»г). !96 ястлнопиншееся течение В погелш!чиом слое (гл гя Удовлетворягт теперь условию о„=О ири лг = 1, получим: :, = З,т) 1тгг- —.
г ме Г!олстлвляя нлйденные зилчеиия и„и гш в формулу (4,88), определим величину М и окончательно будем иметгм ! с!! С мт (4.()2) Этот, в конечном счете весьма просто получаемый результат гж:шчвется от точного решения всего на 1,3"( . 2. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в цилиндрическом кожухе. Рессыотрим теперь задачу о вращении тонкого диске, злклгочйнниго н цилиндрический кожух. При этом зазор ме;лду крэщш щыкл и боковыми стенками кожуха будем иоллглть мллым и иринимлть радиус диска );г рввньщ рэдиусу кожуха; толпи!иой лиа,и тпкмсе булем пренебрегать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
