С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Примеры численного расчйта пограничного слоя с помощью полных уравнений движения. 1. Расчет пограничного слоя на плоской пластине. Рассмотрим тонкую пластину ОА, обтекаемую потоком мало- вязкой жидкости, текущим пзраллельно осн Ох с постоянной скоростью (з'„ (фиг. 26). Считая движе- м/ Д ние установившимся, произведем расчет иогрзничного слоя нз плзстине. Рассмотрим решение, Фнг. 20. почучзющееся путем непосрелственного интегрирования уравнений (4.09), прелложенное Блззиусом ').
Полагая, что жидкость ирилппзет к илзстинке, и считая, что скорость в пограничном слое переходит в скорость внешнего потоки зсимптотически, примем следукзщие граничные условия: при у=0 о„=о =0; при у=со о,=Ум (4.22) Последнее из условий (4,27) означает, что мы урзвнения (4.09), спрзведливые лишь внутри погрзничного слоя, фзктически рзспространяем нз всю облзсть течения. В случае оотекзния плзстины это окззывэется вполне опрзвлзнным. Действительно, уравнения (4.09) отличэются от уравнений (4.04), спрзвеллиных в случае обтекания пластины во всей облзсти течения, лишь тем, что в первом из них отброшен один из членов, зависящих от вязкости. ))о во внешнем потоке влияние вязкости столь ничтожно, что им можно вообще пренебречь. '1 Н.
В1зз1из, 2епзспг. Рзг Ызгж ииб Риуз., т, бб, 1903. Излагаемый инже метод ннтегрнровзния был предложен Тепфером (Т о р ге г, Еейзспг. гиг Ма11ь иид Рпуз., т. 60, 1912). 1О' !48 УСТАНОНИНШЕЬСЯ ТЕЧЕНИЕ В С1ОГРДННЧНОЫ СЛОЕ [ГЛ. ПГ При этом одновременно булет удовлетворено уравнение (4.09'). 'г!з сделанных ранее оценок следует, что в пограничном слое у имеет порядок 1,' —; . Можно поэтому предиолонсить, о'а ч то в ра сема тр и ваемо м случае ( (/ = со пз1) о„ бу/сот функцией одного только безразмерного из р а м е т ра /й, Послелующие рзсчвты покажут, что это лействптельно так.
Тогда, так как — '= [,' — а, то, чтобыбылоо =(/,с[>(г) следу [ кх' а дует поло;нить Ф [' ~(/а к/(гс) При этом будет. и„=(/а/'(г,), о = —,, [т — [гс/'(й) — /'(тс)[, (4,28) 1,' ~Ц) производную ио зс:аченпя в уравнение (4.09) и замечая, (/= (/„= сопз1, найлйм после неслоясных где штрих означает Полстзвляя эти что в данном случзе преобразований. //' —,'- 2/" =- 0. (4.29) Что же касаетсн распределения, давления, то, так кзк злесь (/=сопя!, оно будет постоянным во всем внешнем потоке. Заметим, однако, что условиями (4.27) пользуются и в тех задачах, где рассматривается обтекание криволинейного контура.
При этом, очевилно, последнее ич названсмсх услошсй булет носить приближенный характер, потохсу что, кзк видно па (4.! 1), вэтом случае, если положиться оо, нельзя считать, что давление на обтекаемом контуре равно давлению ка внешней границе слоя. Фактически в (4.27) нместо у = оо следовало бы полагать у =у,, считая, чтоу, — ординатз точек, где практически имеетместо чисто потенциальный поток. Только быстрое приближение и к еа аспмптотическому значению (/ позволяет нзч здесь приближенно полагать у= оо вместо у=у,, Вернймся теперь к рассчатриваексой задаче. Ввелам функцшо тока ф, полшзя дй дй о,= — ', о сбг' Р дл ' 1!] пгимегы численного Рлсчьтх 149 Таким образом, задача сводится к интегрированию обыкновенного лифференшюльного уравнения третье~о порядка, решение которого должно удовлетворять вытекающим из (4.27) и (4.28) условиям: прп т! — — 0 /=у'=О, при т=оз 7'=1.
!1скомое решение можно представить рядом, которому для удобства последующих расчетов, придзлим вил: 7' (71) =,— т! -1--,л т!з+ — т,~+... Лыко видеть, что условия при т1- — — 0 злись уже удовлетворены. Из входящих в (4.30) козффициентов из =/" (О) явлнется подлежащей определению постоянной интегрировшшя, а А, А„... должны быть подобраны так, чтобы ураннение (4.09) удонлетворялось при лн>бом г). Лля определении соотвезствующих значений А, Ам ...
подставляем ряд (4.30) в уравнение (4.29) и приравниваем суммы коэффаииентов при одинаковых степенях т нулю. Найденные таням путем значения г!а, Ао...вносим в (4.30) и получаем; — 3 5 375 / (т) = з — !лт)а — — (ат!)' + — (ат)' — — (ат)и+ 27897 — ':: —" — (дт1)ы —... ] =27'(!) 18 14! где: =- ат,. Отсюда находим: г" (т1) = азе' ('.а). Численный расчет позволяет убедиться, что при т) — оо Г (т)) стремится к предельному зпа ~еншо Г (оо) = 2,0834.
Тогда, замечая, что по последнему из граничных условий /" (оз) =1, будем иметь: 1 2,0354 ' откуда /" (О) = аз==0,332. Таким образом, решение задачи доводитсядо конца. установившееся течениР В пОГРАничном слОе (Гл. !у 150 Так как вся теория пограничного слоя относится к большим (тх числам Я, а в нашем случае Я = —, то получеиныв резульр таты не будут годиться лля малык х, т.
е. для переднего краи пластины. Произведя соответствующие расчеты, можно найти для величины у'(т!) = — ": значения, приведенные в таблице !1 '). Ьр Таблица П 77~ ч 17 (ч) 77Е!~ ч 0,5168 3,2 !Р,5748 3,4 0,0298 ~ 3,6 0,6813 3,8 О,ОООО',! 1,6 ) 0,0664 1, 1,8 0,1328 ~ 2,0 0 0,2 0,4 0,6 0,19Ь9 !! 2,2 0,7290 4,0 0,7725 ! 4,2 0,8115 ) 4,4 0,8460 ;~ 4,!1 Г!олученное решение позволяет определить напряжение силы трения иа пластине: )Г Подставляя сюда иайпзнное численное значение г" (О), будем им*тес (4,31) Г = 20 ! т, р(х = 1,328 Ь у' )рр П4 !! привезенные и таблице численные значения 7" (ч] взяты нз ситиррныниой ир стр. 21 книги «Совр. сост.
гидроазродин. вязк. жидкосрир, т. 1. Полная сила сопротивления иа участке пластины длиною 7 и шириною 79 если учесть, что она омывается потоком с двух сторон, будет: $11) ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА 151 Оценим теперь «толгцину» пограничного слоя. Численный расчет по формуле (4.16) дает в данном случае: е е=1,76 1 1 и, Если считать верхней границей погрзничного слоя то расстояние от стенки, на котором о = 0,99 6'ы то тогдз, кзк видно из х таблицы 11, можно приближанно положить о=3е* илп 05 г 5 Фнг.
27. расчета как между собой, так и с экспериментом следует оценивать илп непосредственно закон распределения скоростей или величину т. Профиль скоростей в пограничном слое по данным таблицы 11 изображен на фиг. 27. Результаты приведенного здесь теоретического рзсчехз довольно хороиио подтверждаготся экспериментом. (Эксперименгзльные данные для сечений погранично~о слоя, достаточно удаленных о1 перел- него края пластины, показаны нз фиг.
27 точкачп.) Некоторое Полученная Поэтому при нх Ь (д величина е носит, конечно, условный хзрактер. сравнении точности тех или нных методов 153 установившееся течение В погглнпчном слое (гл. !и расхождение имеет место лишь при малых знзчениях х. Оно обьясняется, во-первьж, влпшшем на данные опыта переднего края пластинки, которое имеет место во время эксперимента, и, во-вторых, гем, что теоретическое решение дчя этих значений х является, как указывалось, менее точным.
2. Приближенный численный расчет пограничного слон на плоском криволинейном контуре. !'ассмо!рим щшметричный контур, обтекаемый установившимся потоком мзлонязкой жидкости, скорость которого нз бесконечности параллельна оси симметрии контура. Лля расчета пограничного слоя на контуре воспользуемся приближенным методом интегрированы уравнения (4.09), предложенным в свое время Блази)- сом (см. нышецит. работу), а затем уточненным Хоуэрзом '1. Предположим, что скорость на внешней границе в!гран!иного слоя мо кет быть представлена сходящимся рядом: и хэ+ и з! (4.32) гле х — расстояние, отсчитывает!ое вдоль контура от передней критической точки, п,, аэ, ам ...— зэ ганные постоянные размерные коэффициенты, зависящие от формы обтекаемого контурэ; четные степени х в 14.32) отсутствуют вследствие симметрии течения, В дальнейшем ограничимся предположением, что У задано многочленом пятой степени, тэк как именно в этом случае соответствующие нычисленпч можно довести до конца с помо!цью ззтэбулированных Хоуэрзом функщ!йа!.
Т!!гдз для нходящего в правую часть (4.09) вырэжения УУ' получим: УУ' = — а! х+ 4а,а,х'+ бп,пах'+ Зл! ха+... Перейдем от у к безразмерной координате г:: — 1г -'у и введем, как прежде, функцшо тока !!з=..=(х, г1), закую, что ' дг!' У их' Имея в виду получигь решение, которым можно воспользоваться для рзсчета сзоя на любом об!скэемом контуре, предполоз,ич, ') 1.. 11 о из г1 И, АНС Рер. зпа 3)св., йй 1632, 1935. !) В решении Влазнусз Пы.!и сохранены тозьяо первые двз чона рзз,!ожения (4.321.
ф 11) ИР!мгеРы численнОГО Рдсчйтл 153 всходя из пила разложения Ш", что искомая функция ф может быть представлен«в виде ряда ф -= 1 ту —, [7 (а! х)+ 4уа (а,азх ) + буз (а а хз) + )/ а' + 6(г„. Гггх вхо) +...1, (4 33) где коэффициенты г«» уз, ь«в, Из — функции только г! п, как легко убедиться, величины безраамерные. Гюдставлггя найденное значение Иl' и функцию ф! в уравнение (4.09) и требуя, чтобы оно удовле~ворялось но всех точ!сах и для любого обтекаемого контура, т. е. при лнтбых х и а, прирзв~!яеьг друг другу коэффициенты при одинаковых а.а.х'тl ' в обеих частях равенства. Тогда для определения г 7 у;,,Гв, ью Из полу тм следуюгцую систему уравнений Л-' — У'г' Л ==1+ ~'!".
(4 34) 'т Гтйг И; — 57!Из — 7!Iгз= —,;+И„- — 8 (Уз —,г,тч) где штрихи означают производные по г, Сохраним в рассмзтривземом случае граничные условие (4.27). Тогда, выражая о„и о через Ь и принимая во внимание (4.32), легко найдем, что дол кно быть: при г = 0 /г = 7! = 7. = Гз ==,-. =,: ==- И; =!Гз = О, ! ! при г = сю /1 —— 1, гз = . -, ав =- —, И« = О, 4''а ь' так как мы требуем, чтобы условия (4.27) ныполнялпсь также независимо от вида обтекаемого кон!ура. Гистеьга дифференциальных уравнений (4.34) при данных граничных услониях была численно проинтегрирована Хоуэр. зом. Згсаченпя тех из вычисленных им функций, которые нужны для определения о, и напряжения трения на обтекаемом контуре, дэны в таблице !!! ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
