С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для этого перейдем в (3.52) от п„к его изображению по х. Тогда в силу первого из условий (3.53) и (3.05') получим: — „' — лгрп = О, г(нг где обозначено (3.54) Интегрируя полученное уравнение по у, найдйм: п„=С елках ' С е-"к гг. е — г т г Так как в силу (3.03) условия (3,53) сохраняют свой вид и для тл„, то, удовлетворяя этим условиям, получим; и„= — (/е — л л' ту, (3.55) Правая часть (3.55) представляет собой функцию, не имеющую в плоскости кошшекспого переменного р никаких особенностей, кроме точки разветвления при Р = — О.
Следовательно, онз удовлетворяет условиям (3.23) и оригинал пх будет определен по формуле (3.27), Замечая на основании (3,25), что )г р = гдп получим в данном случае: у'(О) = — — У, уэ (а) = — Уе-'л"У, уэ ( — а) = — Се'л'У. Тонкая пластина ОС прп своем погружении в вязкую среду приведет в движение главньш образом ближайшие к пластине частицы среды, поэтому будем считать, что вязкая среда впереди погружаемого краи пластины будет оставаться в покое. Кроме того, примем, что частицы среды прилипают к пластине и что по мере удаления от пластины скорости частгщ убывают до нуля. Тогда получим для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: Тогда из (3.27) найдем окончательно закон распределею!я скоростей в среде в виде: СЮ ~!я ) о == — 0 1 — —" ) е-"'"ь|п(лду) — . (3.56) л и я 0 Интеграл, стоящий в правой части, можно представить в ином виде.
Пользуясь известным соотношением') е' — к' е-'"" соз (да) г!и = —,, 1,' — 'е я возьмем от обеих его частей интеграл по гу в пределах от О до лу. Тогда получим: ~ е """з!п(лау) — =Уп ~ е ~" ' =)/и ~ е — 1 с(р. Последний интеграл получается из предыдущего, есчи положить ау=2 р' лр. Подставляя найденное выражение в (3.56), будем иметь: .„= — и~1 — Ег! ( "-' (3.57) где обозначено Ег((у)= —: — ~ ' ' Ф )Гт (3.
57') я Функция Гг!(у) представляет собою известный интеграл вероятности оишбок; значения ее можно найти е соотнетстнуви!их таблипзх '). Пользуясь решением (3.57), можем определить наиря кение силы трения на пластине: т, )х~ — ) ') См., например, выше цитированные таблицы И. !т!. Рыжика, стр. 152. л) См., например, Е.
Янке и Ф. Эмде, Таблицы функций, ! остехиздат, 1948, стр. 129. В зтнх таблицах интеграл вероятности ошибок обозначен Ф(л). 9 9) попхжкник пластины и тРУБВ в Вязкгю сгкдх !15 !!б нвястлновившияся течения вязкой жидкости (гл. и! Заменяя здесь л его значением из (3,54), найдем (3. 58) Заметим, что значение т, может быль найдено прямо по его изображеншо. Действительно, из (3.55) имеем: — =д и)''р, зу у О откуда иа основании (3,13) находим сразу: впУ т, = —.= —.
17 ге Если обозначить ширину плзстины К з глубину ей погружения лц то, интегрируя (3.58) по х в пределах от 0 до И и принимая но внимание, что трение происходит на обеих сторонах пластины, найдбм для полной силы сопротивления выражение 7.=.—.— ) 'рр йОа. 4а (3.50) В заключение отметим, что выражения (3.58) и (3.59) для т, и г". имегот такой н;е вид, как те, которые получаются для этих величин в случае обтекания пластины на основании теории пограничного слоя (см.
п. 1 8 11). 2. Погружение тонкой цилиндрической трубы в вязкую среду. рассмотрим опять вязкую среду, заполняющую все полупрострзнство ниже некоторой горизонтальной плоскости з = сопя!. Пусть в эту среду в момент 1 = О начинает погружаться с постоянной скоростью У тонкзя цилиндрическая труба радиусз а, ось которой все время остается вертикальной. Совместим с центром нижнего основания трубы О начало подвижной цилиндрической системы координат, ос Ог которой нзпрзвпм вертикально вверх, а Ог — вдоль радиуса трубы.
Замечая, что ввиду симметрии и =О, обозначим проекцип абсолютной скорости жидкой частицы на выбранные оси через и и и„ а относительной через и,' и и,. Тогда третье из уравнений (1.47) сохранит в выбранных осях свой вид с тем лишь отличием, что всюду вместо о будут стоять и'. Полагая в этом уравнении давление вдоль Ог постоянным, з так ке ф 9] поггкжвнив пластины и тггвы н вязюю сездг 112 и,'=о, и пренебрегая массовыми силами и замечая, что и' =и + (/, получим: до, до, — -+( +и) — *= до, дт ~ г ОГ х да (3. 60) Повторяя рассуждении, аналогичные тем, которые были сделаны ио поводу (3.51) в предыдущей задаче, придем к выводу, что (3.60) можно заменить следующим приближенным уравнением: до >' д>о 1 до '> и —,=т(,„+ (3.61) при г(0 при г=-и (з) 0) при 0 = гс. а (г) 0) (3.62) при г=ж Из условий (3.62) первые два относятся и к внутренней н к внешней областям, гре>ье же только к внутренней, а четвйртое только к внешней области.
рассматриваемая задача также аналогична залаче о распространении тепла в круглом цилиндре. Заметим, однзко, что течение во внутренней области в данном случае будет отлнчзться от того, которое было получено в п. 2 $ 8, так как здесь это ~ечение вызвзно лвижением стенок трубы; а там мгновенно наложенным грздиентом дзвления. Лля решения зздачп воспользуемся опять методамп опеРационного исчисления и перейдйм в (3.61) от оригинала т~ к его где для сокращения записей обозначено о,=о.
При установлении граничных условий будем, как и в предыдущей задаче, считать, что до подхода трубы (т. е. нпм<е плоскости а=О) скорости всех частиц равны нуля> и что чзстнцы прилипают к боковой поверхности трубы, Кроне того, будем полагать, что внутри трубы скорости жидких частиц остзются коночными, а во внешней области по мере удаления от поверхности трубы убывают до нуля. Тогда граничные условия булут 11В неустлнОВившиеся те~!ения Вязкой жидкости (Гл.
ш изображению по переменному а. Тогда, принимая во внимание формулу (3.05') и то, что о(0) =О, получим: !гон, ! огф —, — !- — — — Рпот! =- О, (3.63) гГг! г о!г где а имеет то же значение, что и в (3.54). Интегрируя (3.63) по г, получим, как в п. 2 2 8: О=А1,(пЪ рг)+ВКо(п)!гРг), (3.64) )о(л )'гр г) у! ор) (! о = — и —,. )о(л)Г)!а) гг(р) (3.65) Легко видеть, что (3.65) есть дробная функция вида (3.16), удовлетворяющая условиям (3,17) и не имеющая полюса в точке р = О. Следовательно, о будет даваться формулой (3.22). Обозначая, как в и.
2 2 8, через ае корни уравнения Зо(ж) =О, найдем, так как 1о (гх) = Зо (х), что полюсы о находятся в точках, где оо Тогда из (3.65) будем иметгп 7! (Ро) = >о (а, —,), 'Ра~, '(Ре) = — — „" >! (ае). Кроме того, на основании (3.21) получим д! =1, так как Зо(0)=1. Подставляя все этн значения в (3.22) и принимая во внимание (3.54), получим закон распределения скоростей во внутренней области трубы в виде: = — ы~~ — 2х' ' 1. (обо! - ~"-'.) —,; аа)! (ао) где А()!) и В(р) должны быть определены отдельно для внутренней и внешней области. При этом в силу (3,03) условия (3.62) сохранят свой внд н для гс а) Решение для внутренней области. В этом случае, так как К,(0) =Со, следует положить В=О.
Тогда, определяя А по условию (3.62) нг стенке трубы, получим пз (3.64): 6 9) иоггтжвиив пластины и тгтвы в вязкгю с~хат Равномерная сходимость стоящего в правой части ряда доказывается так же, как это было сделано для (3.40). б) Решение для внешней области. В этом случае, так как!,(оо)=ос, следует в (3.64) положи~ь А=О.
Тогда, определяя тт по условию (3.62) на стенке трубы, найдем из (3.64): и )("" )' ""= — и~(р). (3,67) К,дп( га) Стоящая в правой части функция не имеет в плоскости комплексного переменного р никаких особенностей, кроме точки ветвления р = О, т, е, удовлетворяет условиям (3.23). Следовательно, о булет даваться формулой (3.27). Тогда, пользуясь известным в теории цилиндрических функций соотношением «хо (гх) = )о (х) — г то(«) )' р=га, получим в нашем и полагая на основании (3.25) случае из (3.67); )о(паг) — ! уо~паг) У (ц)= )о(пап) — Г уо~пап) ' Зо(паг)+г уо(паг) ( — а) = зо(пап)+(Уо(пап) ' 2г ° ', ), а~у,Я1 — „е)з,() — "1 г )о,()~+ у'-,'()) о (3.68) Интеграл, стоящий в правой части, сходится, так как доказано, что ) — ') — у,е) () — '„1„- Х зо(г) уо ~ о ао (г) + Уо 00 так как За ( — х) = Ло (х), а Уо ( — х) = — Уо (х).
Иаконец, раскрывая неопределенность, пойдем, что в (3.67) 7(0)=1, Подставляя все найденные значения в (3.27) и вводи безразмерный параметр 8 = ппа = 1,г — аа, найдйм Гу окончательно закон распределения скоросгей во внешней области в виде: 1сб неустлновившиеся течения Вязкой жидкэсти [гп. Я! Пользуясь найденными решениями, подсчитаем напряжения силы трении на стенках трубы. Онп будут определяться формулой ( ди'1 (3.69) ~, дг ~с=а где, принимзя во внимзнпе направление нормали к поверхности трубы, знак ьшиус соответствует внутренней поверхности трубы, а знак плюс — внешней.
Тогда, подставляя в (3.69) значение э из (3.66) и замечая, что 3В(х)= — 31(х), найдем для напряжения трения на внутренней поверхности трубы выражение — оа' а хаа Ыа1 Подставляя теперь в (3,69) величину о из (3.68), получим: (7 ~" — — ", ° 1о (й ~о Ф) — Уо 6) 1о ()) та=29 — ~ е Ф яа 1о (г) + 1 з (г) Ио числитель стоящей под знаком ингеграла дроби представляет собон1 определитель Вронского (вронскиан) цнлинд- 2 рических функций и равен, как известно, —.
Отсюда получаем для напряжешш силы трения на внешней поверхности трубы вырзжение СО тза ) )з (а) .„~ ут ()) 8 (3.71) 2 .)Е( и) — уз( и) =— Подстанляя зто значение в (3.71) п вычисляя интеграл, придем к формуле (3.58), где только вместо х будет стоять в. Заметим, в час 1ностп, что из (3.71) при а — сю получается формула (3.58) для плзстинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
