С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 15
Текст из файла (страница 15)
+6РЕ( „1. [8 Рс г (иагта1 П" Р =- 2п!ссС вЂ” „, и ' З гс! Р=Р1 = — р(.с гт 1 '1 (2.92) Из (2.91) видно, что при малых й сила давления на дно погруткаемого тела оказывается величиною значительно боль- шей, чем сила трения о боковую поверхность. Рассмотрим два частных примера. а) Погружение конического тела в кониче- с к и й с о с у д. Считая, что погружаемое тело и сосуд пред- ставляют собою конусы с одним и тем же углом раствора а и обозначая тйа=й, будем в данном случае иметьи а=/гх, (1=4г()+е), lс=Ь вЂ” а=юг/, Полное сопротивление погружению будет равно Р+Р,, Считая й малым и пользуясь приближенными выражениями (2.91), получим: ПРИВЛПЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 87 При этом легко найти, что между Н и 1 имеет место аависппость 31 14(зо Р) 3й И= —— где (а — начальный уровень среды в коническом сосуде, Из полученных формул следует, что сопротивление погружению не зависит от угла а.
Прп оценке этого факта не надо, однако, упускать из виду, что по характеру предположений, сделанных при составлении уравнений (2.8с)), угол а должен быть малым. Отметим интересное соотношение между сопротивлением трении и сопротивлением давления, вытекающее из форму.ч 4 (2.92). В начальной стадии, когда Н( — /пли когда (Р0,46/ю т. е. пока погружаюше ся тело прохолит приблизительно перную половину своего пути, силы сопротивления сравнительно не очень велики и при этом сопротивление ггг/гения болыас, чсдг соярогяивленис давления.
Если обозначить безразмерные л л отношения Г и Р к )х(//я соответственно через Г и Р, то, нал пример, прп 1=0,6/я будет Г= 1,3, Р=...0,7. Прп Н= — (11= 0,46/ ) оказывается, что Г= Р=6,8, 3 При дальнейшем погружении, когда Н р — /(1(0,46/е), 3 солротинлснае давления сгппносшпсл больше, чеш солролгизление гггрснал, причем силы сопротивления ио мере уменьшения 1 значительно возрастают. Например, при (=О,'2/„окал л зывается Г=265, Р=!180. укажем на некоторый косвенный результат, даваемый этим решением. При изучении задач о проникании тел в очень вязкую, первоначально неполвижную среду, можно, исходя из чисто физических соображений, считать, что погружающееся тело приведйт в движение не всю среду, а только какую-то ее часть, непосредственно примыкающую к погружаемому телу.
Если головная часгь погружаемого тела будет конусом и если в первом приближении считать грашщу, отделяющую возмущйнную часть среды от невоэмущенной также конической, то приведенное решение будет лапать некоторое представление о возникающих прп погружении силах сопротивления. 88 пгоств$!шив установившиеся течвния (Гл.
и б) Г(огружение круглого цилиндра в цилпнд р и ч е ск и й сосуд. В этом случае а=!с и 6=!бы где Гс в и (>„— пос!оянные величины, а 8 =!!а — !с'. Тогда, считая— И !алым, найдем нз (2.91) для полной силы сопротивления Р след!ющее приближенное выражение: ,г 3 !!' ! 6РгОт Р= Рз = пФУ ' —:;,. + в (2.93) Сила Р в уравнении (2.93) отброшена как малая по сравнению с Р,. л Если ввести величину погружения цилиндра у то прп Л малом будем иметь: и вместо (2.93): Р= —,' прИс! ~ 8 ! Г Р ! 2РуЧ ((г,— у) ! л ( (2.94) где I, — начальный уровень среды в сосуде.
!гри ятом работа, которую нужно произвести для погрувгеюи цилиндра на величину у, будет равна: х ~ 2!от (8 — У)! л ) (! Цтобы дать в атом случае представление о картине течения, на фиг. 17 изображйн прполиженно рассчитзпный по фор- мулам (2.85) и (2.86) профиль У! скоростей в слое между цилин- драяи при (!,=1,1й.
Макси,Ц. мум скорости получается при атом примерно в середине слоя. Формулы (2,94) и (2.95) определя!от силу сопротивлеюш О, г,!8 1,! г и потребную работу при по- У гружении круглого цилиндриче— ! Фит. ! 7. ского поршня в цилиндрический сосуа, заполненный вязкой жидкостью. Такое устройсгво встречается в различного рода демпферах. й б) пнпьлп'кенныв гашения задач Кроме того, приведенное решение, подоено гидродинамической аналогии прокатки, может быть использовано, как дающее в первом приближении картину течения помещенного в цилиндрический сосуд горячего металла при вдавливании в него цилиндрического пуансона 1горячая штамповка). 0 наличии этой аналогии можно, например, судить по экспериментальным данным, приведенным в книге А. А.
Рыбаржа '). Эти данные дают, в частности, картину течения в слое металла при штамповке, очень близкую к той, которая показана на фиг. 17. ') А А. Р ы б а р ж Производство снарядов. Оборонгнз, 1943„ стр. 116. ГЛАВА И1, НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ТВЕРДЫМИ СТЕНКАМИ. й 7. Некоторые сведения из операционного исчисления. Прн решении задач настоящей и некоторых последугощих тлав мы будем пользоваться методами операционного исчис.ления. Поэтому для удобства читателей в начале 9 7 дается конспективное изложение тех основных сведений пз операционного исчисления, которые будут необходимы для понимания последующего '). Одновременно во второй части 9 7 рассмотрен вопрос об отыскании оригиналов некоторых изображений, часто встречаюии1хся в решаемых задачах.
1. Оригинал и его изображение. Пусть и есть непрерывная и однозначная функция действительного аргумента г, определенная прп (~-.0 и обращающаяся в нуль при 1(0. Пусть, далее, р= —:+Гг) есть некоторый комплексный параметр, действительная часть которого предполагается такой, .что стоящий в (3.01) интеграл сходится.
т) Желавшим ознакомиться с операционным исчислением более подробно следует обратиться к соответствующей литературе, например, А. И. Л у р ь е, Операционное исчисление в его приложения к задачам механики, ГИТТЛ, 1950 нли Х. К а р с л о у, Л. Егер, Операционные методы в прикладной математике, Изл. ин. лвт. !948. Читателю, ве знакомому с элементами теории функпнй комплексного переменного, придатся опустщь рассмотрение выкладок, связанных с получением формул (3.22) и (3.27).
Однако на примерах, рассматрвваейых далее в этой главе, он сумеет уяснить, как в аиалогячпьп случаях можно использовать этн формулы для решения задач. $ 7) накотогыв сведвния из опеглциои. исчисления 91 Введем тогда в рассмотрение величину и, являющуюся функцией комплексного параметра р и связанну>о с и(!) зависимостью: и =р ~ ие О'а>1, о Будем в дальнейшем называть и оригиналом, а и — изобралсениелг этого оригинала. Иногда для обозначения операции (3.01) мы будем пользоваться символом и- и, (3.01') озиача>оптин, что и есть изображение функции и(1), Формула (3.01) дает правило построения изображения и(р) по его оригиналу иф. Одновременно можно показать, что если известно изображение и, то буде~ и= —. 1 ивов с 4~ 2хт (3.02) где интеграл берется в плоскости р вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной справа от всех особых точек функции и (Р). Форе>1>ла (3,02) дайт правило построения оригинала и по его изобрансению и.
Формулы (3.0!) и (3.02) устанавливают взаимную связь между орип>налом и его изображением. Связь эта, если функция и(1) непрерывна, будет однозначной, т, е. данному изображению будет соответствовать один п только один оригинал и наоборот, данному оригиналу будет соответствовать одно и только одно изображение. Следовательно, если найдено изображение о какой-нибудь неизвестной функции о п если установлено (например, по таблице изображений основных функций), что п>=о, то будет: о=те.
Рассмотрим основные свойства изооражеипй. а) Изображение постоянной величины. Пусть с=сопя!. 'Тогда по (3.01) С =р >1 СŠ— ОгЖ= — СŠ— Ог ~ =С. о о 92 нвястлновившпвся твчвиия вязкой жидкости (гл. и Следовательно, изображение постоянной величины равно салсзб поспгоянноб величине: с=с. (3. 03) б) Изоб раже и не суммы. Из (3.01) очевидно, что если то=и+о, то то=и+о, (3,04) т. е. что изображение сугнлты равно султлге изобралсениб. и'и в) Изображение производной, Пусть — =о. аг Тогда, пользуясь формулой (3.01) и интегрируя по частям, найдем; Р аи о = р ~ — е — тгб( = р ~ ие — тт 1 + р ~ ие — маг~ . ,) иг с о с Полагая и и р такими, что предел произведения ие гп прп т- оо равен нулино, получим из предыдущего: о=ри — ра(0) или пи ри — )и(0); ит (3.
05) Если и(0)=0, то будем иметь; пи ри пг ' (3. 05') Точно так же доказывается, жо иаи рхи — р-"и (О) — ри' (О) —:- ~ —,, игх ' (3.06) где штрих означает пропзводнуго по й При и(0) =и'(О) =0 находим: рви ир (3.
06') Изображения производных боле. высокого порядка строятся аиалопшно. Таким образом, при переходе от оригиналов к изображениям, операция дизхференпирпванил сводипсся и улсно.тгени~о изобралсения на парил~плср р в соопгвешспгвугогаеб сп спели. Полученными здесь весьма существоиными формулами раснрывается идея применения методов операционного исчисления к и|тегрированию дифференциальных уравнений.
Оказывается, что если в обыкновенных дифференциальных уравнениях перейти от неизвестных функций к пх изображениям, то для изобрзженпй вместо дифференциальных получатся соответствующие алгеорапческие уравнения. Решив зги уравнения п найдя изображения, мы можем по ним определить искомые функции, например, с помощью (3.02). Соответствующие упрощения, как видно нз рассматриваемого ниже свойства, полу шются при переходе от оригиналов к изображениям и в уравнениях с частнымп производными. г) Дифференцирование по параметру. Пусть и есть функция 1 и некоторого параметра и, т. е. и=и(1, и). Тогда иа основании правила дифференцирования интеграла по параметру будет: р — ~ ае огй(=)1~ — е — Ргм. д Г Гда Отсюда, принимая во внимание (3.01), получаем: да .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
