С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Определяя значения А и В по условпнм (2 51), найдем из (2.53): о . =; — — (уз — йу) + <оу ( 1 — — ) . 1 др "о) 2Р д.г «~' (2. 5ч) и а 1 де„д Г дд ых= ~ "г(у= ) и ду ы(ь дх дх) х дх Лля определения дзвленпя р обратимся к уравнению (2.38'). Беря от обеих частей этого уравнения интегралы по у в пределах от 0 до Ь п принимая во внимание условия (2.51), получим; 72 ПРОСТЕИШИЕ УСТАНОВЯВПП>ЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [гл.
и Отсюда, интегрируя ио х, находиги ь 2 ) т>,ф =- ы (хг+ ?га — 2?го?г+ С). (2.55) д Подставляя в левую часть (2.55) значение о„из (2.54) и вычисляя интеграл, будем иметги ?>г др "> (мз ?>а?г+ С). ия дх Заменяя здесь ?> его значением из (2.50) и определяя С по последнему из условий (2.52), найдем окончательно др, ~ Т>а 1 аг — хз — !" ).-,в=„а+1,-,2- х.' ,?>з — =-6рш (1 — =- = .:,:= — 1 — „, (2.5Г>) Выражение (2.54) вместе с (2.56) дает закон рзспределе- ния скорое~ей в слое, для закона распределения давлений находим из (2.56), принимая во снимание первое пз условий (2.52)! ~' Т?! — аа ->- )> Т>з — х-' ( /Ы г?х. (2.5?) равнодействующая ?> сил давлений со стороны слоя на цилиндр б>удет, оченидно, проходить через центр С цилиндра а ее проекции нз оси координат буду> равны: ?а= '? ~, —.
?Ту=? ~ Р(х) 4х, (2,58) — а — а где ?>(х) должно быть взято из (2.57). Прн этом абсцисса точки 8 приложения равнодействующей будет: Р„й Х (2. 59) Ф 'Р'. + ~,-" Переходя к определению сил трения, заметим, что порядок их в задачах, подобных рассматриваемО, когда вязкий слой между поверхностями тонок, ниже, чем порядок щщ давления; в этом мы убедимся иа примерзх всех расчетов, проводимых ниже. Поэтому составлнющимн сил трения можно обычно по сравнению с соответствующими составлгиощими ш>л давления 8 6) пгпялпжйнные Ращения 3АдАч пренебрегать. В рассматриваемой задзче этот вывод, очевидный для составляющей вдоль оси Оу, нуждается по отношеншо к составляющей вдоль оси Ох в проверке. Для оценки величины силы тренян ограничимся рассмотрением достаточно тонкого слоя, у которого среднее значение гг мзло по сравнению с а.
Это условие, как видно из (2,50), будет выполнено, если в свою очередь а будет мзло по сравнению с )с, причем порядок малости величин )!)а и а,(К будет одинаков, а величина )!,1гс будет иметь порядок ла))к!з. Принимая все это во внимание, будем в дзльпсйших рзсчетах пренебрегзть величинами порядка аа))гз по сравнению с единицей во всех случаях, за исключением тех, когда коэффициент при члене порядка единицы по!нет в результате последующего интегрирования обратиться в пуль.
Напра!кение силы трения на элементе поверхности цилиндра, внутренняя нормаль к которому образует с осью Оу угол ч!, определяется по известной формуле 1 т = —, (т — т ) э!п 2~с — ", . соэ 2з. кк уу !!' тку Зависимость эта может быть легко получена с помощью, (1.22) и (1.24). Отсюда, принимая во внпмзние (1.42) и (2.38'), ха . х а также то, что соя 2!р — 1 — 2 — ', а!и 2э(=2 — ', найдемп Ж' ' Р' Входящие в правую часть производные от ик вы и!сляютск непосредственно из (2,54) и (2.56), причем в (2,56) второе из слагаемых, стоящих в квадр!!гной скобке, заменяется на гг 12)с. Далее пз (2.38') находим: у о где штрихи овна ш!от производные ио х.
Отс!ода, пользуясь указанным выше прпбли>кенньп! значением (2.56) и равендик ством (2.50), найдем —. Полагая во всех вычисленных продх ' взводных у= — )г, определим с укззанной выше степенью прн' пгостейшие устлнозизшиеся течения (гл. и ближения величину т. Тогла для проекции нэ ось Ол результирующей приложенных к поверхности цилиндра сил трения .получим значение ь Г„= ( ~ т их ь — 3)хы( ~ ~ лз (1 ~д>+ Рэ) — з — 1~Ух. (2.60) Лля моментэ сил трения относительно оси С цилиндра пшйдйм приближенно; М= — )СГ„.
(2.61) Из срэвнения (2,60) с (2.58) следует, что порядок состэвляющей Р значительно выше, чем ГУ, выражение которой отличается от Р тем, что под интегрэлом будет еще стоять множитель х(й. Поэтому величиной Р по сравнению с Р будем в дальнейшем пренебрегать. Что касается составляющих Г, п Р„, то порядок их может быть оценен только после соответствующих конкретных рэсчетов.
Найденные выше формулы солержат три заранее неизвестных парэметрэ; а, 5 и Ь„. Для их определения иаюльзуем: а) второе из условий (2.52), б) уравнение равновесия приложенных к цилиндру сил в проекции на ось Оу, а) предположение, что вблизи 1очки А, где слой наименее леформировэн, можно приближенно считэть АВ= Н (Н вЂ” зэданная толщина недеформировэнного слоя). Тогда для определения а, г) и А, получим уравнения; р(д)=о, д= Н=Ь вЂ” й — )~ (сэ — ае. ! (2. 62) Наконец, составляя уравнение равновесия приложенных к цилиндру снл в проекции нз ось Ох, найдем для потребной силы тяги (,) выражение О -" — (Р„+ Рх), (2.63) где величины, стоящие в прэвоз части, опрелеляются формулэмп (2.58) и (2.60).
Таким обрззом, залэчэ оказывается решенной. В кэждом конкретном случае все интегрэлы, вхолящие в полученные формулы, можно определить численным интегрированием. 75 ф 6) пгивлижйнныа гашения задач Для опенки полученных результатов произведем приближенный полечат, полагая величину хЖ столь малой, что в (2.50) можно приближэино принять Й=йь=Н. Тогда нз (2.57) вайлем йим р(х)= — „~ (ае — х') ах= ~ (2а'+За'х — хь), (2.6Ф) Нь ь Первое из условий (2.62) приводит при этом к уравнению Ль — ЗаЧ вЂ” 2а' = О, единственным полоькительным корнем которого будет: 1 =2а.
Подставляя найденные значения р и (ь в (2.58), получим: Для силы трения при 6 =2а нэйлйм из (2.60) значение: Ел= Злы(а (1+ 3,6 — „~) . (2.66) Нз (2.67) Тэк кэк все наши расчеты справедливы прп Н(а малом, то из (2.67) следует, что полученное решение годится лишь в том случае, если вес единицы длины катка ф( будет очень велим по сравнению с величиной )ьы)7. Это же условие будет иметь место и в рассматриваемой ниже задаче о скольжении. Если во всех полученных выражениях выделить общий множитель р<о)7( и заметить, что величины Н)а и аЯ имеют одинаковый порядок малости, то легко видеть, что Р, Р„ и Е„ имеют соответственно порялок аэ)Нь, а(Н и а/)7.
Тзким образом, в паннам случае в (2.63) величина Е„ может быть отброшена кэк очень малая по сравнению с Р . Практически ей влияние скажется лишь в том, что оиэ будет создавэть момент (2.61) парилка а/)7, торлюзящий качение. Используя теперь вторые из равенств (2.62) и (2.65), найдем для определения а выражение 78 пгостейшие установившихся течения (гл. и Отбрасывая теперь в (2.63) член с Е„и подставляя в это сооэношение значения Рк иа (2,65) п а из (2,67), получим; (э =- 0,8 а о Гг (2.68) яли (2,69) при у=А ох=У, о =-О, л где У в поступательная скорость цилиндра.
Тогда иэ тех же ураянений найдем для о„ вместо (2.54) выражение о =,— — (уа — йу)+у —. 1 др у йя Ох л ' (2.70) Повторяя выкладки, в точности аналогичные прелыдущим, найдем из (2.38'), используя равенства (2,70), (2.50) и соответствующие граничные условия, величину —, а затем н закон др дх' распределения давлений в виде к р(х) =6 и ~ "' " "— ", . (2.71) ) к И вЂ” аа + )/77а — ха да — а В последнем выражении коэффициент при д/Й может рассмагриваться как коэффициент тренин качения /'. Величина этого коэффициента, как видноиз (2.69),убыааеш с уменьшением Н и веса единицы длины катка ~7(! и с увеличением р и м, причем зависимость от последних трех параметров значительно слабее, чем от Н.
Все эти выводы хорошо согласуются с физическим смыслом задачи, В частности, при р = оо («абсолютно твердыйк слой) получается, как и следует ожидать, у =-О. с(то касается некоторого уменьшения у с увеличением скорости двинсения„то этот факт подтверждается целым рядом экспериментальных данных. Лля сравнения рассмотрим ту же задачу при условии, что цилиндр совершает чистое скольжение по вязкому слою, В этом случае изменится лишь второе из условий (2.51), которое теперь примет вид: 77 пгиятиженные гашения злдлч Напряжение силы трения может быть в данном случае с принятой ранее точностью определено по формуле так как остальные члены, которые в предыдущем случае должны были приниматься во внимание, будут пренебрежимо малы. Вычисляя т с помощью (2.70) и (2.71), найдем для горизонтальной составляющей силы трения значение г = — 3)хИ 1 ~-, .
ь °:"'. ( З~ ° ' (2'72) -и Все остзльные вели швы будут здесь, как и при качении, определяться формулами (2.53), (2.62) и (2.63). Проязведем и в данном случае приближенный подсчет, х полагая — столь малым, что можно счгпзть )г==-)г„= Я. Тогда из (2,71) получим: Л бя(Г и (х) = ',~;р ~ (пз — ха) гух.
— а Это вырзм<ение о~пинается от (2.64) лишь тем, что в нем У вместо ы стоит;; — . Следовательно, и в этом случае будет а = 2Ь, а формулы для Р и Р полу ются из (2.6о), если х у только в них также ззменить ы нз П Для состзвлщощсй силы трения Р, найдем приближенное значение Гх =- — Зр(Л вЂ” . (2.73) При этом оказывается, чго величина Е„ здесь имеет та<ой же порядок аГН, как и Р,, п, слеаовзтельно, не может быть в (2.63) отброшена '). Одновременно сила тренин будет в данном слу шс создавать момент, рзвнь~й — /77'„и вызывающий г) Это онстоятельство в выше цит. раготе Н.
А. Слезкина хотя н отмечено, ио не учтено, тзк же ьак и добавочный член в формуле (2.бб). 78 ПРОСТЕЙШИЕ УСТЛНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (Гл. и качение цилиндра. Зля определения величины а получим, зналою1чно предылуи1ему, равенство 4=6,75 —. Р(Лаз )77)з (2.74) Д==-зр(77 —,", +0,8$ (2,75) или Я» ~1,86 Π— — ) +0,496 — ~ — '7 ) ~17. (2.75'» Сравнение с (2.68) покззывает, что в данном случае, если положить (У= ч1Я, потребная сила тяги будет знзчительно болшие, чеч при качении. Р(77 Величины '— и — имеют, по сделанным выше оценкам Н 77 одинаковый порядок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
