С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Таким образом, большее влияние на значение 1',) булет оказывать первое слагаемое, где больше численный коэффициент. Если для очень грубой оценки по- РИ ложпть величины — и — просто равнымп друг другу, го, 7! принимая еще во внимание отмеченное выше увеличение и, найдем, что в этом случае потребная силз тяги 1,) будет при скольжении почти в шесть раз больше, чем при качении. В заключение ззметим, что в выражении (2.75') величина, стоюцзя в квадратных скобках, может рассматриваться как коэффициент трения скольжения. При оценке его зависимости от параметров задачи не следует упускать из виду, что рассмотренное решение годится только для очень малых чисел гс, т. е. для слон, обладающего достаточно оольшой вязкостью.
4. Элементарная гндродннамнческая аналогия прокатки. Тот экспериментально установленный фзкг, что мет1лл ирп прокачке течет, толкнул многих исследовзтелей иа путь построения гидродинамическнх аналогий прокатки. Срзвнивая (2,74) с (2.67), видим, что при скольжении со скоросп ю 1.~=в(с ширина слоя иод цилиндром в ~/ '2, т.
е. приблизительно в 1,2 раза, больше, чем при качении. Наконец, подсташ1яя в (2.63) величину Р'„пз (2.73), а вчес1о Р„соответствующим образом изменйнное значение (2.65), найдем для силы тяги выражение 79 пгинлпжйнныг Ращения злдю! Наиболее полное решение соответствующей гндромехан~ческон' задачи было -ано твориом мехзники переменной массы проф. И. В. Мещерским '). Ниже дается очень простое по форме приблнжвнное решение той же задачи. Рассмотрим установившееся движение вязкой полосы, прокатываемой между двумя цилиндрическими валками радиуса 77„ которые вращаются в разные стороны с постоянной угловой скоростью ы (фиг, 1б).
Обозначим толщину полосы до об>катия 2На, после обжзтия 2Н,, а переменную толщину полосы между валкачи 2)!. При атом будет й=)7+ Н, — )'Ф вЂ” х:. (2.76) Ущпрением полосы пренебрежем и будем считать течение плоско-параллельнын, Проводя оси координат гак, как Фнг. 1б показано на фигуре, и рассматривая н силу симметрии только верхнюю половину слоя А.4,ВВ, длиною а, примен>щ к ией уравнения (2.38). Полагая, что вещество прилипает к валкам и пренебрегая давлением вне об>ъема А;(,ВВ,, пулем в силу симметрии иметь.
для Гюссматрпвэемой задачи следу>ощие граничные условия: >" « при я=Π— «=О, о =«О; д !' при у=6 о«= — г>Я+Н! — й), о,= — — «ех! (2,77) при х=О и к=а (Ос. >>< 9) >>=О. Тогда, интегрируя (2.38) по у и удовлетворяя условиям (2.77) для и., получим: 1 Ии те = —,— ~ ( иа — />а) — «а((7. ' Н 7!) "и щ« ! '! И, Б, М е ш е р с к н й, !нлроаннам>н>ескзя аналогия прок« >ли, Изв.
Первого Петрогр. иолнтезн. кисти«у>а, т. ХХ>7111, !919. пгостей!пие устиновившпеся гниения (Гл. п Переходя к определению 7о, проинтегрируем уравнение (2.38') по у в пределах от 0 до Ь. В результате получигп и и д . д ~ «.У+ ( + ! )К.' о о откуда и 2 ( о„ау — о! [Ьа — 2 Д+ Н,) Ь+ хи[ =. сопз!. о Подставляя в полученное равенство о„и х иа (2.78) и (2,76) и используя условия (2.77) для р, найдем оконча~ельно: р (х) ==Зрю [ [Ьа — ( !+Н!))!+С] —;, ~ (2,79) о 7!(а)=0. Последнее из выражений (2.79) служит для определения постоянной интегрирования С, формулы (2.76), (2.78), (2.79) и дают полное решение задачи.
С их помощью можно в каждом конкретном случае под- считать, пользуясь методами численного интегрирования, силы давления и трения, действующие на валки при прокатке няз- кого вещества, Мы ограничимся в дальнейшем только приближенным -определением величины опережении при прокатке, полагая, что обжотие полосы малб, т. е. по Н,— Ь(~)7. В этом .случае можно приближенно поло!кить (гд Но — Н! га ==— дж а Тогда из (2.79) получим: 1 2Нои, 7 Нои! Но', С= „- ' — )7-[-Н! — „-)и — ~~, Опережением при прокатке называется величина Ь, опре.деляемая равенством д-с)! (2.
81) ! пгивлнжйнные Решег!Ия задач где 9 — количество вещества, проходящее за единицу времени через сечение АА„з ~), — количестно вещества, которое прошло бы через сечение АА„за то же время, если бы все частицы двигалпсь со скоростью, равной окружной ско1:ости валков. Следовательно, тг, Я = — 2 ) юг, гуу, ('), = 2ыййг, ( гдз э,,=ох при х=0.
Подставляя в (2.78) значение р из (2.80) п полагая затем й = Н„найдемп З ~, Нг"- — у-.т ,.= — - ( +-ч —. --„,--', где обозначено: гтг — =!3, (2.82) Вычислаа тепеРь (1 и подставлЯЯ значениа () и Ог в (2,81) убедимся, что величина опережения Гг будет как раз равна тому выражению, которое обозначено в (2.82) через кг. Лля упрощения дальнейших подсчетов разло;ким величину. 1п г = !и (! + (~ — 1)] в ряд, Ограничиваясь а атом разложении„ ввиду малости г — 1, первымп тремя членамп, получим пз (2.82): и — 1 5 1 й = — ' — ~1 — 23т ( 1 — —. г1+ —.й-")~ . (2,83) ' —.+1~ ~~ ь З Все найденные результаты относятся к течешио вязкой среды.
Однако представляет интерес проверить, в какой мере гидродпнампческзя аналогия отражает явления, происходящие при течении горячего металла, гле наряду с вязкими имеют место и плзстпчегкне деформации. Даваемые опытом значения й для металлов колеблются н пределах от ЗаГа до 1Оа1а, но могут оыть и значительно выше. Эксперименты п промышленная практикз показывают, что величина опережения зависит как от геометрических пара. метров, так ~ от температуры про.штынаемой полосы.
Послед- 6 с.м тюг в ПРОСТРЛШПЕ УСТАНОВИВ!ИИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (гл. и нее обстоятельство формулой (2.83) не учитывается. Однако, как показывают многочисленные опыты, результзты которых приведены в книге И. М. Павлова '), наибольшая величина опережения при прочих равных условиях, получается при температурах порядка 700 — 900~. Можно поэтому полагать, что при этих температурах имеет место наибольшая текучесть ме!алла и что, следовательно, здесь формула (2.83) должна давать значения 7<, наиболее близкие к опытным. Произведенные по формуле (2.83) подсчеты дают для 7< следуюите значения: при,', =- 0,225 и при 3=0 225 и Т= 1,1 т! — — 1,2 !) И, М. П а ю л о з, Теория ирокаткя н основы пластической леформашш металлов.
ОНТ11, 1938. ю) Решение этой залачн часы!чно опубликовано. См. С. М. Т а рг, Дохл. Акад. наук СССР, т. Е(1<, №. 4, 1945. Опыты, данные о которых приведены в книге И. М. Павлова, лают в указанном ныше интервале температур при тех же р и т! значения М лежащие в пределах: при У<=1,1 71=2 —:Зю<ю' прп У<=1,2 7<=4 —:6ю/ю. Таким образом, как и следовало ожидать, формула (2.83) дает значения 7<, неш<олько Г>олыиис экспериментальных, однако совпадение с опьпом следует считать вполне уловлетворительным. Ззметим н заключение, что закон распределения давлений, даваемый формулой (2,80), качественно также довольно хорошо совпадает с экспериментальными данными.
В частности, эта формула, так же как и эксперимент, дает некоторое смен!ение максимума давлений в сторону выхода полосы. 5. Погружение осесимметричного тела в осесимметрнчный сосуд, заполненный вязкой средой. Рассмотрим осеспмметричный сосуд, частично заполненный вязкой средой. Б этот сосуд с постоянной скоростью (l погружается осесимметричное тело, выжимая среду и заставлня ее течь в просве<е межлу телом и сосулом. Найдем си.чу сопротивления, действующук> при этом на погружаемое тело').
При решении задачи будем различать случаи, когда сосуд и погружаемое тело заострены (фиг. 16, а) и когда дно со- игивлпженные Решения злдлч а.=а(з) и Ь=Ь(в). Тогда, пренебрегая внешним давлением, будем иметь для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: ° = — и, о,=о; о = О, о, = О; ~ (2.84) (а ( г( Ь) р = О. ( прп г=-а прп г=Ь при з = гг' Интегрируя уравнение (2.39) по г, получим общее решение в виде (2.20), откуда, уловлетворяя условиям (2.84) для о., найдем окончательно; г „г аз1н Ьг1и 1др „Ь а1 4зда~ а 1и— ь г 1и— Ь и =- — (/ — + а 1и— Ь (2. 85) Для определения — проинтегрируем уравнение (2.39') др дх по г в пределах от а до Ь. Тогда, принимая во внимание бч сула и тела срезаны (фиг. !6, б). Выберем систему цилиндрических координат, связанных с движущплюя телом, оси которой направим так, как показано на чертеже.
Валлу постоянства У уравнения движения в этой системе координат булут иметь обычный вид. Пренебрегая действием спл тяжести и считая просвет между телом .а и сосулом малым, прп. -- ~Ф меним к слою, текуще му в этом просвете, = т,ф пРнближенные УРавне- ' тд = г ния (2.39). :-=:,Ф' Обозначим в некоторый произвольный момент времени рас- а стояние между дном Фпг. 1б. погружаемого тела и дном сосуда через Г, а высоту вытесненного слоя, считая от дна тела, через Н и будем сштать, что образующие погружземого тела и сосуда даны соо~ветс~венно уравнениями: 84 ИРОИ> ЬЙШИЕ ГСТЛНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (ГЛ.
И условия (2.84), будем иметь: ь дс> д ( да О = ~ — ' г с! г =: — ) о г с! г — Уп —, са~ дг ° Ж ' а ь откуда ь 2 ~ ожс(г — Уаа = С,. Для определения С, прнменилс уравнение постоянства массы ко всей среде, заполняющей сосуд. Приравнивая количество вещества, протекающее за промежуток времени ог через верхнее сечение слоя, тому количеству, которое вытесняется погружающимся телом, будем пметгс ь 2п ~ т>., (Н, г) г с)г 57=па' (Н ) Уай Сравнивая это равенство с предыдущим, приходим к выводу, что С, =О и, следовательно: ь ог а'г= —, Уа'. ! '> ь Подставляя сюда о из (2.85) и вычисляя интеграл, получи>с (2.86) (ьь -)-а ) сп — — (ьь — ИВ Выражение (2.85) вместе с (2.86) и дает закон распределения скоростей в слое. Интегрируя (2.86) по з и используя последнее из условий (2,84), найдем закон распределения давлений в виде: р = — 4р.
У вЂ” — — — - †. (2.87) Фс !> (ь .+И>) и —. — (с» — с>с гс и Перейдем к определению снл сопротивления, действующих на погружаемое тело. В силу симметрии равнодействующая этих сил будет направлена вдоль оси Ог. 85 пРПБлпжвиныв Рв!пгнпя зАПАч Напряжение силы трения на боковой поверхности погружасмо1о тела прп приия1ых прин.пгкенпях будет равно: ''' ,71г,г=.а' 1177 — аа) 71з 2 1 (за+ а ) 1П вЂ” — (Ь7 — 77-) 0 и (2.88) Переходя к определешио сил давления, об7эзначим осевую составлЯющУ1о СИЛЫ давзвнпя, ДЕйству1ОЩей на боковую поверхность, через Р7, з силу данления на дно погружаемого тела через Рз, Тогда для Р, найдем сразу; 7(п Р, = 27г ) Ра — 7(а, гга о (2.89) где р даатся формулой (2.87).
Лля определения Р, воспользуемся формулой (2.48), дающей закон распределения давлений по плонсадп круглой пластинки, сжпмзющей вязкий слой. Обозначая радиус дна погружаемого тела через 77, будем нз основании (2.48) иметь для закона распределения лзнленпй ио дну выражение: Р =Рч 1 7 ()са ге). , ЗР17 Р В данноч случае величина Р„означающая давление у края дна, т. е. прп г=)7, наперед неизвестна. Для ей определения примем, что дзвчение в нижнем сечении нытесняемого слоЯ, т. е, в сечении . =О, 7акже Равно Ре.
Тогда, полагаа в (2.87) Б=-О, получим: РГ ,) (Зз+ 77) 1 — ' — Ф7 — 77) (7 Влщисляя правую часть с помощью (2,85) и (2,86) и интегрируя по всей смоченной боковой поверхности, получим для осевой составляющей силы трения выражение 88 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [Гл. и Подставляя это значение рг в предыдущее равенство и интегрируя по площади дна, найде!и сс Рг = — „пр(У вЂ”, + 4ТСЕ(У[41 ~ а, (2.90) 8 Рс ста (С!1+ аг) си -- — (См — аг) г а Таким образом, полная сила сопротивления погружению будет в случае заостренного тела (фиг. 16, а) складыв ться из Р и Рт, а в случае тела со срезанным дном (фиг, !6,б) Если величина ст — а =- Ь будет мала по сраннению с а, то для Вычисленных выше сил можно получить следующие приближенные выражения: и 6п)е(с' ~ —., !та, сй г и и 12пу.(С ~ ~ ~ — г — 1 а — сга, г и п)г(у~~...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
