С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 17
Текст из файла (страница 17)
~ )!' (з) .-- )е( — з))е- "ч — . (3 27) 3 Формула (3.27) и будет лазать оригинал функпии, изображеюшм которой являетсн (3.23). Сходпмость стоящего в правой части интеграла лолжна будет и здесь в каждом конкретном случае дохазьшзться отдельно. й 8. Примеры точных решений задач о веустановившемся течении вязкой жидкости. Начзльнге>ш грзничнымп услониямп в нашей задаче будут: ири г = — (> о О, (3.29) ; =-и.
при у=О () ) О) при 1=Г> (( ' О) !. Течение между двумя параллельными стенками. Пусть вязкая жидкость заполняет все пространство ме клу двуми горизонтальными плоскостямп, находящимися нэ расстоннии й друг от друтз. Пусть при этом нижняя плоскость псе время неподвижна, а верхняя начинает в момент г=н двигзться вправо с постоянной скоростью У (см. фпг.
1), Пренебрегая лейт>мшем силы тяжести и считая давление всюду постоянным, найдем, кзк будет изменяться со временем движение жидкости мел<ау плосю>стгыш, если в момент г'=0 она была всн>ду неподвижна. Течение полагаем направленным параллельно оси Ох.
При сделанных допущегиих движение жидкости будет плоско-параллельным и будут иметь место равенства (2.01) с той лишь разницей, что булет т> =о(г, у). Г!ри атом мы испольэовали вытекшощий из уравнения неразрывности факт, чго в данном случае о„не зависит от л. Тогда из уравнений движения вязкой жидкости (!.46) сохранится только перво.", которое будет иметь вил: =я (3, 28) 102 нвьстьновивишвся течения вязкой жидкости /гл. ш да ф28 дги Жь в(1' 1!ри этом о будет функпией только одного переменного у п когшлексного параметра )и В результате вместо (3.28) получим для т уравнение ам 6 в агьг Интегрируя по у, в гиде; / о=д(р)з(г ( найдем общее решение этого уравнении 1гг — '- т)+7( (р)с(г ( 1/ -"- ь).
Из (3,03) слелует, что условия (3,29) для о сохранятся и для и. Определяя по этим условиям А и В, получим: в г11 1l — г е =.— (7 — = (7 ~' т'г Ф) аь $/ --л (З.ЗО) Таким образом, мы определили изображение искомой функшш. Это изображение представляет собою дробную функцию вида (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17); при этом точка р = О не будет пол>осом ть в чдм легко убедиться, раскрывая получаюшугося неопрсделвнность, Следовательно, о будет лаваться формулой (3.22) Замечая, что полюсы о или, иначе, нули уг(р) находятся в данном случае в соответствии с (3.17) в точках, тле аггг» р = — — —,—,, (й=( Таким образом, залача сводится к интегрированию уравнения (3.28) при условиях (3.29).
1( тому же самому сведется решение задачи о распространении тепла в стержне длиною й при заланных температурах на его концах, Решение этой задачи хорошо известно. Мы воспроизвелем его здесь, пользуясь методами операггионного исчисления. Для этого перейдем в (3.28) от озигинала о к его изображению тс при этом преобразование булем производить по переменному 0 Тогда, тзк как у нас о(О) = О, то на основюши (3.05') и (3.07') будет: ИРимеРы то'1ных РешениЙ ЗАдАч й 8) получим пз (3,30); Л(р )=умп(lгп — „), р ~'(р„)=г' —",, /г( — 1)» Далее па (3.21), раскрывая нсопределйнносэь, будем иметь; %=11 ° Подставляя все зги значения в (3.22), найдем окончательно: =и~ — „'-1 — „А' ' „" ш(мт)* " '~.
рн1 «=1 Легко убедиться, что величина о, определяемая формулой (3.31), действительно обращается в нуль при Г = О, так как, пользуясь известным ридом ') ! — 1)»-1 э1п»х х — ( — п(х(и), » =-1 будем иметси м »=1 ( — 71(У(71). (3.32) СС »"-.'ч1 т=й — =й — 1+ 2 ~( — 1)» соз ((эп — 1 е "' ~. (3.33) Полагая здесь у=О и у=й, найдем напряжении трения '! С»1., например, 1!. й!.
р ы ж и к, Таблнцы интегралов, сумм, разов и прни 1зеэенни. Госте»издат, !948, стр. 276. Из доказанного следует, что ряд, стоящий в правой части (3.31), разномерно сходится, так как каждый из его членов по модулю меньше соответствующего члена в (3.32), Формула (3.31) н дает закон течения жидкости между рассматриваемыми плоскостями. Замети»1, что в прелеле при 7= оо решение (3.31) переходит в решеняе соответствующей стационарной задачи.
Этот результат можно было бы получить на основании (3.11) сразу, полагая в (3,30) р=0 и раскрывая получающуюся неопределенность так же, кэк мы зто делали при определении д1. Найдем в заключение напряжение силы трения. Для рэс. смэтрпваемого случая из (3.31) получи»и !01 няхстлновившпяся тз шния внзкой жидкости (гл. ш нз стенках.
Оказывается, жо в кзждый данный момент 1 эти ни»ряжения не будут равны между собой. Если во<поль»паз<вся известным разложением сов 7<х =- — ' —, л, Р(сиз л И 1 — 27 <05 х л =! то пз равенства (3.33) легко <шйти, что в начальный момент напряжение на нижней (неподвижной) стенке равно нулю, з на верхней -- бесконечности. В последующем движении напряжение на нижней стенке будет возрзстзть, з нз верхней убывать, () стремясь к общему пределу т„=И вЂ”. л ' Заметим, наконец, кзк отмечалось в и.
5 9 5, чт1 полу!ен!<ое решение дает одновременно приближенное выражение для распределения скоростей и напряя<ений между двумя соосиым» цилиндрами, когда просвет й между ними мал по сравнешпо с радиусами цилиндров и когда внутренш<й цилиндр неподвижен, з внешний в момент 1=0 начинает равномерно вращаться '). 2.
Течение в круглой трубе. Задача И. С. Громеко. Рассмотрим течение вязкой жидкости в неограниченной круглой трубе радиуса 77. Пологая, что во все время движения скорости жидких чзстиц нзирзвлены параллельно <жи трубы (ось Ог), будем иметь п,.—.=о„==0, Тогда из уравнения неразрывности найдем, что о„ вЂ” о не зависит от г и система уравнений (1.47), если пренебречь з<ассовьош а!лами, примет ди /д<в 1 дп 1 1 дзи' 1 ьгз (3. 34) д< (,дгв ' г дг ' гед~) г <1х' (3. 34'1 дг ' да Тш< кзк о=о(г, р), то из (3.34) следует, что перепад давления р'= — не зависит от координз» п может быть »ог!ько заданной функцией времени. ') Решение ззлзчн о течении между пзрзллельнымн стеня»ли< при различного ролз других нзчзльных н граничных условиях можво найти в книге: А. И, Л у р ь е, Оперзииоииое исчисление, ОНТИ, !938, <тр.
192 и в интировзиной выше кинге Х. Кзрслоу и сй Егер», й 75. Т»и же в й 77 приведено полное решение задачи о развитии течения между лвумя врзшшошимнсз иилиилрзин. !05 ПРИ!<а!'Ы ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ Тогдд рассматриваемая задзча мол<от быть в самом общем случае сформулировзна так; в начальный момент (=О профиль скоростей во всех сечениях трубы одинаков и задан в виде о=!' (г, р)! определ<пь при соответствугощих ! раничных условиях, как этот профиль скоростей будет изменяться с течением времени, если перепад давления вдоль оси трубы изменяется с момента 7=- О по заданному закону р' = ф(!).
Залача в такой общей постановке была поставлена и решена известным русским механиком профессором Казанского университета Кь С. ! ромекой'!). При этом им были даны решения лля Зрех видов граничных условии: 1) <ьидкость прилипает к стенкам трубы (условие, обычно применяемое в гилромеханике в настоящее время); 2) жидкость скользит вдоль стенок трубы и коэффипиент внешнего трения !. отличен от нуля (см. стр. 31 6); 3) жидкость скользит вдоль стенок и ), = О. !<)ы ограничимся злесь изложением решения задачи проф. Гроь<еко для одного нз рассмотренных нм частных случаев, полагая, что жидкость в нзчальный момент неполвижна, а установившийся в этот момент перепад давления р' остается все время постоянным. Течение при этом будет осесимиетрпчным, а начальные и граничные условия, если считать жилкость прплппанлией к стенкзм зрубы, примут вид: при 7=0 о=0; прп г=(7 (!)0) я=О. (3.35) Для решения задачи воспользуемся опять методами операционного исчисления и иерейдйм в уравнении (3.34) от а к его изображение о по переменному !.
Тогда, принимая во внимание (3.07'), (3.05'), (3.03) и симметрию течения получим: <7<о, 1л< р - р' Лгд г <гг ч Тх (3.36) где и будет функш<ей только г и параметра р. ') И. С. Г р о м е к з, К теорнн движения жндностн з узких цилиндрических трус<хах, Казан!в в унязерснтетской тнпо<рафнн, 1882. До настоящего временн первое решение названной задачи неверно приписывалось П. Шиманскому (см, например, Аэродинамика, т. )ГО Оборонгиз, !989, стр. 77, статья ль Прандтля), опубдиковавшечу свои Лыее частные ре<ультаты лишь в 1930 — 1982 гг. 106 н!лястлновиВшиесЯ тс'!ениЯ ВЯзкой жидкости (гл. п! Уравнение (3.26) без правой части имеет, как известно, сеоимн линейно независимыми решениями цилиндрические функции мнимого аргументал): )о( )г — г~ " Ко( )! - г).
11рпсоедииня сюдз частное решение — —, получим общее а !1 решение уравнения (3.36) в виде: Тзк как Кз(0) = ж, то, полагая скорость течения нз оси тр>бы конечной, мы лолжны принять В=О. Далее, на основании (3.03) и (3.35) прн г=»с будет И=О. Определяя по атому условию А, найдам: о= — — !» — сл(», г)! р (3.37) где 1л( 17 — г ' р1,! 17 — »г) (3.38) есть дробная функция вида (3.16), удовлетворяющая условиям (3.17) и пл!еющая в точке И=О простой полюс.
Следовательно, !р будет даваться формулой (3.22). Гели обозначить !) Все используемые алесь и далее формуллы лля цилиндр!Шеских функций можно найти в книге: Р.О. К уз ь м ни, Бесселевы функцин, ОНТ!1, 1935. Зздзчз сводится теперь к нахождению и ио данному его изобрзженин! о. Г!Ринил!зя во внимание (3.04) и (3.14), можел! утиерлсдзть, что пи~меты точных екшкний злллч 9 8) Тогдз, исходя из обозначений (3.38) и ззмечзя, что 1з (х) =1, (х) и 1, («х) = «у, (х), найдем: а Л (Рл) =9а ',ил —,), Раут(Р,) =,—,, Ю~ (и„) Лалее, пользуясь рззло кениями 1, (х) = ! + — +..., еы = ! +1« -1-. мы, деля и перемнолсав соответствующие ряды, получим ряд (3.20) в виде: У,(р) еж, ) зл — ««з 1 1 1 --- —" = 1. (р)+ ~ — '-,— -~- «1-+-,-.
уз(!) р ' ~ 4 ' ~ р Иа ' Отсюда слелует, что у', 1«) равно выражении~ в кнздрзтной скобке. Подстзвлня исе нзйдеиные значения в (3.22), получим: 4 ( ) ( + 2«е С 'в')'л «Е) л.=! а~ 9~(ал) Внося это знзчение м н (3.37) и принимая во внимание (3.39), нзйдем окончательно; а' )1(ал) Помножив (3.40) на 21тгпг и интегрируя, наЙдем рзсхож ч "/: О= — — '„р' 1 — 32 У вЂ”, е л.
1 л (3,40') ') Все эти корня, кзк функинй, лействительные и пример, в книге: А. А. Ь. А. Диткии, Таблицы стр. 349. докззывзется в теории шшинлрических простые. Знзченця их можно нзийи, нзЛюстерник, И. Гь Акушский, бесселевых функций, Гостехиздзт, 1919, через яа корни уравнения.1, (х) = 0 '), то, тзк как !а («х) =.. 9а (х), легко вилеть, что полюсы функции г7 или, что то же, нули 7 (р) нзходятся в соответстшш с (3.17) в точках, где р„= — — А («в=1, 2, ...). (3 3(1) !08 нсхстхиовившив!.я течения вязкой жидкости (гл, и! Разложен!ш фушиии! ! — нз в ряд ФурьеР-Бесселя имеет вид: ут = 3 ~' ",'-"Р) а! ад й!)яз) (3,41) следовзтсльно, ряд, стоян!ий в правой части (3.40), рзвиомерно сходится, так как кзждый из его членов меньше г соответствующего члена в (3.41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
