С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Чтобы убедиться в этом, следует положить р=ап и за1ленить стоящие в (3.71) цилиндрические функции нх асимптотически1ш разложен шми. Тогда пол>-пш: Подсчитаем в заключение полные силы тренин Е! и Г, на внутренней и внешней поверхностих трубы при погружении еа на глубину Н Умножая длн этого правые части (3,70) н (3.7!) на йиаг1г и интегрируя по х от 0 до Н, найдем; Г, =4 р и-' а~' -'.—, ( ! — "" ), гм 2 таз ()) + Уо ()) (3,72) (3.73) Ответи!! следующее интересное обстоятельство.
В то время как Га — сила трения на внешней поверхности — с увеличением И неограниченно возрастает, величина полной силы тренин на внутренней поверхности по мере погружении трубы стремится к предельному значеншо г ! Г' = 4ир СРаа ~ — =- ир(угаа А=-1 а так как значение стоящей справа суммы равно 0,25'). При этом Р' равно секундному колпчеству дни!кении вязкой среды, которая втекала бы в трубу с постоянной по всему поперечному сечению 0 000 йа) «б 020 )т скоростью У. Фнг. 22.
Чтобы наглнднее представить определяемые формулами (3.72) и (3,73) силы, приводим изображенные на фпг. 22 графики. На этих ~рафиках дана зависимость безразмерных велил г чин Г! и Ра от безразмерной же вожжины Н, тле Л тд а-"(7 ' т) См. Р, О. К у з ь и н н, вылив цнт„стр. ! !2. Э 9) поггужение иллсп!ны и тгуаы в вязку!о сееду !21 122 нвхстю<опившиеся твчянпя вязкой жид«остг< Как видно, полная сила трешш на внутренней поверхности Л Л меньше, чем на внешней, причем разность Г, — Е, по мере погружения трубы растет. Полное сопротивление погружению трубы будет, очевидно, равно сумме величин Г, и Вх, определяемых формуламл (3.72) н (3.73). 3.
Срезание кольцевого слоя вязкого вещества, Рассмотрим вязкую среду, заполняющую всб полупространство ниже горизонтальной плоскости а=сопя( за исключением цилиндрической полости радиуса д. Пусть в эту среду погружается тонкая цилиндрическая труба ралиуса а)Ь, вертикальная ось которой совпалает с осью имеющегося в среде цилиндрического выреза. Таким образом, труба прп своем погружении будет срезать кольцевой слой среды толщиною Л = а — Ь. ('3. 74) Прп этом будем считать среду столь вязкой, что течением ее под действием силы тяжести можно за время погружения трубы пренебречь.
Найдем сопротивление, испытываемое трубою при ее погружении. Задача, как и предыдущая, сводится к интегрированию уравнения (3.61) для о, плп, переходя к изображениям, уравнения (3.63) для и. Обцим решением этого уравнения будет опять (3.64). Так как граничные условия для внешней области остаются в данном случае такими же, как в (3.62), то течение в этой области будет определяться уравнением (3.68), а сила сопротивления на внешней поверхности трубы формулой (3.73).
Перейдем к решению задачи для внутренней области. Первые два из граничных условий (3.62) сохранятся и в этом случае; третье условие, полагая, что внешняя граница срезаемого слоя свободна от напрягкений, получим в виде при г= <т (а) О) — = О. дв (3.75) Тогда, опрелеляя в (3.64) значения А и В по условиям (3.62) (для г= а) и (3.75), найдем: 1<и )Гзг)К, (л)/рЫ+К„<л )Гцг)1, <л )Гр Ь) 1„<л )/р а)К< (л ) ' р а) -)- Ка(л ) ' р а) 1, [л $~В Ы = — 77.~' <1) . (3.76) .«, я) й 9) поГРУжение пластины и тРУБы В ВЯзкУю сРелУ 123 Правая часть (3.76) представляет собою функцию нида (3.16), удовлетворяющую услови1о (3.17), причем точка р=О не будет полюсом. Следонзтельно, и в ланном случае значение о булет даваться формулой (3,22).
Если обознзч1пь через «» корни уравнения ') Ле(х) «1( — х) — '1'е(х) 31(т — — х =О, (3 77) 1~ о ., О 1~-,1- то легко убедиться, что о будет иметь в данном случае простые полюсы в точках, где 7» птна Прн этом, согласно (3.77), будет: (3.78) Тогда пз (3,76) будем иметь Далее, пз (3.76), принимая во ннпмзиие (3.78), найдем: Р» 7 т (Р») = — — «, — '. ~3, ( — „' «,) У;(' — „«,) — У,( — „' «,) 3', ~ —,' «,)1Х 1'Ь Х вЂ” )3 1») У,(«,) — У («»)3 (-,)! —, 7»вЂ” а 1 тле штрих означает дифференцирование по всему зргументу, Замечзя, что вырзжения, стоящие в квадратных скобках, представляют собою вронскяаны цилиндрических функций и равны й Все корни уравнения (3.77) аейстянтельиые и простые.
Ом, 1 Вй В а тс о н, Теория бесселевых функиий. 11зл. Вностр. лнт., 1949, стр. 559 124 нгхстлновпвшився твчвния вязкой жидкости (гл. ш 2 и: —, вть ' дл соответственно -= вгь Ь получим окончательно: ы г( ть) Рву. (рь) / Ь 1о(ть)1~ ( — ть ! (,а л т *=1 "о(ть) )1 ( — ь 1 (,а 'Ь Р',Л,(7ь)), ( — (ь !е оат 1. (3.79) Напряжение трения на внутренней поверхности трубы будет определяться формулой (3.69). Найдя из (3,79) значе/до 1 ние ! — ) и принимая во внимание (3.78), а также заме- ~ дг г.=д няя получающийся в числителе вронскиан его значением, мы найдем для напряжения силы трения нз внутренней поверхности следующее окончательное выражение: 2 я — ть Ув (тй! а о'л .
(3.80) т(Ь н ',! — !в ь=г ~ Заметим между арочим, что если положить Ь=О, то уравнение (3.77) превратится в Л,(х) = 0 и, следовательно, Т заменяется на агс Так как, кроме того, г',(0) = сю, то, следовательно, при Ь = — О выражение (3.80) перейдет, как и следовало ожидать, н (3.70) предыдущей задачи. Умножая, наконец, обе части (3.80) на 2иа А" и интегрируя ио з от 0 до Н, где Ь7 — глубина погружения трубы, Наконец, на основании (3,21) найдем, заменяя в (3.76) соответствующие цилиндрические функции пх разложениями в ряды, что я,=!.
Тогда, подставляя все полученные значения в (3.22) и принимая во внимание (3.54), получим следующий закон рзспределения скоростей в срезаемом вязком слое; 8 9) поггкжаниа пластины и телы в вязюю сгвдт !25 найддм величину полной силы трения на внутренней поверх- ности: ~т Г= 4ираа(7» ~ —,, 1 — — -7 Ь 1,1 — е "а ! (3 81) у! —,~»() а Полное сопротивление погружению трубы будет равно тч+г.„где Га дается формулой (3.73). Для вычисления Г необходимо знать "(, — корни уравне- Ь ния (3,77) нли, что то же, (3.78).
Если величина — близка к единице (срезаемый слой тонок), то значения «» оказываются очень большимн и могут быть определены приближенно, если заменить входящие в (3.78) цилиндрические функции их одночленнымп асимптотическими разложениями ~); Г а,г»а 3 (х) ~/ — сов х — — — — ', У хх ( 2 4/' / г у (м) = — т,' — "а!п ( м — —,' — — ") ()г = О, 1, 2...
) . (3.82) (3.83) л ! — з!н ~т» — — ) 11 ! т» сов / ~а 47 ') См. О. Р. К узь ми и, выше цнт., стр. 78. Подставляя значения (3.82) в (3.78), получим; с!и («» — — ) = с!и — «„— — и ~ ~а " 4 откуда 2» — 1 в «»= 1 —— а Формула (3.83) булет определять значения «тем точнее, Ь чем — ближе к единице, т. е. чем тоньше слой. а Рассмотрим в заключение случай срезания очень тонкого слоя. В этом случае, как видно из (3,83), значения «будут очень велики п стоящие в (3.81) цилиндрические функции можно будет заменить пх асимптотическими разложениями (3.82). Тогда получим: 126 нетстанозившився течения вязкой жидкости (гл.
ш так кзк на основании (3.83) соз 1 — у — — '~ = соз ~ у — — ' — (2й — 1) — ~ = 1а а 4у ~ а 4 . 2~ 4 У' =( — 1) ~5!и Подставляя в (3,81) значения соответствующих величин из (3.83) и (3.84) и вводя А=а — о, найдвм следующее приближенное выражение для силы трения на внутренней поверхности трубы в случае тонкого слоя; "=-, ри"(у'2. (2а — 1' ~ 1 — ',,".""" "~ . (3.85) а=1 Если, наконец, ко~да погружение будет достаточно большим, пренебречь ввиду малости Ь вторым слагаемым в квадратной скобке и приннть во внимзние, что ') ! а=! (йа — 18 8 ' то будем иметгн Г = 2пралс/а (3.88) Последний результат указывает, что при срезании очень тонкого слоя сила сопротивления трения на внутренней поверхности трубы равна секундному количеству движения прилипающего к атой поверхности счоя вязкой среды.
Как отмечалось выше, это совпадает с результатом, получающимся из (3.72) прн Н- оо. Заметим в заклк~чение, что найденные в настоящем параграфе решения могут быть в первом приближении приложены к случаю погружения трубы в вязкий грунт. 8 См. 1!. М. Р ы ж н к, выше лнт. таблнны, стр. 245. ГЛАВА !Ч. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ. ф 1О. Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое, 1. Пограничный слой. Многие жилкости, с движениямп которых приходится часто сталкиваться при решении практических задач, облздают очень малой вязкостью; тзковы, например, вола, воздух (см.
табл. ! на стр. 22). Если одновременно размеры обтекаемых тел и скорость течения не очень малы, то мы будем получать течения с лостаточно большпмн числами Рейнольлса. В этих случаях, как показывает опыт, влияние вязкости сказывается лишь вблизи самой обтекаемой поверхности. Это обстоятельство было в свое времн отмечено еще Д.
И. Менделеевым в его капитальных исследованиях, посвященных сопротивлению жидкостей и воздухоплаванию (!880 г.). Влияние вязкости вблизи стенок оказывается существенным, по той, также устанавливаемой опытом причине, что даже очень мало вязкие жидкости сохраняют свое свойство прилипать к обтекаемой поверхности, в то время как жилкость, лишенная трения (идеальная), лолжна вдоль этой обтекаемой поверхности скользить. Таким образом, основываясь на данных опыта, чы приходим к следующей картине обтекания плавно очерченных тел маловязкой жилкостыо: на обтекаемой поверхности жидкость прилипает к телу, затем, по мере удаления от поверхности, скорость жидкост11 быстро возрастает и на некотором расстоянии 3 от поверхности принимает значение, равное практически тому, которое имела бы при обтекании данного теча жидкость, лишенная трения.
Этот поток жидкости, лишанной трения, мы будем в лальнейшем называть анешниж 128 УСТАНОВИВ!ИЕНС!! ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. Ис лшноком, а слой толщины 8 близ поверхности тела, в котором скорость жидкости меняется от нуля до скорости внешнего потока — логуани гнмш слосж. Картина рзсч!редеэ!Ниии скоростей по направлению нормали к поверхности тела имеет вид, показанный на фиг.
23, При этом толщина пограничного слоя О оказывается теи меньшей, чем меньше вязкость жидкости. Такой схемой течения в применении к задачам аэродшы.мики прсдлолнш пользоваться творец этой науки проф. Н. В. Жуковский в своих и лекциях по теоретическим оси!энзэ! воэдухоплава-9емчш -- ния '). НЯ п!Тсдлагаю счиломил тать,— говорил Н. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
