С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 23
Текст из файла (страница 23)
11ля этого прибавим к обеим частям равенства (4.14) выражения   — ~ — иагуг = — — (иае) и и — ) игуу= и — (ио). д Г д дх,~ дх,) о Тогда, меняя одновременно все анакп на обратные, получич: — ~ (иа — -') (~ — и — ~ (и — - ) ду = д Й..., д Р дл дх д 0 о д а гз,, У де ) дх дх = — (иао) — и — (ио) — ии'ь. -1- У вЂ” ') г,ду /у=о ,-'„-[и~(и — „)ду~ ) " ~,(и е е д Р— и "- ) (и — и ) лгу=- 'В ОХ~ — У О или, принимая во внимание (4.16) п (4.1Т): д (изов) + д (иаееа) — и д (иов) = В, Легко видеть, что первые три слагаемых в правой части равенства дзот в сумме нуль.
Полагая теперь в оставшихся слева членах 3 = оо и разбивая первый из иитегрзлов на два, ПОЛУЧИМ: ь 10] угланения движения в иогглничноы слое 141 !'де,,а где та = р ( —" ) — наиряжение трения на поверхности 1,ду,) у =е обтекаемого контура. Последнее равенство восле очевидных иреооразований дает.' (4. 18) Созтношеннем (4,18) можно иользоваться как для асимитоп!- ческого слоя, так и для слон конечной !'ошцины. В иоследнем случае верхним пределом интегралов, входящих в (4.16) и (4ЛТ), будет 8.
Отметим в заключение, что с несколько иной точки зрения к иолученшо интегральных соотношений и их исиольчованию нодон!ел проф. Л. Г. Лойцянский. Не имея возмо кности изложить здесь все методы -.=1 !'сории пограничного слоя, мы выну!клены интересугощихся отослать к оришшальной работ. автора '). Применение метода Л. Г. Лойцянского к расче!ту,'9 пограничного слоя нз телах вра- ,ггг у, щения рассмотрел Л. Г. Стеизнянц г). 4, Уравнения движения в г погранячном слое на теле вращения, Рассмотрим иограничный слой на теле вршцения, ось которого наиравлсна иараллельно скорости набегающего потока. Тогда течение в иограничном слое !буде! осесимметричным и характеристики его будут зависеть только от двух иарзметров. Выоерем следугощую систему ортогональных криволинейных координат: координату л, отсчитываемую ио дуге вдоль какого-нибудь из меридианов, ировезанных на обтекаемом теле (фиг.
2о); координату у, отсчитываемую ио нормали к обтекаемой иоверхности; координату г', отсчитываемую ио ') Л. Г. Л о й ц я и с к н й, Пнтегральные методы тенрнп иограннчного слоя. Прикл. метем. и мех., т. 1', 1!Ь 3, 1941. х) Л. Г. Стеиан яиц, Прнкл. х!атем. и мех., т. И, И 4, 1942. )42 хстлновпвшккся ткчкнпк в погглничном елок (гл. гя дуге соответствующей параллели. Заметим, что в случае осесимметричного потока характеристики течения от координаты з' ие зависят.
Вели радиусы кривизны меридианов и параллелей будут велики по сравнению с толщиной пограничного слоя (в дальнейшем рзссхштрпвается только этот случай), то прн составлении уравнений лвпженпя в пограничном слое кривизной кооодиначных линий можно пренебречь и рассматрпвзть выбрзиные оси как прямолинейные, В результате, пренебрегая мзссовыми силами, придйм опять к уравнениям (4.04) и после соответствующих оценок, так же как в п. 2, получим уравнение движения в пограничном слое в виде (4.08).
Однако уравнение (4.04') здесь не сохранится, тзк как рассматриваемое течение не является плоско-параллельным. Для получения соответствующего уравнения неразрывности возьмам в меридиональном сечении пограничного слоя (фиг. 25) точку А, находящукюя на расстоянии гс от оси симметрии Ох и построим прп этой точке элементарную площадку со сторонами Ьх, д)ь Рассмотрим поток нпшкости через кольцевую область, образованную вращением этой площадки вокруг осп Оз. Тогда в выделенную область по меридпональному направленшо за единицу времени втечйт количество а<пакости, равное 2пгсо Ьу, а вытечет количество 2п ) гсо + — —" Ьх1 ду; д Жок) я х дс таким образом, оощее количество жидкости, вытекшей по д ()со,.) этому нзиравленшо, будет; 2п д ' Ьх му. Точно так же найдем, ло в направлении нормзли к поверхности за единицу д Мох) гречени вытечет количество жидкости 2п — — "- ах ау. Тзк как д) жидкость иесжпмаемз, то на основании закона сохранения вещестгз суммз найтенньж количеств должнз равняться нулю, т, е.
должно бить; и 0(от), д %ох) ох ' ду Это и б)дет уравнением неразрывности для течения в рзссматриваемом пограничном слое. В результате приходим к следующей системе уравнений установившегося двпн;ения вязкой жидкости в осесимметрич- !Ох до„д(У вЂ” "+ — "=и — + — '", х дх Уду дх дуа (4,1 9) д (!1>и ) (- д 01иу) = 0 дх ~ ду (4 ! 9') Произведя дифференцирование в левой части (4.19'), замед>г' тпм, >то член — о, как имеюиц>й порядок малой величины ду д.т т~, может быть отброшен (порядок производной — ра- У' ду нен едпнппе).
Тогда получим для уравнения неразрывности другое выражение: дх ' ду ' Т>' — "."-(--" — "-1- — о =О, (4. 19") где штрих означает частную производную по х, В случае неустановившегося течения уравнение (4.19) должно быть заменено урзвнениеь> (4.08). Из (4.19) и (4.19') могут быть получены интшральные соотношения, аналопшные (4.13). Для этого следует умножить оГ>е части (4.19) на о„")>>с1уи пропнтегрпронзп поуот 0 до д. Используя граничные условия, сохраняющие в д,юном случае вид (4,12), и уравнение (4.19'), мы с помощью преобразований, анзлогичнык проделанным в и.
3, придем к соотношению д Ги (м+' д — — )т г(у — — — 1 о Вс(у = дх 3 1+1 - а-(-! дх,~ а о =иГ~ ."Яду — И ) — (д—— " )')(~у— х >( — у ~ )>ьо>' — х, (4 20У Е С>ох > " ду >' у =: о ' являк>щемуся обоГ>щением интегрального соотношения, установленного проф, В. В. Голубев>нм, иа случай осесимметричного пограничного слоя, 10) ЕРАвнение движения В пОГРАничном слое 143.
ном пограничном слое: 144 устАНОВИВШЕЕСЕ течение В НОГРАНИЧНОм СЛОЕ (ГЛ, !у При преобразовании последнего пз входящих в праву!о часть интегралов необходимо принять во внимание, что = — — ( ((!О! — '-~ — !тггп! — ' ( — 'у1, ду (, „дУ,) к (де,) ь ,! (14 двх) (4.21) о выражающее теорему об изменении количества движения для осесимметричного слоя. Точно так же, полагая в (4.20) !!=1, получим обобщение на случай осесиьшетричиого слоя интегрального соотношения, ланного акад. Л, С.
Лейбензоном. Если передняя часть обтекаемого тела является тупой, то, обозначая радиус любой из параллелей на обтекаемом теле через )та = гга(х) (фиг. 25) и имея в виду, что прп этом порялок Й вЂ” й, равен о, можно во всех предыдущих уравнениях, сохраняя точность, приняту!о при их выводе, положптвс )(!=1А!а(х). Полученные выше интегральные соотношения при этом упростятся, так как величину )са можно будет вынестп изпод знака интеграла. В частности, вместо (4.21) будем иметвс ! 6 ь д д (' Г'е à à — ) паду — и — ) ° ду — — ~1(и — Л) !'1.= дх 3 ~ !!„1,1 'о о о = (Лрд — У ( — " —" ), (4,22) ! дУ,! У =а' 1 так как сохраненные слагаемые имеют порядок —,, а отбро- 1! ' 11 д!г щенное — порядок —,~порядок — равен 1); после умножении а ду на Р, имеющее, как видно из (4.02), порядок о-', этот отброшенный член дал бы величину порядка д, а величины такого порядка при получении уравнения (4.19) отбрасывались, Г1олагая в (4.20) /г = О, получим соотношение ! д!-„дГ дл 1 '!.А(!"У вЂ” ((,—, ~ ОЯНУ= о о 146 хстхновившхвся твчвнив в погеанпчном слов (гл.
ш В качестве примера найдем таким путам для осесимметричного течения интегральное соотношение вида (4.18). Согласно излох<енному для потока с У(х) это соотношение будет иметь впд (4.!8), т. е. + — (28 аж+ а в) л~ ггл Замечая, что на основании (4.25) н (4,23) х(()ге ) лх )со „! па * и'й ! (у е айа* дх ах лх й2 Ро лл ' дх дтекх ' и заменяя с помощью (4.25) значения 8 а, 8 за и т, в остальных члензх, найдем окончательно: 3 вя + — (28* +гч)+58 * — — 0 (4 26) к и жо РОх Это и будет соотношение вида (4.18) для осесичметричного пограничного слоя, которое можно, повторяя выкладки п. 3, получить непосредственно нз (4.21), Как мы видели, решение задач теории пограничного слоя сводится к интегрированию при соответствующих граничных условиях систем уравнений вида (4.09) или (4.19), в которых основное уравнение является нелинейным. Практич ская важность задач теории пограничного слоя, с одной стороны, и матемзтические трудности, связанные с проблемой непосредственного интегрирования уравнений движения с другой, породили большое число исследований, посвященных различного рода приближенным методам решения задач теории пограничного слоя.
При этом все известные методы решения можно по существу разделить на следующие три группы: !) непосредственное пнтегрпровзние п о л ны х уравнений движения путам применения тех или иных численных методов; 2) построение приближенных решений с помощью интегральных соотношений; 3) интегрирование п р и б л и ж е н н ы х уравнений движения, получаемых из полных путам частичного учета инерционных членов. Ни объбм, нп назначение настоящей книги не позволяют нзм уделить место рзссмотренпю всех известных методов рас- игиисвы численнОГО глсчегх чета пограничного слоя. Однзко те яз иих, которые будут рассмотрены ниже, лздут достаточно полное представление о каждом из упомянутых трсх основных направлений исследований в области теории лзминзрного погрзничного слоя и о способах решения отдельных конкретных задач, й 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
