С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этим одновременно — дУ проверяется, что (3.40) действительно дзег о=-.0 ири г=рг!) Полученные проф. Гй С. йй Громекой формулы (3.40) определяют закон изменения скоростей в любом сечении трубы и расхолз с течением времени ири усло- О дл !)у ! и взш,.и'= — д — —— соиз!. Р изида деле ирп г == оо решения (3.40) иерехо'сяг в решения (2 21) и (22 2) соответству!ошей стаиионзрной зздзчи. У Профили скоростей для г,=--с! гг! рззных моментов времени, рзссчитзнные по формуле (3.40), иокзззны из фиг. 20.
Фиг. 20, Друг: й весьма интерес- ный частим.'1 пример, рзссмотренный проф. Рй С. Громекой, относится к случао, когдэ иереизд давления р' есгь некоторая периодическзя функция времени. Окззывзется, что и в изином случае иои ) †. схз устшывливзется режим течения, оиределяемы,'1 законом (2,24), если только н ятом законе ззменпгь сга (илз рзсход 9 и перепад давления р' их гредннии зи целый период значениями. 3.
Движение твйрдой стенки, тормозящейся трением о слой вязкой жидкости. Рзсстштривземвя ниже ззазчз иредстзвляет собою интересный пример т!жного решения сишемы совместных урзвнений, оиисывзющпх движение твердого 10З и гпмзгы точных Решении зх;гь'! о==0, п=О, ()) О) о=а, (3.42) (г) 0) и= О, прп != — 0 ирп и=О прп у=-l! где и — переменная скорость движения пи!кней пластины. Лля опреаеления а составим уравнение дьиженпв единицы плогцади нижней иластш ы; в результзте получим: И~Ч гл — = гу — ть. нт Так кзк в данном слу ше нзпряженпе трения нз нижней )лл' пластш!е та = — р — ), то окон штельно будем ил!ег!к (дх) = ' (3.
43) Переходя в (3.28) и (3.43) от оригиналов к пх изображениям по переменному с и замечая. что при г= 0 и =0 и а = О, получим: !!2!! в !г! !тй ! —,и Х,~у )х=-з' ') !1гложеине аналогичного решения в случае вертикально наззкн шеи пластины прнзелеио в книге Х. Карслоу и Д. Егеоз, $76. теча в вязкой л.пдкости и течение жидкости, вызнзнное лвижсш!ем этого тела '). Рассмотрим дне неограниченные горизонтальны пластины, нахотящиеся на озсстоянип й др)г от друга, нространш!ш мегкду которыми ззполнеяо вязкой жидкостью.
Пусть при этом верхняя пластина в«е время неподвижна, з нижняя начинает двигаться из состояния покоя впрзво под дсйстзиеч приложенной к ней в момент (=О постоюн!ой силы. ОГ>означим величину силы, прихоляшуюся на единицу плошади нижней !к!:!глины, '!срез !), а массу единицы плошали этой пластины через >л. Выбирая оси так, как показано на фиг. 1, и пренебрегая массоеымп силамп, найдем, что движение жидкости слое межлу пгаастинамп описывается уравнением (3.28), Начальные и грзничные условия при этом будут: 11С неустлнОВИВШИЕСЯ течениЯ ВЯЗКОЙ >кидкОСти (ГЛ.
и! При этом для первого из урзвнений (3.44) граничные условия (3.42) принимают вид: при У=О с=и, при у=й С=-О. Лй л= — ' О! (3. 47) и обозначить через аь последовательные корни уравнения х 13 х = л, (3.48) то изображение и будет иметь простые полюсы в точках, где р = — — аь. ле Тогда, принимая во внимание (3.47) и то, что аа — — лсщагн получим: Яапа рьуз (рь) = — — „(аь + па+ л), Далее, легко убедитьсн, что точка р=О не являешься полюсом функции и, следовательно, используя (3.21) н раскрывая получающуюся неопределенносгь, будем пметьс 4Л 81=(и1р- = —.. Тогда, интегрируя это уравнение по у и удовлетворяя граничным условиям, получим: /р) Я11~(л — д) )г — ~ о=и (3,45) ап(» уу — ") Подстзвляя в последнее пз уравнений (3.44) значение о из (3.45), найдем изображение и, которое можно представить в виде: и— — — (3.
46) гн У'Р» ( Л ВУ вЂ” + — сп1 Л 1~ — ) гн г Ле~ко видеть, что и представляет собою функцию видз (3.16), удовлетворяющую условиям (3.17). Следовательно, оригинал а будет даваться формулой (3.22). Если ввести безразмерную величину НРимеРЫ точных Решений задач 2 8) Полставляя все найденные значеш/я в (3.22), определим окончательно скорость данн<ения нижней пластины: 2 ~а са — — г и = — 1 — 2да,г ат (а~~ +.да ' д) (3.49) / в) а/г аи ~ (// — Р) 1,' Легко видеть, что о есгь также функция вила (3.16) и что полюсы ее совпадают с полюсами функции д в равенстве (3.46) (точки, где — Ьа= — /сапа, как легко проверить, не полюсы).
Ра ° 2 2 У Тогда, аналогично предыдущему, найдем окончательно из (3.22) следующий закон распределения скоростей в слое: о= — 1 — — — 2да ~~'~, е "" ~.(3.50) — г//' /' ' /' е ь- / Р~ /2 2/2 / аь (аь+-да+ п)а1и аь Таким образом, задача оказывается решенной до конца ') Полученные здесь на первый взгляд довольно отвлеченные ') /йы опускаем доказательство равномерной схолныос2и рядов в (3.49) и (3.30), аналогичное тому, которое приведено лля рядов, встречающихся в Е 20.
Таким образом, оказывается, что скорость движения пластины стремится с течением времени к предельному значению д/л (/= / . Этот результат можно получить сразу, приравнивая Р (/ о предельной величине нзиряжения трении р.—. Значение реи' Роения (3.49) состоит в том, что оно позволяет оценить, как быстро скорость и приближается к своему прелельному значению. Лля нахождения закона течения жидкости мех<ау пластинами, подставляя в (3 45) величину и из (3.46), получим: 11' нс ге! лннзившид!.я течения вязкой жидкости [Гл, !и результаты будут использованы ллн приближенного решения практически интересной задачи о вращении крутлого вала, тормозящегося трениеи о смазочный слой (см.
б 23). Тад! же рассмотрен вопрос об определении величин ад — корней уравнения (5.48). В заки!оченпе нельзя не отметить той сравнительной простоты, с которой метод операционного исчисления позволяет строить решение рассмотренной здесь достаточно сложной залачи !). й 9. Погружение тонкой пластины и трубы в вчзкую среду. !. Погружение тонкой пластины в вязкую среду. Решения рассл!атриваемых ниже задач основываются на исполь- зовшшп прполпжйнных уравнений г ини кения вязкой жидкости, в ко- С торых инерционные члены и члены, зависящие от вязкости, учитываются не полностью, а лишь частично.
При этом учет инерци- :, 5~~, 4фг ффффф' ' ~л онных членов производится подоб,;;„гофф',у;~улй ";ф но тому, кзк это делается в методе ' ''2;у ~'~у 4' Озеена, а учет вязких — как в за- феД,," Уг!Д фз 4л,"'2' дачах 9 6. БлзгодаРЯ томУ, что система коордш!ат связывается с и!нг. 21. движущимся телом (как в п. б 9' 6), уравнения принимак1т вид уравнений установившегося влечения, хотя по существу, по отношению к системе отсчета, связанной со свободной поверхностью жидкости, движение жидкосп! будет неустановившимся.
В такой постановке решение задачи о погружении пластины н вязкую срелу было дано проф. Н. А. Слезкиньщ з). '1 Решсния ряда друшш задач о нсустшювиви!смся течснпи вязкой жалкости и ссылки иа литературу юлино !шйтл в каше! Г. Л а м б, Гидродинамике, Гостехиздат, 1947 н в цитированной выше книге Х. Кзрслоу и Д. Егсрз. См.
также рабаты ароф. Н. А. Слезкина, опубликовзнвые в Дока. Акад. Наук СССР, т. Х17, № б, 1997 и т, ХХХ, № 4, !941 и в У !еиых записках 7йГУ, т. 4б, !940. з) Н. А. Славкин, Дока Акал. Наук СССР, т. Х(Л1, № 1, !с,!й ф 9) поггтжснив пллсгшгы и тгквы в вязктк~ сгкдь 115 х„.=ох+ У, п„=т полу игм первое из зтих уравнений в виде: дп„ вЂ” д-г-(о,+Ц вЂ” "+и,— '"=- г~ —.— „д+ — „" . (3,51) гз ' " дх уду, дх'-' дуа )' Так как скорость в направлении движения изменяется зна ч~гтельно медленнее, чем в направлении, перпендикулярном плзстпне, отбросим в правой части производную по х по сравнению с производной по у, Далее, считая, что профиль скоростей относительно пластины не изменяется с течением времени, т.
е., считая, что распределение скоростей в плоско. сти Оху как бы ,потру'кается: вместе с пласгиной, отбросим в левой части производнунз по времени. Наконец, полагая и, н э малыми, по срзвнешио с У, отбросим в леной частя члены, содержащие их произведения. Заметим, что эго можно сделать дп н вблизи стенки, где, правда, э =У и —.х велико, но ваго ду дпх ,— '=О и и =О.
Тогда уравнение (3,51) примет вид: дх у дп дага дх дул ' (3 52) 8 с,м, тввг Рассмотрим вязкую среду, заг~олняюгггую всд полупрострзнство ниже плоскости ЛВ (фиг. 21). Нусть в момент г= — - О н зту среду начинает погружаться с постоянной скоростью (: тонкая вертикальная ггластиг~а ОС.
Совместим с нижним концом О пластины начало подвижной системы координзг и на. правим ось Ох вверх вдоль пластины, а ось Оу — горизонтально. Считая течение плоско-параллельным, обознач1гм ироекц|ш абсолютной скорости какой-нибудь жидкой часпшы на оси координат через и„ и гг, а проекции ее относительной скорости на те же оси через ю„ и пу, Так как системз отсчета Оху инерциальнз, то в ней уравнения движения сохранят вид (1.46) с той лишь разницей, что всюду вместо гг ж бдд)т стовть пх 11 пу (ю О), Будем в дзльнейигем считать давление вдоль Ох постоянным п пренебрегать массовыми силамп.
То~да, переходя в на. званных выше уравнениях ог относщельных скоростей к эжолютным, с помощью равенств 114 нюстхновпвшисся твчвнпя вязкой жидкости [гл. ш прп х~О и„= О, при у =0 (х) О) и = — Сг, п(иг у = оо юг=О. (3.53) Задача опять свелась к пнтегрироэаншо уравнения теплопроводностп (3.52), решение которого при условиях (3.53) хорошо известно. 11остропм это решение для области у)0 с помощью методов операционного исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
