С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 16
Текст из файла (страница 16)
да д» ' до ' (3.07) Из (3.07) следует, что если и есть функция нескольких переменных, например и(х, у, () и если преобразование (3.01) производится по переменному г, то изображения частных проди ди изводных — и — будут равны соответствующим частныи дх ду производньщ от изображения а, т. е. дй, да до1й1, д'и (3.07') дх ' дх ' дхо дхо н т.
д. Преобразования же от частных производных по будут, очевидно, определяться формулами (3.05) — (3.06'). д) Изображение интеграла. Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим: СО 1 00 р 1 ~) и(0) а(1) е — Рг(1= — ) е — Р' ~ и(0) с(9 ! + ~ и(() е — Рсй о о о о о ф 7) некОтОРые сведения из ОпеРАЦНОН. Нсчпслен1и 93 94 нвлстлновившився твчвния вязкой жидкости (гл, ш г Отсюда, полагая, что предел произведения е — О') и(3)М прп о сю равен нулю п принимая во внимание (3.0!), будем иметли а — -'-, ~ иа'г.
Р о (3.08) '1 и(( — 0)о(8)Ф, Таким образом, если принять во внимание о (3,05'), будет: аГ ио . ит,) о и (О) о (г — 3) дб = — „~ и (г — О) о (8) дб. (3,09) о ж) Значения оригинала при )=0 и г=оо. Введелл в (3.01) вместо ( новое переллениое т=фй Тогда получим: и=) и ( — л)е "дт. о Приближая теперь р к бесконечности, получим: (и) о, —— и (О) ~ е 'г(т =- и (О), о пли, иначе и (О) = и (со). (3.10) Таким образом, при переходе к изображениям онерапия ининегрироеания сеодиглся и делениго изображения на ларажесир р. е) Произведение изображений двух функций. Опуская доказательство, укажем, что если известны пзображения и и и двух функдпй и(() и о(г), то произведение — ио р является изображением интегралов: 1 и (()) о (( — 1)) дб или о 2 7) накотогые сведения из оиагьцион.
исчпслюшя 95 Таким образом, чнгобы получить значение орогинала лри 1= О, нужна взягль значение его изображения лри р = .о. Для получения второго соотношении заметим, что выражение (3.05) можно с помощью формул (3.01) представить после сокращения на р в виде: и — и (0) = " — - е — ь' бг'.
,) дг а Положив в этом равенстве р=О, получим: г' да (и1Ь =- ь — и (0) = ~ — бг = и (оо ) — и (0), ,),и откуда следует, что и (оо) = и (0). (3.11) Тавот образом, щлобы получить значение оригинала лри г= оо, надо взяьяь значение его изображения лри р = О. Справедливость формул (3.10) и (3.11) можно, в частности, проверить на рассмо~ренных ниже примерах (3.12)— (ЗЛ 5). 2. Изображения и оригиналы некоторых функций.
Ниже рассматриваются только те немногие примеры, которые нам понадобятся при решении задач этой и некоторых последующях глав. Рассыотрпы вначале два примера построения изображения по оригиналу. а) Изображение степени. Г!усть и=г", где и) — 1. Тогда по (3.01): и=р ) гье — ИЖ, ь Прп и .ь — 1 стоящий справа интеграл сходится и может быть выражен через гамма-функцшо Эйлера. По определеншо Г(л 4- 1) = ~ е "хл а'х.
ь Полагая здесь х=рг и сравнивая с предыдущим выражением, получим: ""+"-:(л ( > — П. (3. 12), рь 96 неяс1АиовившиесЯ течениЯ Вязкой нгидкости [гл, 1 (11 В частности, при и = — †, , так как Г ~ — =) п, будем 2 ' иметы УО, 1 (3.13) 1ЕГ .Наконец, если и — целое число, то (3.12) примет вид: п[ 911 (3.14) б) Изображение показательной' функции. Пусчь и,=е ', где а) О. Тогда пз (3.01) следует, что и=р ) е-Ш+Е1'аг'. Отсюда, вычисляя интеграл, найдем: — — ' е — аг 9+а [3.15) Аналогично можно получить изображения ряда друп1х функций.
Рассмотрим теперь два примера решения более сложной обратной задачи построения орип1нала по данному его изображению. Результаты, которые мы здесь получим, будут неоднократно использованы в дальнейшем. в) Оригинал дробной функции. Пусть изображение и некоторой функции и(1) есть лробнан илп мероморфная функция (т. е. однозначная функция, не имеющая ч плоскости р никаких особенностей, кроме полюсов '), представленная в виде отношения двух целых трансцендентных функций комплексного переменного р: Л (з) 1»(Р) (3.16) 1) Ом., например, В. И.
Смирнов, Курс высшей математики, т. П1. Гостехнздзт, 1939, стр. 443. Пусть при этом функция и имеет глолыго простые полюсы р», расположенные на отрицательной часьяи дейгтаи- 8 7) нгкотогык сведения пз опкглциоьп исчислкипя тельной от, т. е. пусть уз(р~)=0 (и=1, 2, ), где ) р3 ) )'з ) Точка р= 0 может при этом или быть тоже простым полюсом функции и (р) плп не быль пм, Найдем по данному изображению и(р) его оригинал и((), пользуясь формулой (3.02).
Для этого рассмотрим в плоскости р=ч+гт1 интеграл от функции — иеж по контуру ! р (ВСОВгОНА (фиг. 18). Тогда будет: иет' — = ~ лети — -1- ~ иет' --+ ~ иеж —, — — --+ ~ , ир г - ясир г - ир, и - ир слаб.ил1 <лв~ 1СОЕ1 1йо) так как интегралы вдоль ВС, ЕЕ и ОНА равны нулю '). Но сумма интегралов по АВ и ВО представляет собою как раз интеграл, стояитий в правой части (3.02), так как прямая АО лежит правее всех особых точек функции и(р).
Следовательно, будем пметсн и= —. ~ иеы — + ! Г -ыт!р Б Е Г =2к( ~ ' р б Л слп.. ил) -) — '.- ~ -з -"Р-=У,+Уз. (3А8) 1ВПС1 Перейдем к определению интегралов, стоянтих в правой части (3.1 8). По принятым условиям и имеет в. Фиг. 13. области АВ... НА только простые полюсы р„. Тогда, принииая во внимание (3.16) и пользуясь с) Послелнее утвержлсние будет справедливо, если можно указать такие постоянные велкчнйы зм С и Л (Л > 0), что прн р=уетт( — л(т(.) булес иьг Су л, когда р >уз. Доказательство этого положения см., например, в выше питнрованнои книге Х.
Карслоу н 1(. Егера, й 31. Легко проверить, что вс всех тех случаях, в которых мы бтдем в дальнейшем пользоваться окончательной формулой (3.22), зто условие зыпошшетсж 7 с. м тгяг пз нзтстлновппшиеся течения вязкой жидкости (гл. ш который сходится равномерно всюду, кроме окрестностей полюсов рзг Подставляя это значение и в первый из интегралов равенства (3.!8) и замечая, что 1 Р, Лр ет/ = еэл', 2и',~ р — р„ глл.'..Ол~ найдем: „', иь( (рй Для вычисления ./з разложим подинтегральную функпию в облзстп р=О в ряд Лорана. В случае, когда р=0 есть простой полюс функппи и(р), это разложение будет иметь вид: и — = 1- (р) + — '+ — '„, (3.20) и ' и ' и где 1. (р) — регулярная часть ряда.
Тогда, как известно из теории вычетов, будет: '~2 ' 1 (~)' В случае, если точка р=б не является пии (3.16), е' =0 и из (3.20) следует, что Л (и) д, =- [и)» — н = ' уз(0) ' полюсом функ- (3.21) Подставляя найденные значения /, и Ув в окончательно: , Р,:т'. (рь) (3.18), получим (3.22) В См., например, питнрозанвые ьыше книги В. И. С м и р н о за нли А. И. Л у р ь е. известной формулой разложения дробной функппи на элементарные дроби '), мы можем представить и в области ИВ...
Н( в виде ряда ч Л(зь) р и= „':~, рьу„(рь) Р— рь 71 некотОРыс саеденпн пз ОпеРлцион исчисления При этом следует пмечь в виду, что штрих в знаменателе Означает производную по р. Формула (3,22) и дает оригинал функции, пзображеьиез1 козорой является дробная функция (3.16), удовлетворяющая условиям (3.17), Вопрос о сходпмостп стоящей в правой ".асти суммы должен в каждом конкрегном слу юе рассматриьзться отдельно. ~) Оригинал многозначной функции.
Пусть изображением некоторой функции и(() является функппя и комплексного переменного р = ре'е, не имеющая в плоскости р никаких особенностей, кроме точки разветвления в начале координат '). Таким образом: ) =7(р), (3 23) где г' (ре'"-),' 7 (рсм+'-"'). В Г ).!айдем по данному изображеншо Г(р) его оригинал и(г). Обращаясь опять к формуле (3.02), перейдем в ней от интеграла в плоскости комплексного переменяого р к интегралу от функций действительно~о переменного.
Для этого ! Фиц !и рассмотрим интеграл от — у (р) еж по з' контуру АВСВГГОА (фиг, 19). Из условий, наложенных на у(р), следует, что в области, ограниченной названным контуром, подинтегральная функция никалих особенностей не имеет и, следовательно, рассм трпваемнй интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот ингеграл может быть разбит на интегралы по ОА, ЛВ, ВС, СНЕ, ЕГ и Г0. Интегралы по АВ и ГО, как отмечалось, ири выполнении соответствующих условий дают нуль, з интеграл по ОА представляет собой интеграл, стоящий в праной ') Точкой разветвления называется такая точка, прн оехоае зо- ЕРЮ соторой функция меняет свое значение. Р)апрнмер, у фунх- кз цнп м= а точка р = О есть гочка разве селения. Лейстлнтельно, если П=РЕ~',. ~о ери = — О Рз=г ', а ири .Р=за ы= — -=. е 7" неустдновившп!.ся !'а'!Ения вязкой !кпАкосги [Гл.
и! части (3.02). Принимая все зто но внимание, получим; = —,' ~ ~ у(р) "'-'-р+ 3-у(р)"' — "+ 1 -у(р) "" — "']. !св! !Рв! !гпс) (3.24) Перейдем к определению стоящих в правой частя интегралов. При интегрировании по СВ р изменяется от 0 до — оо. Введем здесь новое переменное а, полагая р=е'аа=.— аа или а=е т р р= — !'р р. (3.25) Тогда будет с!)! = — — 2ас!а, и замечая, что а вдоль СЬ изменяется от О до о, наидем: г'(р) ем . = 2 ~ г'е (а) е — '! —, !св! О где !'я(а) представляет собою значение у(р) на прямой СВ.
При интегрировании по ГЕ р изменяется от — сю до О. Перей
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
