С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 12
Текст из файла (страница 12)
а) Приближенные уравнения плоско-параллельного течения вязкого слоя. Рассяотрии установившееся плоско-параллельное теч нпе вязкой жидкости между двумя цилиндрическими поверхиостязш, сечения которых плоскостью, перпендикулярной образующим, показаны нв фиг. 12. При этом предполагаетси, что течение жидкости происходит б с. М. тврг бб ПРОСТЕЙШИЕ РСТЛНОВПВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЕ (гл. и 1 Ир дуг я дх' — Р=О; ду (2.38) —."+ — = О. дох дп„ дх ду (2.
38') Уравнение неразрывности (2.38') здесь сохраняется, так как входящие в него члены имеют олинаковый порядок малости '), б) Приблнжбнные уравнения течения в слое между по верх постами вра ще н и я, рассмотрим теперь течение вязкой жилкости в слое, заключбннолг межлу лвумя сооснылш поверхностями вращения, меридиональные сечения которых показаны на фиг. ! 3. Течение жидкости полагаем происходящим в меридиональном направлении, ') йслн течение не Сунет плоско-параллельным, то к (2.38) добалгп, 1 ду вгпся ещв олио уравнение дул я дх' в направлении, показанном на фиг.
1 2, и что расстояние Л между поверхностями малб по сравнению с величиной †, где (у — характерная скорость течения. и т-и Для изучения движения жидкости выберем ортогоиэльные криволинейные координаты х и у, причем коорлинату х будем отсчитывать вдоль одной пз направляющих АВ, а координаг> у по направлению нормали к ней. При этом ввиду малости /г кривизной координатных линий будем пренебрегагь и примем, что для течения в рассматриваемом вязком слое остаютсн справедливыми уравнения (1.46).
Так как течение является плоско- параллельным, то прежде всего отбросим в уравнениях (1.46) члены, содержащие О, н производные ио е. Далее, ввиду малости д будем считать, что составляющая скорости Т1 много МЕНЬШЕ Тг (О (<П,) И ЧтО, КРОМЕ ТОГО, ВСЛЕДСтнпв ПРИЛИПЭНИЯ жидкости к стенкам изменение О„в наиравэении оси Ох происходит гораздо медленнее, чем в направлении Оу, 1. е, что да„ до с Е у г дх - ду Тогда, отбрасыван в (1.46) члены с О и дп,/дх, как малые по сравнению с другими, и пренебрегая, как обычно, массовымп силами, получим следующие приближенные урэиненпя установившегося плоско-параллельного теченпя вязкого слоя; 8 6) пРивлиженные Решения 3АдАч Кроме того, будем считать, что поверхности, ограничиваю.
щие вязкий слой, не очень сильно отличаются от круглых цилиндров, а просвет Ь между ними попрежнему мал, Тогда течение между поверхностями будет мало отличаться от рассмотренного в п. ! 9 5 течения иежду соосными круглымп цилиндрами.
Выберем для изучения движения жидкости цилиндрические оси координат н направим ось Оя вдоль оси спгцуетрпи, а ось Ог по нормали к ней. Тогда, по аналогии с предыдущим, будет о,.<о, и дху„'да:фдо,(дг. Принимая теперь во внимание симметрию течения и пренебрегая в урзвненпях (!.47) члензмп с и, и дп„дд, а также массовыми силами, получим следующие приближенные уравнения установившегося течения вязкого слоя, ограниченного поверхностямп вращения: г уГР1, дг) И да дг — " у-==О. (2.3ед) дг уа Уравнения (2.38) и (2.39) не содержат инерционных членов и, сле- довательно, пригодны лишь для изу- Фну. 1Г ну.
11 ченин достаточно медленных течений вязкой среды. От аналогичных уравнений, рассматривавшихся в предыдущем параграфе онп отличаЮтся лишь тем, что Р них нет оснований считать велушины друдх или др(да постоянными. Это обстоятельство в каждом конкретном случае более или менее усложняет соответствууощие расчеты, но решение все же остается достаточно простым. Впервые уравнения вида (2.38) были применены Рейнольдсои ') к задачам о двууженуууу жидкости в смазочном слое. Задачи этом рода будут нами рассмотрены несколько подробнее в главе !У1!1, посвященной изложению основ гидродинамической теории смазки. '1 О. йеупоЫЗ, Р1П1.
Тгапв., !866. Ом. танке сгюрнпк Гидродина- мячесхая теория смазки, поз рея, акад. Л.С. Лейбензопа, ГТТ)л, 1934, пгостсйшпг. >стлновившисся течения [гл, п В дзнном параграфе, в начале (п. 2) дастся решение одной простейшей задачи, рассмотренной еще Рейнольдсом. На примере этого решения, результат которого используется в дэльнейшем, легко уяснить все особенности метода.
Остальная чэсть параграфа посвящена приложениям приближснных урэгнений (2.38) и (2.39) к решению некоторых новых механических задач. На возможность тэкого использовэнпя этих урэвнений указал проф. Н. А. Слезкин в работе, содер>кение которой изложено в п. 3. 2. Поджатне вязкого слоя, заключенного между двумя круглыми пластинами. Рассмотрим дзе олинэковые горизонтальные круглые плэстпны радиуса Я, расположенные пэраллельно лруг другу тэк, что линии их центров перпендикулярнз пласжаэм.
Пусть при этом нижняя плзстинэ неподвижна, з верхняя приближается к ней поступательно с постоянной скоростью 1с, сз<имэя ззкл>оченный между плзстинэмп слой вязкой среды. Р!вилем лгиженпе среды в слое и сопротивление, исиытывэемое верхней пластиной >), Для решения зздэчи выберем пилиндрическу>о систему координат, начало которой поместим в центре нижней плэстины, э ось Оз направим вертикэльно вверх. Течение между плзстинэми будет осесимметрично и будет несколько отли 1зться от тех, которые описывэк>тся уравнениязш (2.38) и (2,39).
Для получения приг>лиженных уравнений движения я данном случае обрэтимся непосредственно к системе (1.47). Полагэя, что течение в слое является в основном рэдиальным, будем до, . дс„ считзть, что о ~"о и что, кроме того, †' 'сс' — "-. дг '=. дз Тогда, принииэя во внимэние симметрию течения и пренебрегая массовыми силзми, полу'шм из (1.47) следующие приближенные урзвнегиш двикения: дзс' ! др дй (2.40) с>гу !Т дс ' с>з (2.41) Для установления грвничных условий введем рэсстоянне между сближающимися пластинами /г; заметим, что величине Уг '! О. Рейнольэсом бьы рзссмстрен более общий случзй, когда пляс>ины являются эллиптическими (см. выше и1п. сборник). пгивлижвнные Рвн!Гиня злллч $6! изменяется с течением времени, но не зависит от г. Тогда, обозначая дзвление нз внешнем крае плзстин через ра и считая его по толщине слоя постоянным, будем иметь в нашей задаче следующие грзничные условия; о„.= О; при г.==О при г=д при г = )т' (2.42) Р =ро.
Так кзк в первом пз урзннений (2.40) правая часть не зависит от г, то, интегрируя его ио г, найдем: о,=-,—, — ге+С,г+Сз. 1 др (2,43) Определяя С, п С, из условий (2.42) для о, и подставляя эти значения в (2.43), будем иметь: т =,— — (гз — Ы), 1 др ии дг (2,44) л л — ' д~ = — — ~ го д». ! (д(го,) ! д г) дг гдг о О Отсюда, умножая обе части равенства на ганг и интегрируя по г, найдим: го, дг= — 1'гз+ А, ! (2.43) 0 где А — постоянная интегрирования.
Подставляя в левую чзсть (2.45) значение о, нз (2А4) и вычисляя интеграл, получим: др би!г дг л' (2. 46) При этом здесь положено А=О, так кзк иначе мы полу чили бы в дальнейшем при г=О р= со. 11одставляя значе- Для нахождения др(дг обратимся к уравнению (2.41). Интегрируя обе части его по г в пределах от О ло д и используи при этом условия (2.42) для о„а тзкн<е то, по л не зависит от г, получим: игостейшие установившиеся течем!ш [гл, и 70 ние — из (2 46) в (2.44), найдйм окончательно о,(г, е) в виде: др г ('а а'~ С=ЗИ вЂ”,— — —,, «[««а,)' (2.47) Интегрируя теперь вырзжение (2.46) и используя условие (2А2) для р, найдйм следух>щий закон изменения давления вдоль радиуса: Р = ра+ «~ ()са — г ).
ЗРИ (2.48) Беря, наконец, от обеих час~ей (2.48) интеграл по площади всей пластины, получим для силы полного давления на верхнюю пластину значение 2«а (2.49) 1) Н. А. С л -' з к и и, Лсжл. Акад. наук СССР, т. Ы1, ."«, 184б. Таким образом, задача оказывается решенной до конца. Из полученных результатов, в частности, следует, что по мере сближения плзс- Р тин сопротивление дви- женшо растет обратно ь" ишншрцпонгшьно ~' ч 3. Качение тяже- лого цилиндра по Л плоскости, покрытой — — слоем вязкого веще— — ства.
Решение рзссгш- триваемой ниже зздачи -а з прннадлея ит, как уеаФиг. 14. зыззлось, проф. Н. А. Слезкину '). Рассмотрим круглый цилиндр (каток) длины Е радиуса Й и веса д, катящийся без скольжения с угловой скоростью га по горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества толщины Н (фиг. 14). Найдам величину потребной для кзчения цилиндра силы тяги О, Для решения зздачи применим, следуя Н.
А. Слезкину, к части вязкого слоя АВВЕ, находюцейся в данный м1чент $6) ПРИВЛИЖЕИНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ непосредственно под цилиндром, приближенные уравнения (2. 38). Выбирая осп координат так, как показано на чертеже и обозначая переменную толщину слоя под цилиндром через И, будем иметь: д = йя+ Й вЂ” ) ~гса — ха, (2. 50) где (га — толщина слоя при х=О. Обозначая далее збсциссы точек А и В через — а и д и полагая, что мгновенная ось вращения цилиндра проходит через точку К (О, ла), примем для рассматриваемой задачи следующие граничные условия: прн у=О с =О, (2.51) о =О, при у=п при х — а н х — д(Ос уч.)г) р прн х= — а (0(ус. Ь) д — „=О ) Условия (2.51) являются известньгяи условиямп прилипания.
Первое из условий (2.52) означает, что давление вне объема поджатой части вязкого слоя полагается постоянным. Наконец, последнее условие принято для того, чтобы избежать отрицательных давлений в слое АВВЕ вблизи границы АВ. Переходим к интегрированию системы (2,38) при условиях (2.51) и (2.52). Общее решение уравнения (2.38) имеет впд: , =г1'а+Ау+В 1 др (2.53) где А н  — некоторые функции от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
