С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доказательство ч)х этого замечательного положения моасно найти, например, в р у.,» " Р' книге Н, Е. Кочина, И. А. Кпбель, Н. В. Розе «Теоретид ческая гидроыеханнка», ч. 1, у ГТТИ, 1948. 3. Уравнения движения в прямоугольной системе координат. Рассмотрим в движущейся жилкости некоторую -точку М с кооодинзтами х,у, з и выделим вблизи точки М элементарную х,идкую частицу в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами Ьх, Ьу, Ьз (фиг, 6). Пусть напряжения поверхностных сил на гранях, проходящих через точку М, будут Р„, Рю Рн а на соответственных пм параллельных гранях: Р„, р „Р, (на фиг. 6 показаны лишь векторы Р, Р,), Прн 1 этом, считая напряжения функциями координат точки и принимая во вннманяе направления напряжений на гранях, будем с точностью ло малых высшего порялка пметги Рх — Р~+ д " и с1 Рл = Рг+ д ~ бу 11. 26) )э» = —,о + — йз.
дР д» Далее, будем полагать, что для каждой частицы имеет место основное уравнение динамики: произведение массы частицы на ее ускорение равно геометрической сумме приложенных спл. Тогда, обозначая силу, действующую на единицу массы частицы, через Р, а ускорение частицы через яи. будем 8 2) урхвнвния в компонентах нлпряжвний зз иметь: рм! Ьх Ьу Ьг =ррбх пу па+(Р«+Р«) пу оа+ + (р + р ) Ьг Ьх + (р, + р,) Лх Лу.
Заменяя здесь р„, р„, р, их значениями из (1.26), леля на р йх пу Ьг и перехоля к пределу, стягивая параллелепипед в точку, найлем окончательно следующее уравнение лвижения жнлкости в векторной форме: тп р+ «+ '+ «(! 27) ! Г дрк др« др« р 1 дх ду д« ) ' Если спроектировать обе части уравнения (1.27) на оси координат и представить одновременно компоненты напряжений в виде (1.24), то мы придем к следующим уравнениям движения жидкой срелы в компонентах напряжений: дР ! ' дт«« ~ дг«у д'««т тд ==à — — — + — !1 — ' — "+ — '+ — "*), 1 « « р дх р ), дх ду да у р ду р 1 дх ду д« / ' еа =р — — — + — ~ — '*а+ ---+ — *) .
) ! дР 1 /д;,„д| д« р дз р (, дх ду д« ) (1.28) !) Если лля рассматриваемой жндкой частицы (фиг. 6.) составить уравнения моментов, то онн лалут только уже использованные нами условия парностн касательных напряжений (!.20). 3 с. М. тазг Заметим, что (1.28) представляют собою уравнения двв. жения любой однородной и непрерывной леформируемой среды в прямоугольной системе координат.
В втих трех уравнениях содержится 9 неизвестных величин: 6 колшонент напряжений и 3 компоненты ускорения '). Чтобы сделать зту систему полной, необходимо обратиться к рассмотрению физических свойств изучаемой среды и исходя из них установить связь межлу компонентами напряжений и величинами, характеризующими леформзцию среды. Для несжимаемой вязкой жидкости зта связь и булет нами установлена в следующем параграфе. 4.
Уравнения в системе цилиндрических и сферических координат. При решении ряда конкретных залач бывает удобно пользоваться криволинейнысш ортогональными )гл. з хглвнения движения вяакой жидкости системами координат, в частности системой цилиндрических или сферических координат. Приведем для этих двух систем, опуская выкладки, окончательный внд уравнений движения вязкой жидкости в компонентах напряжений в форме, аналопшной (1.28). 1(илиндрические координаты г, р, я (фнг. 7) связзны с прямоугольныаш лекартовымп координатами соотношениями; ж=гсозр, у=гз(пу, г=г.
Компоненты напряжений в этой системе координат, по аналогии с предыдущим, будем обозначатги Ргг Р+ 'гг Рчт Р+т тл Ры Р+~ын) (1 2о) Р, =', Р,, = т.„Р„= тгм где первая Строка содержит нормальные, а вторая — касательные напряжения. Фиг. 7. Фиг. 3. Тогда в цилиндрической системе координат уравнения движения в компонентах напряжений будут иметь вид: др 1 удт 1 д|т дг . =Р— — — + — ( — "+ — — + — '™+ — ) 1 р дг р (, дг г др да г та,,=Є— — — + — ( — + — + — +2 — ) ~ (1.30) 1 да 1 Удгг (дт.
дт, т, ~ ргдр р ( дг г др да г)' да+р(,дг+г де+ д + г,) Сферические координаты г, м, 0 (фнг. 8) связаны с прямоугольными декартовыми соотношениями: к=гз(п 0 соя рр у=ггйп 0 51п ю, я= г сов и. 35 УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ Компоненты напряжений в этой системе координат будут обозначаться так же, как в (1.29), с той лишь разницей, что всюду вместо индекса я будет стоять индекс (!. В сферической системе координат уравнения движения в компонентах напрялгенпй будут иметь вид; ! др си =г' — — — + д.
1 Гдг„1 дтО, 1 дгго 2-,„— х, — ты+таге!я О') + — ~ — ""+ — '+ — —."+ " р 'Г дг г да гз!п0 дг г 1 др гз„= г„—, — + Ог $1п 0 ду 1 др тда — г Π— — — — 1- ! Гд|0, 1 дтю» ! д' о (ТОΠ— тч )с1ЯО+Зтаг1 ° Р (дг г дО гз|пО дз й 3. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в компонентах скорости. 1. Скорость и ускорение жидкой частицы.
Мы будем при изучении движения жидкости следовать методу Эйлера, т. е. рассматривать изменения скорости и давления в некоторой точке пространства, занятого двигкущейся жидкостью. Тогда скорость о каждой хи!якой частицы будет зависеть от того, в какой момент времени мы эту частицу рассматриваем и в какой точке пространства часпща в этот момент находится, т. е. и = в (я, у, г, 1). Если рзспределение скоростей в прострзнстве, занятом движущейся жидкостью, с течением времени не изменяется, то такое движение будем называть устанозившижся или стационарным.
В этом случае о=в(х, у, я). Проекшш вектора и на прямоугольные оси координат будем обозначать в., о, о . г гг Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частицы, находящейся в этой точке, называютсн линияжи тока н играют большую роль при изучении течений жидкости. Подробное исследование характера н свойств этих линий содержится в ма~истерской йь )гл. углаиьипя дВижещ1я ВязкОЙ жидкости диссертации Н. Е.
)К)ковского '). Там же дан полный аналиа движеш1я жидкой частицы. Ускорение жидкой частицы че определяется как полная производная от вектора скорости е частицы по времени. яе = — . При этом изменение де вектора скорости за время дт ' Ф происходит, во-первых, зл счет изменения скорости жидю1й частицы в данной точке пространства ! Вто изменение раино де — г!! и при установившемся лвиженип обращается В нул1, ) и, во-вторых, за счЕт того, что жидкая частица перемещается за это время в другую точку пространства, где оиа должна иметь в общем случае другую скорость.
Ввиду этого бузеи иметьс де дедх 1 деду деда + + дг ' дх дГ +ду дТ ' дх 111 11Х Илп, принимая во внимание, что — =е, и т. д., дг Из (! 32) следует, что се представляет собою в общем случае также функцию координат точки . времени. 2. Уравнение неразрывности. Устзновлениый гениальныч русским ученыи М. В. Ломоносовыи закон сохранения вещества позволяет получить уравнение, которому ирп движенпп любой непрерывной среды должны удовлетворять комгюнеиты скоростей ее юстиц.
Найдем это уравнение для случая иесжпизеиой жидкости. В пространщве, занятом текущей жидкостью, возьмем произвольную точки К с координатами х, у, г. Построим вблнзи этой точки элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами, равными цх, Ьу, йх и параллельными осям координат [фпг. 9). Тогда за промел1уток времени Ы через задн1ою, перпендикулярную оси Ох грань втечет количество жидкости, равное ре„Ьу Ьх ЬГ, На передней грани скорость 1) Н. Е. Жу ковский, Кинематика жалкого тела.
Матем. сб., т. 2111, 1876 или Поли. собр, соч., т. 11, ОНТИ, 1935. ~ 3) УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ 31 !'!'.! течения будет равна о' = ех+ —.-' Ьх и через нее за тот же промежуток вытечет количество жидкости дп, р О + — 'Ьх) дуба. Следовательно, суммарное количество дх жидкости, вытекаю!Иее из параллслешшеда за время 1! н на- дих правлении оси Ох, будет: р — хбх й!~ йг. Аналогии!!ые ныра- дк жения получатся для количеств кпдкостп, вьыекающпх в направлениях осей Оу и Ох. Так как жидкость несжимаема, то х нз основании закона сохранения ада всществз количество втекшей в параллелепипед жидкости дол- ах ду жно равняться количеству вы!'еки>ей, п следовательно, сумма определанных выше величин д должна быть равнз нулю, откуда полу~им: уравнение (1.33) называют ду!авнгние,н неразрывности для несжимаемой жидкости в прямоугольных координатах.
Выражение уравнения неразрывности в цилиндрических и сферических координатах приведено ниже в и. 5. 3. Деформация жидкой частицы. Компоненты скоростей деформации. Пусть какая-нибудь жидкая частила перемещается вместе со всей жидкостью относительно системы осей Охуг. Рассмотрим две очень близкие друг к другу точки этой частицы: точку Л с координатами х, у, г и точку Л, с координатзми х+;, у+ У!, х+,", где с = .)х, г! = 1 у,;", = да. (1.34) Скоросп! эпгх точек в данный момент Г назовгм соотвегственно о=о(х, у, «) я о! =п(х+с,у+У!, а+ч).
Тогда, с точностью до малых величин высшего порядка, будем иметь; де ° де д ЬФ == о! — Ф= —. + — й+ —,. (1.35) зв хеввньния движения вязкой жидкости (гл. Введем обозна щния: (1.38) и, кроме того, 1 ~во» до,') 1 Где„ до,, !де ое) " 2 ~дв д») У' (! .36') Тогда проекции равенства (1.35) нз оси координа~ после несложных преобрззоваипй можно представить в виде: йо,=(ы ч — гает))+(а„„'-+в„~8+в„»ч)=йт~" +Лэ„', ) Полученные равенства устанавливают, что равность Ьо скоростей двух соседних точек жидкой частицы складывается пч приращения скорости бо", обусловленного поворотом частицы, как твярдого телз, вокруг точки А с угловой скоростью ы и из приращение скорости Ьо', обусловленного деформзцией жидкой частицы. При этом, кзк видно из (!.37), б '»=(».с-+=-ввг,-~-=-в,."), Ь,'=-(=э„-.+-',, +';.~), '1 1(1.38) ~".'- = (-'».8+ з.,1+ з--") Величина йо' и определяет сяорость движения жидной часхвииьп обусловленную десборлсаг1ией этой аистины в данный момент.
Если рассмотреть две точки Л и А,, лежащие на прямой, параллельной оси Ох, то, полагая в (1.38) г! — , "— — О и принимая во внимзние обозначения (1.34), получим, что в этом случае зо, ог А» уРАВнения В компонентах ОНОРости Аналогичные Выражения получатся дли точек, лежзщпх на прячых, параллельных двум другим осям. Отсюда можно ЗаКЛЮЧитЬ, ЧтО ВЕЛИ ЩНЫ Еьо З, аее ХаРИКтЕРИЗУЮт САОРО- сгни относьнлельиых удлини™ний Асидкой частицы в направлении соответствующих осей координат, а адю а ., а, — сл.оел рости о1лносиглельлгях гдзигоа в плоскостях, перпендикулярных этим осям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
