С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Однако отсю;ш не слсдус~ обратный вывод о том, что при К ) 1100 течение в трубе будет всегда турбулентным; если принять соответствующие меры, а именно, дать жидкости предварительно хорошо отстояться, плавно ззкруглить выход из резервуара в трубу, предохранить саму трубу от возможных случайных сотрясений и т. и., то мол<но наблюдать лзминарный режим течения в трубе и пря числах 1х, рваных нескольким десяткам тысяч. Вопрос о существовании герхнего крипшеского числа г'ч'и, т. е. валкого, что при гс ) Я'в течение при любых условиях будет завеломо турбулентным, остается открытым.
Вероятнее всего, что такого числа нет, т. е. что при все более тщательном устраиешш возмущений можно получить ламинарное течение при любом гс. Мы в дальнейшем будем рассматривать только задачи о ламинарных течениях вязкой жидкости. Эти задачи имеют практическое зкзчение ие только при изучении движений с малыми числами К, таких, например, как медленные течения в цилиндрических или конических трубах или в смазочном слое.
При внешнем обтекании тел малозязкивш жидкостямп 1воздух, вода) влияние вязкости сказывается лишь в очень тонком, непосредственно примыкающем к обтекаемой поверхности слое, называемом пограничным слоем. Многочисленные экспериментальные исследования на молелях и в натуре показывают, что течение в пограничном слое остается ламинарным прн достаточно больших значениях $2) уРАВненпя В компоненгАх нАНРяжений 27 числа )т.
Тэк, например, по утверждению Л. Прандтля ') наблюдения нзл движением хорошо заостренных пластинок в воде показали, что течение около ннх может оставаться ламинэрным при значениях (к=И/у (где г' — длинэ пластины), доходящих до 500 000, э при обдувке пластины с хорошо закругленным передним крэел| в аэролинамической трубе лэминарный режим наблюдался даже при гг =3 000 000. Заметим, наконец, что течение в некоторых областях вблизи поверхности обтекаемого тела продолжает оставаться лампнарным п в тех случаях, когда общий режим течение становится турбулентным (ламинэрный подслой), Таким обрэзом, решение целого ряда практически важныт гилро- п аэромеханнческих задач связано с изучением именно ламинэрных течений вязкой жидкости.
ф 2. Уравнения движения вязкой жидкости в компонентах напряжений. 1. Силы, действующие на жидкую частицу. При изучении двинсения непрерывной жидкой срелы исходят из рассмотрения движения вылеленной в данной среде произвольной жидкой частицы; при этом предполагается, что результат исследования не зависит от того, какую именно геометрическую форму будет иметь вылеленнэя чтстицэ. Силы, действующие на выделенную в среде жилкую частицу, нокно рдзделить нэ дшгговме или объемные и еоеерхнгкгггнме.
Л4агговыдги называются внешние силы, лействующпе нэ все часпгцы данного обьймэ жидкосмь Примерами таких сил могут служить сила тяжести пли центробеэкная сила, действующая нэ частицы жидкости, заключенной во вращающемся сосуде. В гилромеханике массовые силы характеризуют вектором Р, величинз которого равна отношению силы, действующей нэ ланную частицу, к массе этой частицы. Например, в случае, когда действунищей силой является сила тяжести, будет ге= у, где а. — ускорение силы тяжести. Размерность Г совпэдает с размерностью ускорения: ('ге) = л,'гед.а.
(1.1 4) ') Л. Прзндтдь, Гндроаэромеханнка. Изд. нностр. днт. 1949, стр. 143. кгхсиения двилгения ВязкОЙ жидкости Проекции вели шиы Г на оси прямоуголькой системы координат будем соотвегственно обозначать через е', гч и Г,. Ооверлноеглные силы представляют собой результат действия на выделенную жидкую частицу окружающей ее жидкости и приложены к элементам поверхности, ограничивающей объем жидкой частицы. Поверхностные силы характеризуются вектором р„, называемым напряжением поверхностной силы, величина которого равна Отно~иению силы, действую:цей на элемент поверхности с нормалью и, к Величине площади этого элемента. Размерность р„ будет: [р„[ = кг[мг 11.15) Следует обратить внимание на различный смысл индексов в выражениях р, и рл. Величина г" означает проекцию век|ора г" на ось Ол; выРажение же Рл означает вектОР, дейстВУюший иа злеменг плоиыли с нормалью л, йрнчем направление рл иообше не совиалает с направлением л.
Если провести через вектор р„ и нормаль и плоскость, то в этой плоскости можно вектор р разложить на две со- в ставляюшне: одну, направленную вдоль и, и другук, ей перр„. пендикулярную и лежащую в касательной плоскости, Величпр ны этих составляющих будем обозначать рлл и ргн и называть соотнетственно норма их) ) ны.и и каеательпым налрлдкенилма на элементарной площалке с нормалью л (фиг, 3). Касательное напряжение рги и Фиг.
3. представляет собой для данного элемента то напряжение силы Внутреннего трения, которое лля простейшего случая было определено в и. 3 В 1. Если и движущейся жидкости пренебречь наличием вязк юли, то мы придем к иокятию о невязкой или так называемой идезльной жидкости. В идеальной жидкости рги == О и напряжение на любой элементарной площадке будет напраВлено ВЛОль нормали Внутрь Выделенного Объбыа жидкости, Это нормальное напряжение называется давлением в данной точке 29 уяавнвния в компонентах напгяжений 9 2) идеальной жидкости.
Легко показзть, что давление в па ннпй точке идеальной жидкости не зависит от направления той гшощадки, на которую оно действует. Для этого выделим элементарную частшгу в форме призмы с основанием ЛВС и высотою, рваной единщье 1фиг. 4) и обозначим лзвления на ее бокоеых у ~рзнях через )яп рз и )та Тогда, составляя ураьн ния движения частицы в проекциях на оси координат и переходя к пределу, убелимся, что (1.16) гил ) +спи' р (1.17) (1.18) где р есть функция только координат данной точки и времени, 11елпчины т„„и т„, характеризуют при этом ту часть напряжения, которая определяется наличием вязкости, и зависят не только от х, у, з и г, но и от направления илшцадки в кзжлой данной точке.
С исчезновением ввзкости величины т и 'л» тьч обращаются в нули, а р принимает значение давления в идеальной жидкости. В самом деле, заметим, что дей- ~утс ствующие на частицу массовые силы и силы инерции при пере- Фиг. 4. ходе к прелелу, т. е. при приближении площадки ВС к точке Л, дадут нуль, так как онп пропорциональны кубу линейного элемента.
Для спл же дзвления уравнение в проекции на координатную ось Сьт даст В, ° ЛС вЂ” В, ° СВ соз а = О, откупа р, =В . Аналогично получим рз =рз, чем и доказываются равенства (1.16). Тзким образом, давление в идеальной жидкости есть функция только коорлинат точки и времени: у =р (х, у, ', 1). Аналогичный результзт будет, очевидно, иметь место и для гидростатического давления в покоящейся вязкой жидкости. Для движущейся вязкой жидкости можно также ввести понятие о лавлении р в данной точке, если допустить, что нормальное и касательное напряжения на любой площадке с внешней нормзльк> л можно представить в виде: )гл. ! !'Рлвнения дини!гния ВязкОЙ жидкости 2. Напряжение на ко ой площадке. Компоненты напряжений.
Пусть положение жидких истиц определяется по о~ношению к некоторой прямоугольной системе координат ') Охуг. Выделим в жидкосп! элементарную частицу в виде тетраэдра АВСО, три грани которого перпендикулярны направлениям координатных осей, а четвертая ВСО с нормалью ив наклонна (фиг. 5); эту ~рань ' 'Г К а будем называть в дальнейшем наклонной илн косой /'- Р„ Р площалкой. Обозначим напряжения на площадках, перпендикулярных осям координат, Л соответственно через Р, Рл р,.
Проектируя этц векторы на осн координат, получим У следующие девять величин: р,.', р„, ркм (1АВ) Рт Реи Рта Здесь, н соответствии с принятыми обозначениями, р,„— проекция р„иа ось Ох, р — на ось Оу н т. д. Заметим, кроме того, что р,„, )! !! Рм представлянгт собою нормаль. ные напряжения на площадках, перпендикулярных соответствующим осям координат, а остальные шесть членов, содержащиеся в табличке (1.19) — касательные напряжения на тех же пло. щадках; при этом по закону парности касательных напряжений имеем: Фвг.
б Величины, входящие в табличку (1.19), называются лол!аонеатами маари.всеми!1 в данной точке жидкости. При заданных направлениях осей координат они будут функциями только х, у, г и С Так как силы, действующие на частицу АВСО, должны удовлетворять уравнениям движения этой частицы, то напряг] Мы всюду будем пользоваться !олька арлиоугогьам.на декартоамлги осями координат н в дальнейшем ингле это обстоятельство специально оговаривать не будем.
ф 2! углененпя В компонентАх нлпгязгений 3! жение р„на косой площадке ВС(г может быть выражено через компоненты напряжений (1.19). Нормаль л к площадке ВС!г образует с осями координат углы, косинусы которых обозначим соответственно через а, 3, Т, где а = соз(л, х), гг = соя (гц у), Т = сов (л, е). (1.21) Тогда, составляя уравнения движения частицы АВСОв проекциях на оси координат и принигюя во внимание, что при переходе к пределу, т, е.
Ири приближении площадки ВСЕ> к точке А, члены уравнения, содержащие массовые силы и силы инерции, дадут нули, получим: Р„г=р „а+Р„Р~~+р„,Т, (!.22) тле Р„, Рею Р„г — пРоекции напРЯжениа Р„иа осп кооРлпнзт. Из (1.22) вилно, что заданием компонент напряжений опрелеляется напряженное состояние в данной точке, т. е. напряжение на любой, проходящей через эту точку площадке. Проектируя р„на нормаль л к плоецадке ВСО, получим, зна ~ение норлга.гьного наярллсенил на косой площадке Рл„=Р„га+Р„~~+Рь Т Подставляя сюда значении проекций р„из (!.22), нзйдлм окончательно: р„„=(г„,а'+р рз+р, у'+2р„ар+2Р,37+2 р„,уа.
(1.23) Заметим, что ио аналогии с (1.17) компоненты напряжений можно представить в виде: Р г= Р+тхгг Руу Р+туу Ргг Р+ гг ~ (! 24) Р. =т и Ъ Аг .гу' Руг туг' г гг 'гг' Тогла из (1.23), используя (!.17) и (1.24) и пршшмая во внимание, что аг+рз+Тг=1, получим след>ющее выражение для той части нормального напряжения т„„, которан оирелеляется наличием сил вязкости; т„,=т „ах+ т (гг+т Та+ 2т~а3+2т~,~Т+2т„уа.
(1.25р )гл. в гелвнвния движения вязкой жидкости Кроме составляющей р„„, вектор р„будет в общем случае иметь еше п касательнУю составлЯюЩУю Р„п величинУ .которой можно определить из очевидного равенства 2 ~ 2 2 ~ х РнГ т Рнн =Рпх т РЛХ ГР В заключение отметим, что в каждой точке жидкой среды существуют трн таких взаимно перпендикулярных площадки, на каждой из которых действуют только нормальные напря- женая, а касательные напряжел ния равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
