С.М. Тарг - Основные задачи теории ламинарных течений (1132350), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2. Уравнения плоско-параллельного течения в пограничном слое. Рассмотрим плоско-пзраллельное течение вязкой акидкости, обтекзющей некоторое цилиндрическое тело, 10] УРАВггенгга движении В Г10ГРАнпчноы слое !зз Буделг в дальнейшем сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной образугощим, называть обтекаемым монтууолп Выберелг следующую ортогональнуго систему криволинейных координат: координату х будем отсчитывать от передней критической точки (точки, где 1»'= О) вдоль самого обтекаемого контура, координату у в по нзправленпю нормали к контуру в каждой его точке, с штая у = 0 на поверхности контура (см, фиг. 23). Если толщина пограничного слоя д булет малз по сравнению с радиусом кривизны контура, то при изучении течения в пограничном слое можно будет пренебречь кривизной координатных линий у = соиз( и рассматривать выбранные изми координаты кзк прямолинейные.
Тогда, пренебрегая, как обычно, массовыми силами, получим из (1 46) для течения в ггограничном слое следующие уравнения движения: др«1 др ! дго«д2о +Π— "= — — — +У ( —."+ — ) (4.04) У ду рдх (,дхг дуг )' де«д".» — -(- —" = о. дх ду (4.04') д"2 до» «+ дт «дх. де» деу у дс ' "' дх дго«гуг 22 дгв«(22 дхг ! Гг 2 дуг Аналогично найдйм, что все члены, стоящие в левой части Цг л второго нз уравнений (4.04), имеют порядок — — а для 1 Произведем оценку порядка входящих в эт~ уравнения членов, считая, как в и. 1, что порядок В мал и определяется формулой (4.02) и что о„(), х =1, у 3 и 1-- —, При 1 (2, этих условиях уравнение (4.04') дает, что о = — в.
Кролле » Е! того, пз (4.02) имеем, что У вЂ” ог. Тогда, кзк легко видеть, все слагаемые, стоян!не в левой части первого из уравнений (»2 (4.04), будут иметь порядок —, а для членов, стоящих справа, получим: гз4 устАновггвШЕЕСЯ ТЕЧЬНг!Е В ПОГРАНИЧнОм СЛОе [Гл, гч членов, стоящих справа, будем иметь: дзиу (г'з Зз дзот (Гг ь дхз г Рг дуз Из сделанных оценок следует, что в пограничном слое др Ю др сг'з о дх г ' ду т. е. что изменение язвления по направлению нормали к слою мзлб по сравнению с переиздан давления вдоль слоя. Тогда второе из уравнений (4.04) примет в первом приближении вид: др — = О.
у (4,05) (4.06) дх ду Уравнения (4.06) и представляют собою уравнении плоскопзраллельного движения вязкой жидкости в пограничном слое, предложенные Л. Прзндтлем. Как следует пз (4.05), значение — — в (4.06) можно зад,о менить значением на внешней границе пограничного слоя, г(о до„ нз внешней грзнице слоя о =(л, а член о — ' пренебреУ ду жима мзл ввиду мзлости обоих сомножителей; кроме того, на внешней границе, где поток переходит в потенциальный, мо- Отсюда пряходим к основному допущению теории погранич- ного слою дав,гение в пограничном слое не изменяется ло направлению нормали м обгаеиаслгому яонгиуру и, следова- тельно, распределение давлений во всвлг слое будет тем, мо- торов имеет меспго во внешнем логлоив на верхней границе пограничного слоя, Отбрасывая теперь второе из уравнений (4.04), кзк уже нспочьзоезнное, и пренебрегая в первом из этих уравнений ' из;, из членом порядка —" по сравнению с —, придем к следующей гз системе; 9 10) тглвнзния движзния в поггльпчном слов 1Зб жно пренебречь влиянием вязкости и, следовательно, членом т — „".
Тогда из (4.06) получим. дао„ дуз ' 1 др дУ дУ вЂ” — — = — -+ (7— (4,07) р дх дт дх пли в случае установившегося течения. ! др ЖУ вЂ” — — =и —. р дх дх' (4. 07') Последний результат непосредственно следует из интеграла Бернулли лля течения во внешнем потоке. Подставляя значение — из (4.07) в (4.06), получим уравдр дх пения движения в пограничном слое в виде: до„до„до„дУ дУ дзо„ вЂ” "+о — "+ о — "= — +У вЂ” +з — ", (4.081 дт " дх У ду дГ дх дуа ' (4. 08') где штрих означает производную по х. В заключение оценим погрешность, допущенную нами ири пренебрежении в уравнениях (4.04) кривизной контура. Это пренебрежение скажется, очевидно, на величине левой части второго из уравнений, которая представляет собою го, т. е.
У' проекцию ускорения жидких частиц на ось Оу. Так как ось Оу совпадает с нормалью к контуру, то, пренебрегая кривизной, мы фзктически пренебреглп в ш нормальной 2 у ок составляющей ускорения, равной — — где Й вЂ” радиус крп- 77 впзны контура. Если принять во внимание, что эта состав()а ляющая имеет порядок —, то прп ее учете второе из урав(Р д пений (4.04) после отбрасывания членов порядка — — нместо Р М Наконец, в случае установившихся течений, которые будут рассматриваться в данной ~лаве, будем иметь: дог до„ , дзо,. (4. 09) до до, (4.
09') 136 хстхновившвнся течение в и> г лничном слое (гл, >к (4.05) даст: 2 ар дд >с ' (4. 10) Если в данном сечен>ш сечению знзчениями о' 0 до э, получим; Р, слоя ззменить о„п >г их среды>ьп~ по и (х'", то, интегрируя (4,10) по у от (4.1 1) Отсюда вновь следует, что если только толщинз погрзнпчного слоя 8 мала по сравнению с рздиусом кривизны об текземого контура, то изменением дзвления в нзпрзвлении нор>шлп к контуру мол>но действительно пренебречь и полата>ь, кзк мы это и делали, что давление в слое рзспределено так же, кзк и на грзнице внешнего потеицизльного потока.
Тзкиз> образом, решение задзч теории пограничного слоя сгодится к определению с помощью урзвнений (4,08) или (4.09) закона распределения скоростей в слое, удовлетворяющего соответству>ощип граничным и нзчзльным услогиям. Проблема эта оказывается в достаточной мере слом>ной, так кзк нзшшнные урзвнения не>шнейны, 3. Интегральные соотношения. Мзтемзтпческие трудности, с которыми приходится стзлкивзться при попытках непосредствен>ш интегрировать уравнения течения мшдкости в пограничном слое, побуждаот искать какие-нибудь другие, пусть менее точные, но более простые пути решения этой задачи. При этом естественно обратиться к методу, которым пользуются в теоретической мехзиике, когда вместо того, чтобы пытаться интегрировать дифференциальные урзвненпя двилсения отдельных точек системы, переходят к рассмотрению некоторых выте>сзк>щих из этих уравнений интегрзльных соотношений, называемых общими теоремами диизмики.
Лизлогичиые интегральные соотношения могут быть получены и из урзвнений (4,06). Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая устзновившегося течения, тзк как только в этом случае соответствующими интегральными соотношениями обычно и пользуются. Лля получения искомых соотношений умножим обе чести урзвнения (4.09) нз э' и проинтегрируем по у в пределах 10) УРАВнениЯ дВН кениЯ В ИОГРАничнО«1 слОе 137 от 0 до о, где о — толщина пограничного слоя. Тогда, прпнимзя во внимание, что и не зависит от у, полу'спм: ь » до ~', с/»к, ', Г «до». ,. оо доо «+»до +~' о,.со »к В„у и(„' /, ~,„Г «до»„ кок-)У«дг-„к-,)кдкк о о Преобразуем входящие в полученные соотношения интегралы, обозначая пх лля сокращения записей последовательно через ./„Уз, ./ь и ./ь; предыдущее рзвенство принимает при этом вид; у, -~-./о = ии уо — гс- оу,.
Одновременно во всех последующих преоорззова>шях будем принимать во внимание правило дифференцирования интеграла по параметру и граничные условия: при у= — 0 И„=О, тс.=О; пр у.=д о,=и, — „==О. до к д ' ) (4. 12) с, 1 до«+ о 1 д Г ... //««о с/з -' с/" " /с+2 с/х ' о )Залег, интегрируя по частям и принимая во внимание уравнение (4.09'), нзйдйм: У'ь = — — (и ).;, — — 1 о«+ ' —.Р с/у = 1 Г, д»сся УР=Ь а(1д х ду о 1/« 1 = —.,-(") =ь )-., 1' Лля определения значения о при у= о проинтегрирувм уравнение (4.09') по у в пределзх от 0 до д.
Тогда получим: ь Гдох д Г да (о )у — ь= — ) —.хду= — — 1 о с/у(-и —, )сх -= дх3 х да' о о Первые пз этих ссловпй означасот, что нхпдкость прилипает к обтекаемой стенке, а поелвдниЕ прпблпгкйнно определякст верхнюсо границу пограничного слоя как такую, на которой скорость практически равна скорости внешнего потенциального потока, а трение обращается в нуль. Тогдз будем иметь: 1О) уРАВнения дВижения В погРАни'!ном слое 139 путем применения к пограничному слою теоремы количества движения Почагая, далее, в (4,13) А=!, найдем; д ~пк ()т д д. д г — ~ — ду — — ~ ду= 2 дк,< о о ь =ии 1О У вЂ” У)(д"''')"дг, (4.15) о Интегральное соотношение (4.15), соответствующее тео- реме об изменении энергии, было дано акад.
Л, С. Лейбен- зоном '), Полученные здесь интегрзльные соотношения являются, строго говоря, приближенными, так каь при их выводе мы пользовались приближенными по своему суц<еству граничными услониями (4.12). В действительности такой резко очерченной внешней границы слоя, иа которой имело бы место последнее из условий (4.12), в жидкости, конечно, нет н переход к скорости потенш<ального потока носит асимптотический харак- тер. Однако практически мы всегда можем ввести понятие о пограничном слое конечной толщиНы, понимая под о то расстояние от стенки, на котором скорость течения будет отличаться от скорости во внешнем потоке, например, на 1о/о или нз 0,5о)о в зависимости от треоу<ощейся точности расчета.
Таким обрззом, и граничные условия (4.12) и полученные с их помощью интегральные соотношения будут иметь совер- шенно конкретный реальный смысл. Как мы увидим в дзльнейшсм, прп непосредственном интегрировании уравнений (4.09) обычно не пользуются поня- тием о слое коне<ной толщины, а ползгаот, что скорость и достигается асиьштотически при у ОО, т. е. что 3 = ОО. Чтобы иметь возможность оценить в этом случае прзктичсски толщину пограничного слоя, вводят понятие о так называемой толщине вытеснения о*, опредсляемой рзвенством (4.16) <) Л. С.
Лейде на он, Энергетическая форма интегралы<ого условна в теории пограничного слоя. Труды ЦАГИ, выи. 240, 1933. 140 устАнОВПВшееся течение В ИО1РАничноы слОе 1гл. ш Величина Ва характеризует смещение линий тока от поверхности Обтекаемого тела, вызванное наличием пограничного слов. В случае обтекания пластинки ью'кно, как будет показано ниже, считать приближенно В= ЗВ". Такой оценкой толщины пограничиого слоя пользуются иногда и прп обтекании криволинейного контура. Если наряду с ВВ ввести еще линейную величииу ри (и „)„, р ивд х й (4.17) называемую «толщиной потери И11пульсал, то соотношение (4.14) монсно преобразовать к соотношению, которое было указано Л. Праидтлем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
