Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 44
Текст из файла (страница 44)
На рис. 9.5 изображены те же кривые, что и на рис. 9.3, перестроенные в новых координатах. Как и в предыдущем случае, поведение этих кривых более упорядочено. Следует отметить, что в использованном определении всегда содержится значительный произвол, связанный с величиной соэ О. Переход от выписанной выше системы Е к безразмерной системе Е' осуществляется при помощи следующих преобразований: (9.21) 5,;5. =-1, — с' т в ан рн — рв .= — -- — с. — (у сов 0) р, в,в ~с Течение через боковую поверхность отсутствует, Единичная безразмерная скорость нагнетания, вн ~св при т=-О, Граничные условия для 5,, 0~(х,~(1, с=-1,2,3 В систему Е входят безразмерные параметры Кв ан вв я С в Кв ан ан С'в и в ~н св Кв ан 1/т 1 --усоз0, (5„„— 5„)1(1 — 5„— 5,н).
Таким образом, согласно рассмотренной выше теории, в двух геометрически подобных системах разбираемого типа зависимость р, и 5, от х, и т будет одинаковой, если численные значения безразмерных параметров этих систем совпадают и 1с,, сс„ и р, являются для обеих систем одними и теми же функциями 5, Кроме того, безразмерные скорости движения жидкостей при этих условиях будут в обеих системах одними и теми же функциями х, и т. Следует только добавить, что, помимо перечисленного, еще должны совпадать (в безразмерных величинах) граничные условия для обеих систем.
297 Все рассмотрение можно было провести также при помощи потенциалов течення Фв = Рв + Ри Ыхв фв =- Рн + РН~ОХВ. Вводя безразмерные потенциалы, КВ Ов чВ Кн ОН уН Ф =-;,, Е, Ф =- н,и ти (9.22) (9.23) лучили бы систему Е' в другом виде мы по кнКВ он и с (с(о/ дх, днс( дс=! 5н+5,=1, ф -1- - '--' — "1/ ~ (Усоз0) Р,— К 8 а(ИВ— — с Хи=оси Течение через боковую поверхность от- сутствует Безразмерная скорость нагнетания равна единице 5,= 888 дсв — при т=О, (( ~св ~он ) (9,24) Граничные условия для 5,, О -.
х, с: 1, 1 — — 1, 2, 3. ~вн ~с в 298 Вдесь Др =- р, — ри. В такой формулировке для двух систем с подобной геометрией и граничными условиями одинаковыми функциями в зависимости от х, и т будут функции вр„и 5„, при условии, что у этих систем совпадают значения параметров с с 1.~ Кв он аГаьв нв Кн св Кв он зсснс — 1~ — у сов О, О(вв сс в К 9,50.
Пример аналогового моделирования В качестве примера аналогового моделирования рассмотрим теорию электрической модели установившегося течения однородной жидкости в изотропной пористой среде. Для простоты остановимся на случае двумерного движения. Как показано в гл. 4, установившееся плоское течение описывается дифференциальным уравнением вида (9.25) где х, у — декартовы координаты. Если рассматривается движение газа, то У = й —,,— ' Л (р + 26) (9.26) ' На саьюм деле для получения всех сделанных выше выводов было достаточно правяльно выбрать определяющие разлнчные параметры.
Математвческая формулнровка задачи требует гораздо боль. щего проникновения в суть дела, нежелн праввльный выбор определяющнх параметров, но не может дать больших результатов с точки зревня анализа размерностей. — Прим. ред, 299 Отсюда видно, что в этой формулировке число условий моделирования уменьшается. Поэтому, казалось, бы, следует предпочесть вторую формулировку, так как она менее громоздка. Однако в то время, как в первом случае сопоставляются на модели и в натуре безразмерные скорости и безразмерные давления„во втором — сопоставляются безразмерные скорости и безразмерные потенциалы течения.
Таким образом, рассматривая какую-нибудь совокупность условий подобия, всегда нужно иметь в виду, какие переменные можно сопоставить на модели и в натуре при моделировании по этим условиям. В некоторых случаях можно удовлетвориться второй формулировкой, но в других может оказаться необходимой первая. Приемы, использованные при разборе рассмотренного примера, применимы к любой физической задаче в тех случаях, когда рассматриваемые процессы настолько изучены, что задачу можно полностью сформулировать математически.
При этом больше всего ошибок бывает, по-видимому, из-за неправильных математических формулировок физических задач', Проницаемость среды К изменяется от точки к точке. Величина 1) равна отношению К до где К,— фиксированное значение проницаемости, например значение при х =- у =- О. Если рассматривается течение несжимаемой жидкости, то согласно п. 4.31 находим У = — "-й(р+ рдхз).
(9.28) Заметим, что в любом случае плотность потока массы щ выражается формулой (9. 29) Рассмотрим теперь двихкснис электрических зарядов в изотропной проводящей пластине постоянной толщины. Из закона сохранения заряда и закона Ома получаем урав- нение д — (од — )+д — (од — )=.О (9. 30) где Р— электрический потенциал, о — удельная электро- проводность среды, вообще говоря, изменяющаяся от точ- ки к точке. Плотность тока, согласно закону Ома, выра- зкается формулой 1 =- оЧг.
(9.31) д ~ ПдУ~ д Г УдУ~ 300 Как для пористой среды, так и для электрического проводника приведенные уравнения справедливы только при условии постоянства толщины плоской области, в которой происходит движение. Однако если нужно учесть лишь малые изменения толщины, то это в обоих случаях можно сделать довольно просто. Непостоянство толщины приводит к появлению вертикальных составляющих скорости. Но при малых изменениях толщины величиной этих составляющих можно пренебречь и считать вектор скорости горизонтальным.
В таком случае имеем приближенное уравнение 0.- х =-. 1, 0 ( у "- 1, !'раничные условия для Ё. (9.34) Здесь х= —, у= — х .. г Через 1., и 1, обозначены максимальные размеры области течения, измеренные вдоль соответствующих осей. Величина (7 опрсделяется формулой (' = и — и (9.35) где У,— наименьшее, а У,— наибольшее значение У в области течения. Лналогичво этому безразмерная система уравнений для задачи о движении электрических зарядов имеет вид !!(У )эд(.а дА+ д / ! дУ) О 0(х<1, 0<у.-.
1, ! Граничные условия для Р. Здесь величины х, у, 1„ 1,, г', Р, и Г, определены таким же образом, как и для выписанной выше системы Е'. Если обе физические системы геометрически подобны и подчинены подобным граничным условиям, то (9 36) (l(х, у) = 1' (х, у) (9.37) 30! для задачи о течении жидкости и д (' д1'), д ( ду) дх ! дху ду! ду) — ( ой — 1! + — 1 ой — ~! =-- 0 (9.33) для задачи о движении электрических зарядов. Здесь Н(х, у) — мощность пористого пласта, Н, — ее значение в фиксированной точке, например Н (О, 0); Ь(х, у) — толщина проводящей пластины.
Сформулируем теперь задачу о течении жидкости в безразмерных величинах. Имеем Лля случая, когда — (х, у) = (х, у), (9,38) т. е. когда рН!Н, и ой!а,А, олинаковым образом зависят от безразмерных координат. Здесь о, и й — фиксированные значения о и Ь, например значения при х=-О, у=О. Таким образом, показано, что систему уравнений, описывающую движение электрических зарядов, можно использовать для моделирования течения жидкости. Обычно в задаче о течении жидкости величины К и Н переменны.
Однако (см. (9.38)) электромолслирования можно достичь путем изменения только Ь, так что можно брать материал с проводимостью о, всюду равной а,. Наиболее часто для электромолелировання берут ванну из изоляпионного материала, наполненную водным раствором поваренной соли. Изменение величин К и Н в натурной задаче о движении жидкости моделируется изменением глубины ванны.
Если в моделируемой задаче величина К сильно изменяется (например, имеются разрывы К), то нужно сильно изменять и глубину Ь, что приводит к появлению больших вертикальных потоков в электрической системе. Для устранения этого в ванне по линии разрыва глубины й можно расположить большое число коротких жестких вертикальных проволок.
Два ряда таких проволок †од на нижней стороне разрыва, другой на верхней — приближают направления линий тока к горизонтальному. Распределив такие же проволоки равномерно по всей ванне, можно с достаточной для большинства приложений точностью всюду приблизить движение к горизонтальному, Было показано, что в данной схеме аналогового молелирования 0 =: Г.
Однако остается еще найти связь ме>кду плотностью потока массы жидкости в пласте и плотностью электрического тока в модели. Из уравнений (9.29), (9.31) и определения соответствующих безразмерных величин имеем т = (--' ' — ') ~ — ' -) ~„)1. (9.39) Это и есть искомая связь между плотностями потоков ш и зог Источниками и стоками в аналоговой модели разобранного типа служат металлические электроды, питаемые переменным током промышленной частоты.
Рассмотренная конкретная аналоговая модель наиболее полезна при изучении задач о вытеснении, когда коэффициент подвижности равен единице. Так как дг7 ор дГу дР (9.40) дх дл ду ду то, измеряя при помощи электрических зондов 77, можно найти изменение положения фронта вытеснения с течением времени. Для решения этой и подобных задач был предложен также ряд других аналоговых моделей 15, 9, 101. 9.60. Пример моделирования, когда уравнения, описывающие систему, неизвестны Чтобы пояснить некоторые стороны моделирования для случая, когда уравнения, описывающие данную физическую систему, неизвестны, рассмотрим следующую задачу'.
Предположим, что имеется некоторая модель для изучения медленного установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в осссиммстричном капилляре, радиус которого меняется вдоль оси по синусоидальному закону. Трубку будем считать горизонтальной, так что действием силы тяжести можно пренебречь. Так как движение медленное, то естественно считать, что инерционными эффектами тоже можно пренебречь. Геометрическими параметрами являются минимальный диаметр с1м максимальный диаметр с1„расстояние между соседними максимумами диаметра 1 и длина трубки ут'. Требуется найти зависимость расхода Я через трубку от перепада давления Лр на длине трубки.
Так как жидкость вязкая, то ее вязкость р является существенным параметром. Если исходить нз интуитивных соображений об известном течении в прямолинейном капилляре, то выписанные выше параметры представляются единственными определяющими параметрами задачи. Поэтому, следуя намеченной в п. 9.20 общей схеме, положим, что 1~ — зависимая переменная, ' В действительности для вывода условий подобия в этой задаче можно воспользоваться уравнениями 11авье — Стокса. 303 Лр — независимая переменная, дь г[,, 1, Н и [г — параметры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
