Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Вытеснение в пористой среде. Случай смешивающихся жидкостей Важную роль в улучшении вторичных методов добычи нефти может сыграть использование для вытеснения такой жидкости, которая смешивается с вытесняемой. В результате применяемого прн вторичных методах вытеснения водой в пласте остается довольно много нефти. Причиной этого является значительное поверхностное натяжение на границе нефти и воды. Более эффективным должно быть вытеснение «поршнем» из растворителя, который полностью сме. шивается с нефтью. В этом пункте рассматриваются некоторые характерные черты микроскопической картины вытеснения из пористой среды одной жидкости смешивающейся с ней другой.
В предыдущем пункте мы рассмотрели случай такого вытеснения из прямолинейного капилляра. Воспользуемся теперь полу. ченными там результатами. Прежде всего, очевидно существенное влияние двух факторов. Первый из них — диффузия, которая размазывает фронт в направлении течения. Второй — конвекция, также приводящая к размазыванию фронта в направлении течения и сопровождающаяся боковой диффузией в поры. Хотя при макроскопическом подходе в случае прямолинейного вытеснения течение считается одномерным, прн микроскопическом описании так считать нельзя. В гл.
7 задача о прямолинейном вытеснении изучалась как задача об одномерном течении. Макроскопические линии тока считались параллельными и прямолинейными. Эти линии тока описывали пути жидких частиц только в среднем. Однако в микромасштабс путь жидкой частицы не прямой.
Это — извилистая линия со случайными поворотами. Но ее среднее отклонение от прямой, конечно, равно нулю. Кроме того, в микромасштабе нс является однородным распределение точек пересечения криволинейных путей жидких частиц с каким-нибудь поперечным сечением. Хотя при ламинарном течении пути двух частиц не пересекаются, но они могут проходить через одно н то же поровое отверстие. Таким образом, может происходить перемешивание путем диффузии в соседние трубки тока. Из закона Дарси н уравнения неразрывности можно найти только макроскопическую геометрию течения. Поэтому для того, чтобы учесть расплывание одной жидкости в другой (дисперсию), когда в вытеснении участвуют смешивающиеся жидкости, нужно также принять во внимание некоторые микроявления. Но сделать это, конечно, нужно так, чтобы получить макроскопическое описание дисперсии.
Эксперимента.иьное изучение дисперсии вытесняющей жидкости в смсшивающейся с ией вытесняемой проводилось многими исследователями (2, 4, 8, 16). Можно ожидать, что в случае прямолинейного ламинарного течения в пористой среде распределение концентрации (имеется в виду концентрация, средняя по сечению, перпендикулярному потоку: величина, зависящая от координаты и времени) будет весьма сходным с тем, которое имеет место в прямолинейном капилляре, и это действительно наблюдается. Для прямолинейного вытеснения, в котором участвуют смсшивающиеся жидкости с одинаковыми плотностями и вязкостями, распределение концентрапии приближенно описывается функцией (8,25) с, [-,'-+,'- С,[ — — -- ег(у1, х — и1) О, х — и~< О.
Здесь С вЂ” концентрация в момент времени 1 в сечении. отстоящем на расстоянии х от места нагнетания, С, — концентрация нагнетаемой жидкости в месте нагнетания, и— «средняя поровая скорость», определяемая уравнением И=— (8.26) где д — нагнетаемый объемный расход, т — пористость, Л вЂ” площадь поперечного сечения образца. Аргумент у в функции ошибок равен к — и1 (8.27) 2р Кр» / Данные экспериментов по прямолинейному вытеснению одной жидкости другой, смешивающейся с ней, были использованы для вычисления эффективного коэффициента диффузии Ко по формуле (8.24). Для прямолинейной трубки отношение Ко70' линейно зависит от (аЫО')».
Естественно предположить, что такая зависимость между этими величинами сохранится и для пористой среды, если заменить скорость о на определяемую формулой (8.26) скорость и и радиус капилляра а — на подходящим образом определенный средний поровый радиус. Если в качестве пористой среды используется несцементированный песок, то для сопоставления результатов радиус капилляра а обычно заменяют на средний размер зерна а» .
1(а рис. 8.2 показана фактически наблюдаемая в несцементированном песке зависимость между Кп/В' и а» и70'. Эта зависимость изображена в двойном логарифмическом масштабе. Данные Рафаи !8), которые не легли на ту же кривую, что остальные данные, были получены им для другой текстуры и иллюстрируют влияние текстуры. Обращают на себя внимание две характерные черты приведенных экспериментальных результатов. Во-первых, наклон прямолинейных участков экспериментальных кривых отличается от теоретического значения, равного двум. Он равен 1,17. Это свидетельствует о том, что копвективная дисперсия в пористой среде заметно отличается от конвсктивной дисперсии в прямолинейном капилляре. Во-вторых, в пористой среде предельное значение отношения КвШ' при малых значениях параметра аз и/Й' отличается от единицы, тогда как в прямолинейном капилляре оно равно единице.
Это легко объясняется тем, что в пористой среде 10 за«. 592 273 пути, проходимые частицами нагнетаемой жидкости при диффузии, удлиняются. Если происходит чистая диффузия (и = О), то в пористой среде Кр = 0'/т, где т — извилистость среды. Для несцементированных песков т;1 6, что Р и с. 8, 2. Влиявие скорости вытеснения иа коэффициент дисперсии в пористых средах (Блэкуэдл и др., 1958). ° — Влзкуалл и др.. С) — Розенберг, Х вЂ” Варев, ° — Карберря и др. (газы), ~ — Карберрк и др, ( дкостя), ф — Рафаи ( я ревекки я ок), е — Рафаи [оттазекии песок). т — теоретическая крякая для капилляра. согласуется с предельным значением отношения Ко/О' при и-рО, равным 0,66 (см, рнс.
8.2). 8.31. Теория дисперсии и пористых средах Из приведенных в предыдущем пункте экспериментальных результатов следует, что при построении теории дисперсии в пористых средах обязательно нужно учитывать случайный характер микроструктуры этих сред. Движе- 274 ние данного жидкого элемента нужно рассматринать как случайный процесс с малой корреляцией (или вообще без нее) между разными элементами (пространственно-временными точками). В случае двух смешивающихся жидкостей с одинаковыми плотностями и вязкостями задача о течении совпадает с задачей о течении однородной жидкости.
Тогда задача о дисперсии заключается в исследовании вытеснения меченой (окрашенной) жидкостью жидкости немеченой (неокрашенной). Попытки дать математическое описание указанного случайного процесса предпринимались несколькими исследователями [9, 10, 11). Шейдеггер [11), а также Сафман [9[ предложили теорию случайных блужданий, аналогичную эйнштейновской теории броуновского движения.
Сафман [! О) предложил также теорио, основанную на использовании аппарата корреляционных функций в лагранжевых координатах. Более ранняя работа Шейдеггера, в которой используются случайные блуждания, заключается в следующем, Пористая среда предполагается изотропной и макроскопически однородной. Поле действующих на жидкость внешних сил предполагается однородным и не зависящим от времени. Это означает, что в жидкости имеется постоянный градиент давления, во всех точках одинаковый по величине и направлению. Кроме того, предполагается, что движение элемента каждой из жидкостей в среднем подчиняется закону Дарси. Разделим интервал времени от 0 до ! на равные части Т так, чтобы (8.28) Отклонение данного жидкого элемента от среднего (макроскопического) пути за время Т рассматривается как случайный процесс.
Таким образом, данный элемент совершает случайные блуждания в пространстве (х — х), (9 — у), (г — з), где х, у, г — координаты точек среднего макроско. пического пути. Так как в макроскопическом масштабе среда считается однородной и изотропной, то вероятность сделать один шаг (путь, проходимый в течение интервала нременн Т) в любом направлении и для любого интервала одна и та же. Шейдеггер далее показал, что вероятность нахож!О* 275 дения частицы в бесконечно малой окрестности точки х, и, г после большого числа шагов Д2 равна 22Р = (2п.'хоэ) — мэ (х — х) л- (т — т) Хе (2 — 2) и ехр~ — — --: --: ' -( 2(Х2(у2(г 2Л22 (8.29) независимо от начального распределения вероятности.
Положим о'= 2Ко Т, (8. 30) где Ко — коэффициент дисперсии, который должен быть определен через другие параметры. Величины Ко и о не зависят от х, у, г, (, но они могут зависеть от х, у и г. Так как 1 =- НТ, то выражение для 2(Р можно записать в виде лр (й ~К 1) — зл 2 м ехр — — ' —,— ' ' 2(х 2(у 2(г.
(8.31) (х — х) + (у — т) ,.(2 — 2) Рассуждая несколько иначе, чем Шейдеггер, можно показать, что среднее смещение х, у, г удовлетворяет закону Дарси. Таким образом, имеем выражение х = — — — - = и„1 — ~К др (8 32) ти дх 2(Р =.— (ЫКо1) — и ехр — -' — -- 2(х (8.33) (х — Х)21 276 для составляющей смещения вдоль оси х и нуль для двух других составляющих. Величина 21Р представляет собой вероятность того, что жидкая частица оказывается в момент 1 в элементе объема 2(х 2(у2(г, окружающем точку х, у, г. Из закона больших чисел [!51 следует, что она равна относительному числу меченых частиц в этом элементе объема, если общее количество частиц достаточно велико. (Заметим, что в случае непрерывного поступления меченых частиц ураннепие (8.31) нужно проинтегрировать по времени.) Вследствие изотропности среды распределение вероятности г(Р равно произведению трех независимых распределений вероятности.
Например, представляет собой вероятность того, что меченая частица оказывается в момент 1 между х и х + их. Так как движение предполагается чисто ламинарным, то обмен частицами между соседними линиями тока отсутствует. Поэтому, скажем, вероятность иР,, зависит только от х и х. Она не может, например, зависеть от составляющей скорости и, Исключая 1 из уравнений (8.31) и (8.32), находим, что дР будет зависеть только от х и х, если К„= аи,, (8. 34) где постоянная а представляет собой характеристику пористой среды. Таким образом, если дисперсия вызывается только извилистостью путей частиц жидкости в пористой среде с беспорядочной структурой, то коэффициент дисперсии пропорционален первой степени средней скорости и,.
Это довольно хорошо согласуется с экспериментальными данными, принеденными в предыдущем пункте, Показатель степени в зависимости Ко от и, был ранен 1,17, чзо мало отличается от единицы. В теории Шейдеггера не учитывается молекулярная диффузия, так как в этой теории принимается, что в поперечном сечении любого извилистого капиллярного пути н пористой среде концентрация распределена равномерно. Другой предложенный Шейдеггером способ вычисления Ко, основанный на использовании механизма течения в капилляре, аргументирован гораздо хуже предыдущего. Этот способ приводит к квадратичной зависимости Ко от скорости.
Имеются еще две работы Сафмана 19, 10), посвященные дисперсии. Его первое исследование также основано на модели случайных блужданий и дает зависимость Ко от первой степени скорости. Однако во второй работе ПО) он использовал лагранжевы корреляционные функции и получил зависимость между Кв, Р' и и, которая отличается от аналогичной зависимости в случае прямолинейного капилляра только значением множителя 6 (см, уравнение 8.22). Сафман ввел также понятие бокового коэффициента дисперсии. Боковая дисперсия должна происходить в случае параллельного течения в пористой среде двух жидкостей.
Причинами ее по-прежнему являются извнлистость путей жидких частиц и молекулярная диффузия. 277 Подводя итоги, можно сказать, что полная адекватная теория дисперсии в пористых средах еще не создана, хотя работы Шейдеггера и Сафмана представляются обнадеживающими. 8.40. Макроскопические характеристики вытеснения смешивающихся жидкостей При рассмотрении вытеснения смешивающихся жидкостей с макроскопической точки зрения явления, о которых говорилось в двух предыдущих пунктах, не имеют большого значения. Это в особенности верно в случае нефтяных пластов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
