Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(7.59) Применяя принцип суперпозиции, получаем соотношение для давления: р =- сопя1 — — '~" ( — 1) ь 1 ' !п ((и — иь )з + о'1 + 1 4ч ~,ь> ь.= 2 1 + —,1 И вЂ”,)'+ е)~ — . '— „,,~ ( — 1)-ь 'х Х1п ((и — иь,)'+ о'1+ — 1п ((и — и 1)я+ о'] . (7.60) 9* 243 границы представляют собой линии тока. Следовательно, через них жидкость не течет. Вводя комплексную переменную г =- х + 1у, отобразим заштрихованную область рис. 7.5 на верхнюю полуплоскость плоскости ю, показанную на рис. 7.7. Такое отображение осуществляется функцией ю =' и + 1о ==- я1п лз. Г!ользуясь этим соотношением, уравнениями (7.53) и (7.59) можно при помощи уравнений (7.51) вычислить последо. вательные положения фронта. Р и с.
7.8. Положение фронта вытеснении в разные моменты безраз. мерного времени дла задачи о пятитачечном расположении скважин, Вследствие симметрии задачи достаточно вычислить последовательные положения во времени только части фронта, окружающего одну нагпетательную скважину. Таким образом, достаточно проследить за движением четверти начального кругового фронта с центром в нагнетательной скважине, располо>кенной в точке х = 1!2, у = О. При этом нужно принять во внимание, что влияние скважин, сильно удаленных от фронта, пренебрежимо мало. Например, если в ряде (7,60) оставить только десять пер2зт вых членов, то значение для р вблизи фронта получится с семью верными знаками.
Результаты вычислений последовательных положений фронта приведены на рис. 7.8. Время прорыва равно т = = 1,431. За длину Е принято расстояние между нагнетательной и ближайшей эксплуатационной скважинами; д— производительность нагнетательной скважины. Коэффициент заводненности в момент прорыва равен 71,55%. Обсуждение результатов расчета. Из рассмотренных задач видно, что метод, использованный для их решения, может быть применен к некоторому ограниченному классу задач о заводиении. Заметим сразу же, что применение этого метода к анизотропным средам требует определенного выбора системы координат.
Она должна быть отнесена к главным осям проницаемости. Используя рассмотренный метод, можно исследовать большое число задач, представляющих практический интерес. Но при этом нужно помнить о весьма жестких условиях, ограничивающих его применимость. Наиболее серьезным из них является требование, чтобы коэффициент подвижности равнялся единице. Влияние этого ограничения рассматривается в следующем пункте. При определенных ограничениях метод можно распространить иа случай сжимаемой жидкости, используя решения типа точечных источников — стоков, рассмотренные в п, 5.30, и, в частности, решение 15.49).
Этот метод можно распространить также на случай трех измерений. Однако как в том, так и в другом случае пользоваться конформными отображениями уже нельзя. Одним из важнейших приложений описанного метода является расчет направленного заводнения. Так, если известны расположение скважин и их производительности, то можно вычислить продвижение фронта ивремена прорыва, соответствующего различным ориентациям главных осей проницаемости, различным величинам отношения К~/К~ и различным значениям величины тЬ'Ь~~,Я. Определив таким образом значение параметров, при которых вычисленные времена прорыва будут соответствовать фактически наблюденным, можно будет оценить величину добычи нефти за все время заводнения. 245 7.21. Влияние коэффициента подвижности на величину коэффициента заводнениости Изучение движения фронта вытеснения в случае, Когда КозффИПИЕНТ ПОДВИЖНОСТИ К в Рн )Кн Рв НЕ Ра вен единице, представляет собой очень сложную задачу. Как и прежде, в заводненной области имеем' д Рв.
Кв д Рв. (7 61) дхя Кт дхт 1 2 В незаводненной области дун Кндр» "-+ — ' — — ' — = О. дхт Кт 1 2 (7 62) Граничные условия на фронте имеют вид Р» =Рв О» н = 0в н (7.63) Тогда получим, что двр дхв двр, =' = О дув (7.66) в заводненной области и двр дхв двдн — =" = О ду (7 67) ' Относительные пронипаемостп по прежнему считаются изо тронными (см уранение (7 28)) 246 Здесь по-прежнему не учитывается влияние капиллярных сил и силы тяжести. )Кндкости считаются несжимаемыми.
Второе граничное условие (7.63), заключающееся в непрерывности нормальной составляющей объемного потока жидкости, было выведено в и. 7.10. Теперь запишем исходные уравнения в тех же безразмерных величинах, которые использовались в предыдущем пункте. Таким образом, положим х — у т~'Кт х= у= 1' Кв' ~всв, ) К1 Кв Ллн Рн = »Нн в области, где движется нефть, Первое граничное условие на фронте принимает вид Рн. =' Рв. (7.68) Второе граничное условие на фронте — условие непрерывности нормальной составляющей объемного потока— в новых переменных получается следующим образом, Обозначим посредством с?з = — 1 с(х, + 1г с(хв (7.89) элементарный вектор касательной к линии фронта.
Здесь 1„ и 1„— единичные векторы, направленные по соответствующим координатным осям. Объемный расход воды через элемент длины фронта с(з равен а„в с?з — — — '' 1 К, — 'с?хв — Кв — 'с(х,) . (7.70) В новых переменных это уравнение принимает вид п„„сй= — — — ' — '' ~ 'с(у — ' с(х .
(7.71) и Ьв.о.ав, /диев. — длв. ансв. Нв. 1, дх ду Аналогично 1 дР,. — дРн о„с„сЬ =- — — ~=' — ' с(у — =" — ' с(х) . (7,72) дв ду Таким образом, для второго граничного условия на фронте в новых переменных получаем ав о. нн др, дрв (7.73) ?снсв.
ев. дн дн где и — расстояние, измеряемое по нормали к фронту в системе координат х, у. Заметим„ что когда коэффициент подвижности равен единице, го из этого условия и равенства давлений на границе Р, = Рн, следует, что давление во всей области течения удовлетворяет одному и тому же уравнению.
Это как раз тот случай, который был разобран в предыдущем пункте. Заметим еще, что если К, =- Кв, т. е. среда изотропна, то второе граничное условие имеет вид (7.73) также и в системе координат хь х,. При любых К, + Кс это уже неверно. 24? Система уравнений (7.66), (7.67), (7.68) и (7.73) вместе с граничными условиями на скважинах и всех остальных неподвижных границах определяет распределение давления.
Так как одна из границ (фронт) движется, то для решения задачи необходимо в каждый момент определять новое положение этой подвижной границы. Подвижность одной из границ приводит к тому, что распределение давления зависит от времени даже тогда, когда условия на всех остальных границах постоянны и жидкости иесжимаемы. Иллюстрацией этого служит рассмотренный в п.
7.11 случай прямолинейного вытеснения. В принципе можно одновременно вычислять распределение давления и функцию Г, определяющую положение фронта Функция г" удовлетворяет уравнению (7.11), которое в безразмерных переменных записывается в виде др, ду др дх ду дх дх ду ду дх (7. 74) Фактически это вычисление можно было бы выполнить методом конечных разностей на быстродействующей электронно-счетной машине, но вычисления оказываются очень сложными. Так как рассматриваемая полная формулировка задачи является лишь приближенной и в действительности нужно вводить относительные проницаемости и капиллярное давление, причем никакого резко выраженного фронта нет, то для расчета двухмерного двухфазного течения лучше применить схему Дугласа, Писмэна и Рэчфорда (6], кратко описанную в п.
6.50. Для более детального ознакомления с этой схемой следует обратиться к оригинальной работе указанных авторов, Описанная разрывная схема вытеснения, несмотря на ряд условий, ограничивающих ее применимость, представляет практический интерес. Задачу о вытеснении по этой схеме решал Ароновский 11] на электрических аналоговых моделях. Несколько примеров он рассчитал также численными методами. Решения на моделях были получены и другими исследователями [4, 9, 12]. Целью всех этих исследований было определение зависимости коэффициента заводненности от коэффициента подвижности для ряда различных расположений скважин. Некоторые типичные результаты, полученные Ароновским для расположения скважин ря- 248 дами, приведены на рис.
7.9. Там же изображено расположение скважин. Вообще говоря, если подвижность вытесняющей жидкости меньше подвижности вытесняемой, то коэффициент Р н с. 7.9. Влияние отногпення подвнжностей на положеняе фронта вытеспеняя к моменту прорыва воды для прямолянейного вытеснення (угроновс кяй, 1952), заводненности уменьшается с увеличением коэффициента подвижности. 7.30. Фильтрация и отложение твердых частиц Важный класс задач с подвижной границей возникает в связи с фильтрацией через пористую среду суспензий твердых частиц.
Такое явление происходит, например, в буровых скважинах. На некоторой глубине гидростатическое давление в скважине становится выше давления жидкости, заполняющей пробуренный пласт. В результате из скважины в пласт начинает фильтроваться вода. Это приводит к оседанию на стенках скважины частиц глины и образованию глинистой корки. Подобное явление встречается и при цементировании, применяемом для закупорки нежелательных отверстий в обсадной колонне. Фильтрационная корка, возникающая на пористой поверхности, сама является пористой и проницаемой. Но ее 9В зак.
592 249 пористость и проницаемость в общем случае зависят от перепада давления на корке, потому что обычно корки бывают сжимаемыми. Если размер взвешенных частиц меньше среднего размера пор поверхности, на которой отлагается фильтрационная корка, то некоторая часть этих частиц будет проходить внутрь среды. Математически процесс отложения частиц (кольматаж) можно описать следующим образом'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
