Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Момент времени, в который в эксплуатационную скважину начинает поступать вода, называют временем прорыва. В реальных условиях коэффициент заводненности зависит от многих факторов: от распределения по пласту пористости и проницаемости, от относительных проницаемо- ' В советской литературе встречается термин вкоэффиниент ох вата».
— Прил ред 236 или более точно с учетом членов высших порядков малости. В уравнениях (7.43) ухт — некоторая малая величина. Эти уравнения решаются методом итераций. В процессе такого решения находят последовательные положения фронта во времени. Для правильного расположения скважин, например пятиточечного, показанного на рис. 7.6, прямые, проходящие через скважины параллельно координатным осям, являются, вследствие симметрии, линиями тока. Поэтому вместо течения во всем пласте можно рассматривать течение в меньшей области. В качестве такой области на рис. 7.6 взята заштрихованная полуполоса. На этом же рисунке показана основная ячейка. Из таких ячеек, — четыре нагнстательные скважины в вершинах квадрата и одна эксплуатационная в его середине, — построена вся система.
Жидкость в эксплуатационную скважину поступает только из того основного квадрата, в центре которого эта скважина находится. Обозначим площадь квадрата через А, плогцадь, занимаемую в данный момент заводненной областью — через А,. Через Авп обозначим плошадь заводненной области в момент прорыва воды в скважину. Введем коэффициент заводненности' сг == и + 1о = ш (г), (7.45) где г = х + (у, (7.46) отображает область течения на область с прямолиней- ными границами. Тогда д~р д~р =О, ди'" ' до' (7.47) и=-и(х, у), о=- о(х, у). (7. 48) В плоскости ш решение имеет вид р =- сопз( — 4-- э — ' 1п ((и — и,)'+ (о — о,) 1 (7.49) ~=! 237 стей и капиллярного давления, от геометрии пласта и расположения скважин, а также от производительности нагнетательных и эксплуатационных скважин.
Приведенная выше постановка задачи о заводнении позволяет выяснить зависимость коэффициента заводненности от некоторых из этих факторов. а именно от производительности скважин и геометрии. Примеры определения такой зависимости приводятся в следующем пункте. Пока же необходимо разобрать более подробно математическую формулировку задачи. В п. 4.33 уже говорилось, что уравнение Лапласа (в данном случае уравнение 7.35) инвариантно по отношению к конформным преобразованиям координат. Если плоское течение имеет прямолинейные границы или линии разрыва проницаемости, то задача в плоскости х, у решается методом изображений.
Если же границы криволинейные, то нужно воспользоваться указанной инвариантностью и применить метод конформных отображений. При этом область течения нужно отобразить на область с прямолинейными границами, после чего решить задачу при помощи метода изображений.
Пусть функция плюс члены, учитывающие, если это необходимо, скважины-изобрзжения. В этой формуле (1 .=- 1, 2, ..., У) (7.50) о, =-- о (хп 15) представляют собой координаты 1-й скважины в плоскости пи Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем, что уравнения, описывающие движение фронта, принимают вид ! ду ди (х, у ) др ди (х, уи) ди дх д" дх др ди (х, у ) д, ди (х„, у„) ди ду ди ду дх (7.51) Ыу д1 Здесь р = 1, 2, ..., М. В таком виде эти уравнения будут использоваться в приводимых ниже примерах. 3 а д а ч а о д в у х с к в а ж и н а х. Эта задача соответствует так называемому направляемому или пробному заводнению. Пусть нагнетательная и эксплуатационная скважины находятся соответственно в точках х = =- 1/2, у = 0 н х = — 172, у = О. Производительности той и другой скважины будем считать одинаковыми, и их абсолютную величину обозначим через д.
В качестве Е в данном случае выберем расстояние между скважинами. Наложение полей точечного источника н точечного стока дает после некоторых преобразований следующее выражение для безразмерного давления: (х — О,д)' ' уи р = сопз( — — 1п —.= — '--.-„—, пт . (7.52) 4х (х+ 0,8)" 4 у (х — 0,5) + у = е', (7. 53) где в — начальный радиус фронта.
Каждая из этих точек движется по линии тока. Линии тока и последовательные положения фронта, вычисленные таким образом, показаны на рис. 7.3. Значение т, соответствующее моменту прорыва, равно 1,043, 238 Подставляя эту функцию в уравнение (7.43), можно вычислить перемещение точек фронта, который вначале был круговым, Задача о двух скважинах в случае, когда в области течения есть линия разрыва проницаемости. Это опять задача о направленном заводнении. Ее интересно рассмотреть Р ис.
7.3. Положение фронта вытеснения для различных моментов безразмерного времени в задаче о двух скважинах в безграничном пласте. для того, чтобы проиллюстрировать применение метода изображений, о котором говорилось в и. 4.51, Предположим, что линией разрыва проницаемости является биссектриса второго и четвертого координатных углов плоскости х, у. Уравнение этой линии х+ у:= О. Пусть при х+ у О проницаемости равны Каи и К„, пусть при х+ у <" О они равны Км и Кем причем — "-=- — '" =- р = сопз1.
(7.54) А ее Кта Нагнетательную скважину расположим в точке х = = + 1/2, у == О, а эксплуатационную скважину — в точке 239 х = — 172, у = О. Кроме этих скважин, нужно ввести еще скважины-изображения. Изображение нагнетательной скважины нужно поместить в точке х=-О, у= — 1,'2, изображение эксплуатационной — в точке х = О, у = 172. Вся система показана на рис. 7.4.
Р и с. 7. 4. Две скважины в пласте с прямой линией разрыва проиипаемости и их изображения А (плоскаи задача), Применчя метод изображений, получаем р=-сопз! — — )1п[(х — 0,5) +у'1 + !и[ха-+(у +0,5)'|в — —,— 1п [(х+0,5) + у ]) при х+ у)0, (7.55) р=-сопч! — — — [--1п[(х, 0,5)':-у"~ — —, — "„-!п[хз+(у — 0,5)')+ — — !и !(х — 0,5)' -1- у~) ! при х+ у(0. (7.56) Здесь Л вЂ” расстояние между скважинами, д — абсолютная величина производительности скважин, ие меняющаяся во времени.
Производительности нагнетательнай и эксплуатационной скважин приняты одинаковыми. Как и в предыдущем примере, расчет нужно начинать с окружности небольшого радиуса с центром в нагнстатель- 240 ной скважине. Результаты вычислений для случая = х7,о приведены на рис. 7.5. Величина т, соответствующая моменту прорыва, равна 1,235. Заметим, что в данном численном примере нагнетательная скважина считается расположенной в области пониженной проницаемости. Отметим также, что линия разрыва проницаемостей в плоскости х„хв будет иметь другой наклон, если среда не изотропна Р и с.
7. 5. Положение фронта вытеснении длв разных моментов времени в задаче о двух скважинах в пласте с разрывом проницаемости (см. рнс. 7. 4). Пятиточечное расположение скваж и н. Нагнетательные скважины в этой задаче расположены в вершинах бесконечного множества квадратов, а эксплуатационные — в центрах этих квадратов. Если через скважину провести прямую, параллельную какой-нибудь из координатных осей плоскости х, у, то вдоль нее нагнетательные и эксплуатационные скважины будут встречаться поочередно через равные промежутки. Производительности всех скважин предполагаются одинаковыми. Расположение скважин и область, которую нужно рассматривать при решении задачи, показаны на рис. 7.6.
Эта область на рисунке защтрихована. 1Зследствие симметрии ее 9 заи. 592 3й Р и с. 7.6. У,равильная сетка скважин (пятиточечное расположение). Выделенный квадрат (!) предстанляет собой элементарную ячейку, а заштрихованная полуполоса †облас, рассматриваемую при математическом решении задачи. Р и с. 7. 7. Конформное отображение вертикальной полу- полосы, (см.
рис, 7.6) на верхнюю полуплоскость. (7. 57) Ось и на плоскости ю является линией тока. Все сква- жины, расположенные на границе рассматриваемой полу- полосы плоскости г, за исключением двух угловых, отдают в полуполосу (нли получают из нее) количество жидкости, соответствующее только половине своей производитель- ности, а две угловые — четверти. Поэтому на плоскости ю все скважины, кроме двух, имеют одинаковые по абсолютной величине производительности, а остальные две — вдвое меньшие.
Так как ось и является линией тока, то нижнюю полу- плоскость можно рассматривать как отражение верхней, и мы получаем бесконечную цепочку скважин в бесконечной плоскости. Из уравнения (7.57) получаем и =- я(п их сйпу, (7,) о8 о = соя пх яйлу. Отсюда находим координаты скважин в плоскосги 1о оь = О, сйп (А — 1) (А = 1, 2, ...), иь = — сйп(я + 1) (А = — 1, — 2, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
