Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Общий объем суспензии, которая предполагается однородной, складывается из объема твердых частиц 1; и объема жидкости Р' . Доля объема, приходящаяся на твердые частицы, таким образом, равна (7.75) рт+р. Вследствие фильтрации и отложения частиц объем уменьшается за время Ж на величину с('г', . За это же время объем жидкости $' уменьшается на сй' .
Предположим, что состав суспензнн при этом не меняется. Тогда величина 1«, остается постоянной, откуда получаем, что (7.76) В процессе фильтрации твердые частицы откладываются либо в порах внутри фильтрующей среды, либо в виде корки на ее наружной поверхности. Обозначим через ЬА элемент площади, на которой происходит отложение твердых частиц и через с(х„— приращение толщины слоя этих частиц за время с(С Если частицы откладываются внутри фильтрующей среды, то они могут занять только им!о часть объема 6Ае(хи, где и — пористость фильтрующей среды. В этой части объема они образуют пористую структуру, порнстость которой обозначим через и, В результате объем отложившихся частиц получается равным Л', = т(1 — и,,) бАс(х,, (7.77) За время Ж через площадку 6А протечет некоторый объем жидкости.
Если обозначить нормальную к площадке ' Исследования кольматажа были выполнены в работах Ю. М. Шехтмана (см, его книгу «Фильтрация малоконцентрированных суспепзийъ Изд. АН СССР, !9бЦ. — Прим, ред. 2оов 6А составляющую объемного потока жидкости через о„, то получим, что т()т„= — о„дАт1х, (7.78) Знак минус поставлен потому, что нормаль к площадке ЬА предполагается направленной во внешнюю часть того объема, куда втекает жидкость. Из уравнений (7.77), (7 78) и (7.76) получаем уравнение для скорости роста толщины корки т(х а! т(! — тл„) (1 — 1, ) от ° (7 79) (Заметим, что в соответствующем уравнении в работе 12), которое отличается от уравнения (7.?9), имеется ошибка ) Для фильтрационной корки, откладывавшейся на наружной поверхности фильтрующей среды, получим такое же уравнение, в котором нужно положить гл =- 1.
Множители (7.80) (7.81) называются соответственно внутренним и наружным коэффициентами отложения. Так как в действительности корка всегда хоть и слабо, но сжимаема, то пористость корки изменяется с изменением перепада давления, и, следовательно, коэффициенты отложения не являются величинами строго постоянными. Но если отложение происходит при постоянном перепаде давления, то без большой ошибки коэффициенты ю, и ю„можно считать постоянными.
Течение жидкости в области отложения твердых частиц подчиняется закону Дарси, В наружной корке проницаемость равна проницаемостн корки К„. В случае внутреннего отложения проницаемость меньше атой величины. Приближенно ее можно принять равной и!К„. Из-за сжимаемости корки проницаемость К, тоже зависит от перепада давления. Для того чтобы показать, как можно измерить введенные выше величины и выявить макроскопические характеристики описанного процесса фильтрации, рассмотрим прямолинейное течение.
9В' 25! Из определения Ь и 7', следует, что Ь = й — х к. (7.90) где (7. 91) есть полный объем жидкости, профильтровавшейся к моменту 1; йк — начальное значение /ь Интегрируя уравнение (7.79) и учитывая, что при 1 =- 0 объем Я = О, находим "к «Рк к 7.93) (7. ," --т') Интегрируя это равенство при условии, что хк = 0 в момент 1 = О, получаем хк = — — ' Л+ ~( — '. А) (- — " ' " 1~ .
(7.94) Если величины Я и х, брать в один и тот же момент времени г, то при помощи уравнения (7.92) можно найти выражение для ке„ Юк Я к 4к (7.95) Зная эту величину и величины !., р,, К, р, хк и г', можно, используя уравнение (7.94), вычислить Кк по формуле х зК (7.96) 254 ( 1т)( к) (7.92) хк. Подставим Я из (7.92) в уравнение (7.90) и полученное выражение для й подставим в уравнение (7.89), После этого проинтегрируем уравнение (7 89) при условии, что р„ = = сопз(. Учитывая, что обычно давление р, велико по сравнению с давлением из-за собственного веса, получим, что для больших значений р, приближенно выполняется равенство 'Заметим, что в величину Я входит не только объем фильтрата, протекшего через пористое дно, но и объем фильтрата, насыщающего дно.
Чтобы не вводить поправку на объем фильтрата, насыщающего дно, можно перед началом процесса пропитать дно фильтратом'. П,уо 0 йоо Ваа 12ПО 1ВПП Р и с. 7 11. Зависимость проницаемости фвльтрациовпой корки от перепада давления для двух цементных сзспеизий с разным содержанием бентонитовой глины (Бинклн и др., 1958), по оси абсцисс перепад давления гфуллндюймн 11 фунп1д~аим'-. 0,0703 кггсма1 По осн ординат: проницаемость фильтрационноа корки, К 1лсд1. Заметим также, что для малых значений й обе величины Хк И 1",а ВОЗРаСтаЮт ПРОПОРЦИОНаЛЬНО РГГ'.
ТаКаЯ Занненмость этих величин от времени часто отмечается в литературе для больших значений времени. Некоторые типичные результаты, полученные описанным способом, приведены на рис. 7.11 и 7.12. На этих рисунках изображены графики зависимости величин д,. и ыаи от перепада давления для двух цементных суспензий. Одна из суспензий состоит из цемента, воды и 12% бентонитовой глины. В другой содержится 25% бентонитовой глины. Из графиков видно, что, хотя проницаемость 7Г„ сильно изменяется с изменением перепада давления, коэффициент ю„ остается практически постоянным. ' Однако и при этом объем Я будет меньше фактического на величину ЬЯ = шк. Ахи., равную объему жидкости, насыщающей корку.
255 В общей многомерной задаче об отложении граничное условие на границе фильтрационной корки и суспеизии имеет вид — „= — гп„, уп. пз (7.971 Здесь с2з/Ж вЂ” скорость продвижения границы корки по направлению нормали к границе, тт — объемный поток бз 6 ~оп вал 12ар 1аоп Р и с. 7 12. Зависимости наружного козффициента отложения от перепада давления для двух цементных суспензий с разным содержанием бен- тонитовой глины (Бинклн и др, 1958).
По асн абсцисс: перепад дазлеиия Сфунт1дмйл'1 По оси ординат; иоафеицнент отложения, мн фильтрата через границу, п — единичный вектор внешней нормали к границе, Следовательно, можно найти продвижение границы фильтрационной корки любой формы 121. 7.40. Неустойчивость движения фронта и образование языков В предыдущих пунктах был рассмотрен с разных сторон процесс вытеснения, в котором образуется фронт. В задачах о заводнении нефтяных пластов мы рассмотрели ряд важных явлений, связанных с коэффициентом подвижности. Однако одним очень важным явлением мы при этом пренебрегли. Речь идет о неустойчивости фронта вытеснения, которая приводит к образованию так называемых языков. 256 Исследование фронта вытеснения на устойчивость легче всего провести на примере очень упрощенной системы. Рассмотрим прямолинейное вытеснение, в котором вытесняющая жидкость более подвижна, чем вытесняемая, и предположим, что имеется фронт вытеснения. Из предыдущего изложения следует, что в однородной среде фронт должен оставаться плоским в течение всего процесса вытеснения.
Теперь предположим, что в очень малом участке однородность пористой среды нарушается. Если в этом участке Р и с. 7.13. К упрощенному исследованию на устойчивость. проницаемость больше, чем у окружающей среды, то при подходе к нему фронт ускорится. В результате на прежде плоском фронте возникнет небольшой «язычок». Чтобы исследовать дальнейшую эволюцию этого язычка, рассмотрим трубку, параллельную направлению течения и содержащую внутри себя язычок (рис. 7.13).
Предположим, что трубку и остальную часть среды можно рассматривать как две изолированные системы. Обозначим отсчитываемую от места втока координату фронта во второй, иевозмущенной части пласта, через хф, а в возмущенной части — через хф + е, Здесь е — длина язычка, которая считается бесконечно малой. Из рассмотренного в п.
7.11 прямолинейного вытеснения имеем — (7 98) рв щ (( — Исв. — ~он ) 1ту-+ (' — т) х,ь.) К„ар п(хф +е) рв ел () 'усв. 'хан.) (тл'+ () т) (аф + )1 (7.99) 257 где ~~во н Пнсв рв. (7.100) есть коэффициент подвижности. Из этих уравнений по- лучаем с)в )'в о ~р(1 э)е ;, . (1 — 8ов — 8он ) )тй+ (1 — В) л,, 1' ' (7.101) ' Очень важные исследования устойчивости при вытеснении и образования языков быти выполнены Тейлором и Сафманом (Т а у1от О.
Т, 8 а11в а и Р., Ргас. Йоу оос., 1958).— Прим. ред. 258 при условии, что в сц хф . Из уравнения (7.101) видно, что после образования язычка его длина е будет экспоненциально увеличиваться с течением времени, если ср) 1, и экспоненциально уменьшаться, если ф ( 1. При ф = 1 длина в с течением времени изменяться не будет. Приведенный простой анализ показывает, что если вытесняющая жидкость более подвижна, чем вытесняемая, то любое малое искажение формы фронта очень быстро увеличивается. Такие разросшиеся искажения часто принимают форму вытянутых вперед языков и поэтому называются «языками».
Таким образом. если ср ( 1, то фронт устойчив, если ф ) 1, фронт неустойчив'. В изложенном упрощенном исследовании фронта на устойчивость мы пренебрегали влиянием капнллярности и силы тяжести, которые, как правило, стремятся воспрепятствовать образованию языков. В частности, в водо- нефтяной системе нефть обычно менее подвижна, чем вода, и поэтому возникают языки. Но так как нефть легче воды, то при заводнении (в случае, если вода поднимается вверх) сила тяжести препятствует нарастанию языков. Если же при заводнении вода перемещается вниз, то сила тяжести будет усиливать рост языков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
