Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(Единицей измерения й' является смЧсек в системе С65.) В общем случае коэффициент диффузии й' не остается строго постоянным. Не говоря уже о том, что Т1' зависит от абсолютной температуры, этот коэффициент в какой-то степени зависит и от концентрации. Более того, величина Т1' для данного сорта молекул зависит от сорта других молекул, среди которых этот сорт находится.
Однако в большинстве случаев в каждой данной задаче коэффициент Т1' можно считать постоянным. Часто диффузию вещества характеризуют потоком массы в единицу времени. Умножив уравнение (8.1) на М!Л, где М вЂ” молекулярный вес диффундирующего вещества, а Е,— число Авогадро (число молекул в одном моле), получим уравнение где Р = рР' — коэффициент диффузии, выраженный в единицах массы, деленной на длину и время. Обычно употребляемой единицей измерения Р является г/сж сек.
Е произвольном многомерном случае закон Фика записывается в виде пз =- — Рта. (8 8) Такая форма записи чжце всего используется в приложениях к задачам о течении. Здесып — вектор плотности потока массы. Его проекция на нормаль к данной площадке равна количеству массы, протекающему в единицу времени через единицу площади поверхности в направлении нормали. 8.20.
Вытеснение из капиллярной трубки в случае, когда жидкости смешиваются Для того чтобы проиллюстрировать некоторые черты микроскопической картины процесса вытеснения, в котором участвуют смешивающиеся жидкости, рассмотрим сначала вытеснение одной жидкости из круглого прямолинейного капилляра другой смешивающейся с ней жидкостью. Если вязкости и плотности обеих жидкостей одинаковы, то распределение скорости по трубке не будет зависеть от распределения по трубке самих жидкостей. Для медленного установившегося течения скорость на расстоянии г от оси трубки равна (12) г~ х и (г) = 2 и ( 1 — — ) . а~ ~' (8.8) С =- С(х — И, «), (8.7) 266 Здесь а — радиус трубки, о — средняя по сечению скорость.
Таким образом, у стенки жидкость совсем не движется, а на оси трубки скорость жидкости максимальнй. Если в начальный момент поместить в каком-нибудь поперечном сечении меченые частицы, то в силу конвекции в любой следующий момент зти частицы будут расположены на поверхности параболоида вращения. Если в момент ( = 0 распределение концентрации вытес. няющей жидкости описывается функцией С(х, г), где координата х отсчитывается вдоль оси, то вследствие конвекции в момент 1 оно уже будет описываться функцией где и определяется уравнением (8 б) Следовательно, в результате одной только конвскции вытесняющая жидкость расплывается в вытесняемой Так как жидкости смешиваются, то расплывание вытесняющей жидкости происходит также и вследствие диффузии Для вывода уравнения, описывающего изменение концентрации вследствие конвекции и диффузии, воспользуемся законом сохранения массы вытесняющей жидкости Рассмотрим внутри трубки контрольный объем, расположенный между цилиндрами радиусов г и г + Л г и сечениями х и х + Лх Приравнивая массу жидкости, втекавшей в объем вследствие диффузии и конвекции, приращению массы этой жидкости в самом контрольном объеме, получаем уравнение гдяС 1 дС дгС х дС вЂ” г гх, дС .0( — ' — — + — ) — р — + 2ро (! — — ~ — (8 8) ( дгх г д дк~ ) д! ' (! а')дх В большинстве случаев диффузией вдоль оси можно пренебречь по сравнению с диффузией в радиальном направлении Поэтому членом д'С/дх' можно пренебречь Вводя безразмерные переменные — х — г О! — С х=- —, г= —, т= —,, С= —, (89) а ' а ' ра' ' С где С, — некоторая характерная концентрация, получаем уравнение д С , ! дС дС , ара — дС =-- -'; =- = = — + 2 — (1 — г х) =.
(8 10) дгх г дг дх ' 0 дх В качестве граничного условия на стенке трубы потребуем, чтобы дС ==- О при г=- 1 (8 11) дг Это означает, что диффузия через стенку отсутствует Нахождение точных аналитических решений уравнения (8 8) связано с большими трудностями Тейлор(13) получил приближенные решения этого уравнения, которые оказываются полезными во многих случаях Следуя Тейлору, предположим, что значительно преобладает диффузия в радиальном направлении над конвекцией в осевом Если в уравнении (8 8) отбросить член, содер- 267 жащий дС!дх, то решением полученного уравнения будет функция С = е — ".
У,(р аг). (8.12) Здесь 7 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, Йз граничного условия (8.11) находим, что 1, (~ а) =- О. (8. 13) Наименьший корень этого уравнения равен )/а = 3,8. Поэтому время, которое нужно для того, чтобы разность концентраций уменьшилась до 1/е своего первоначального значения, равно т = (3 8) — з или 1, = — 1 (3,8)-'.
(8.14) 1 р С другой стороны, если в начальный момент концентрация вытесняющей жидкости была отлична от нуля на длине 1 трубки, то время, через которое вследствие конвекции произойдет заметное расплывание этого распределения вдоль оси, по порядку величины равно 21 (8.15) Таким образом, конвекция будет преобладать над диффуз ней, если (а( 1п (8.16) или = э '— '-(3,8)-'. (8!7) ч И обратно, если = Э вЂ . (3,8)- (8 18) то диффузия будет преобладать над конвекцией. Тейлор получил приближенные решения уравнения (8.8), соответствующие этим двум крайним случаям.
В первом случае преобладающим процессом является конвекция вдоль оси, во втором — диффузия в радиальном направлении, В связи с задачами вытеснения жидкостей из пористой среды более интересен второй случай, когда преобладает диффузия в радиальном направлении. 2бз Тейлоровское решение уравнения (8.10), соответствующее нагнетанию вытесняющей жидкости с постоянной скоростью в сечении х — -- 0 с момента / = О, имеет вид х — рт ьО, (8.19) х — ртс О. Здесь р = аро/Р— безразмерная скорость, С вЂ средн значение концентрации С по данному сечению х. Функция ошибок ег1г определяется формулой ег1г = ~ е-:" с$.
(8.20) о Ее значения находятся по таблицам. Постоянная С, в уравнении (8.19) равна значению С в сечении х = — 0 '. Распределение концентрации, соответствующее решению (8.19), показано на рис. 8.1, Результаты согласуются с экспериментом для довольно широкого интервала значений параметра ]1 =- аро/Т1. Эрису (! ] удалось показать, что тейлоровское решение для пренебрежимо малой диффузии вдоль оси будет применимо также в случае, когда осевая и радиальная диффузия одного порядка, если в решении Тейлора сделать замену 1 48 (8.21) где Ь вЂ” -- 1/48 для круглого капилляра и может принимать другие значения для капилляров с иной формой поперечного сечения.
В исходных размерных величинах аргументом функции ошибок является выражение х — вт 2 рта~) ! ' Здесь предполагается, что в состав нагнетаемой смеси входит вытеснЯЕмаЯ жЯДкость, так вто, вообще говоРЯ, Сеть!.— ПРим. пеРеа. 269 ~де й,=Р'+й" — ",— (8.22) есть эффективный коэффициент диффузии, выраженный в единицах ллсеусек. Этот коэффициент часто называют коэффициентом дисперсии. Заметим, что когда скорость движения жидкости равна нулю (о = 0), коэффициент дисперсии просто совпадает с коэффициентом молекулярной диффузии.
Р н с. 3. 1. Типичное распределение концентрации нагнетаемого нещестна по прямолинейной трубке н процессе прямолинейного нытесненкя со смешиааюжимкся жидкостями (согласно решению Тейлора). Эрнс показал также, что величина й изменяется в довольно узких пределах, например для эллиптических поперечных сечений '!ге ( 48 й < 1. Из приведенного решения видно, что величину Ко можно определить независимо, что дает нозможность непосредстненного ее измерения, даже если величины Р', а и и неизвестны. Из этого решения следует, что расстояние Е между поперечными сечениями, в которых С = О,1 С, и С =-- 0,9 С, (сечения с 10% и 90'ге концентрацией), равно Е = 3 62 р'К,~г', (8.23) где г — время, прошедшее с момента начала нагнетания. Величина С называется длиной переходной зоны.
Из (8.23) получаем 270 (8. 24) Следовательно, если в процессе вытеснения измерить в какой-то момент распределение концентрации С, то величину Ко можно будет вычислить. Приведенное рассмотрение применимо только к жидкостям с одинаковыми плотностями и вязкостями. Тем не менее Блэкуэллом (3) было экспериментально показано, что и для жидкостей с неодинаковыми плотностями и вязкостями распределение концентрации С с хорошим приближением описывается вышеприведенным решением, определяемым функцией ошибок.
В частности, для вычисления Ко можно продолжать пользоваться уравнением (8.24). Зная Ко, можно найти коэффициент диффузии В'; правда, теперь он будет не истинным, а эффективным. Эффективный коэффициент диф- фузииЕ>' приближенно равен среднему арифметическому истинных коэффициентов диффузии двух жидкостей, участвующих в процессе вытеснения. 8.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
