Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Таким образом, понятие геометрического подобия состоит в следующем. Две плоские фигуры называются геометрически подобными, если одна из них получается из другой проектированием на параллельну|о плоскость из некоторой точки. Наиболее важным в этом определении является то, что оно устанавливает эквивалентность всех свойств фигур, не зависящих от абсолютного размера. Понятие геометрического подобия можно обобщить на случай более чем двух измерений, но мы на этом не будем останавливаться. .ов* 283 Динамическое и кинематическое подобие — это понятия, устанавливающие равенство определенных величин в «физически подобных» системах.
Понятие о таком подобии можно сформулировать на основе тех же соображений, что Рис, 9. 1. К понятою нодоаня (плоскости нлраллельны). и в геометрии. Предположим, что динамическое и (или) кинематическое поведение некоторой физической системы описывается зависимостью у от х. Так как у и х являются измеряемыми характеристиками, то в каждом случае должна использоваться некоторая система единиц. Кажет оказаться, что форма кривой зависимости у от х будет меняться при изменении единицы измерения, например величины х. Но может также оказаться, что это измерение формы кривой устраняется подходящим изменением 184 единицы измерения переменной у.
Очевидно,что если обе переменные измеряются по равномерным шкалам, то в результате, скажем, удвоения единиц измерения каждой нз величин форма кривой зависимости не изменится. Кривая, соответствующая удвоенным единицам измерения, будет просто плоской проекцией первоначальной кривой. Следовательно, обе кривые будут подобны в том самом смысле, в котором считаются подобными две геометрические фигуры. Следуя по этому пути, можно было бы построить логические основания теории моделирования в геометрической форме. Однако более эффективен аналитический подход, рассматриваемый в следующем пункте. 9,20. Основы теории моделирования' Теорию моделирования можно развить в общем виде, не отправляясь ни от какой конкретной физической системы.
Чтобы сделать это, предположим, что произвольная физическая система полностью и всестороане описывается нексторой математической системой уравнений Е. Это означает, что физическая система предполагается причинной и полностью определенной, т. е. задание некоторого начального состояния системы однозначно определяет смену последующих состояний.
Требование полноты системы уравнений Е просто означает, что для правильного предсказания всех состояний данной физической системы нужно учесть все переменные и параметры. Математически это утверждение сводится к следующему. Обозначим характеризующие данную систему зависимые переменные через у„у,,..., уа„независимые переменные — через х„х„... х„и параметры — через а„а,, ..., а„.
Тогда символически систему уравнении Е можно записать в виде Е (ут, у,..., у; х,, х, ..., х„; а,, а„.. ал11. (9.1) В эту систему могут входить уравнения различных типов (интегральные, дифференциальные, функциональные, а так- Исчерпывающее современное иалохсение атнх вопросов можно найти в книге С е д о в Л И, Методы подобна и размерностей в механике, ГИТТЛ, М„1957. — Прим. ред. 28о же граничные или другие ограничительные условия)'. Требование полноты просто означает, что система Е должна иметь единственное решение для у, как функций от х, и параметров а,.
Далее, требование, чтобы система уравнейггй описывала определенную физическую систему, означает, что решение должно соответствовать фактическим состояниям этой физической системы. Это решение запишем в виде у, = у, (х,, х„..., х„; а,, аа,, а ) (г =- 1, 2, ..., иг). (9.2) Число переменных и параметров, входящих в решение (9.2), может в ряде случаев оказаться меньше общего числа этих величин, входящих в систему Е. В таких случаях величины у, не зависят от некоторых переменных ху и параметров а,.
Если обозначить число входящих в решение переменных и параметров через Л', то (9.3) Лг -:.. т -'; и + ге, где т — число переменных у,; и — число переменных х„ [г — число параметров а„входящих в систему уравнений Е. Так как система Е и ее решение выражаются через измеряемые величины, характеризующие данную физическую систему, то все уравнения должны быть однородными по размерности. Если число входящих в (7.2) величин с независимыми размерностями [1[ равно Р„то, согласно и-теореме' Букингема, из Л' участвующих в (9.2) размерных величин можно составить Лг, безразмерных комбинаций (9.4) и через эти комбинации записать решение в безразмерном виде. Точно так же и систему Е можно преобразовать к безразмерному виду Е'.
В систему Е' войдут только Лгв безразмерных комбинаций Л[а =- (и + т + й) — Рв, (9 5) ' Читатель легко убедится, что уравнения здесь и далее ни при чем на самом деле речь идет об определяющих и определяемых параметрах — Прим ред * См приложение в конце главы. 286 гдеОа — число величин с независимыми размерностями, входящих в систему Е. Из уравнений (9.3), (9.4) и (9.5) получаем й. + О ~( Ма + Па (9.6) Следовательно, если в решение системы Е входит столько же величин с независимымп размерностями, сколько их содержится в самой системе Е, то У, либо меньше, либо равно Мв.
Практическое получение безразмерной системы Е' из размерной системы Е проще, чем это можно было бы заключить из изложенного выше. Наиболее часто употребляемый в моделировании метод состоит в использовании простых преобразований, переводящих размерные переменные системы Е в безразмерные переменные. Применение таких преобразований приводит к безразмерной системе Е', потому что вследствие однородности уравнений Е по размерности, входящие в них размерные параметры автоматически переходят в безразмерые.
Итак, пусть формулы У, =- У, (ун ао аь,, а„), 1=-1,2, ..., я, /=1,2,...,п, преобразуют размерные переменные х„у, в безразмерные переменные Х„У,. Применяя это преобразование к системе Е, получаем безразмерную систему Е' Е'(Уо У,,,.., У, Х„Х„,, Х„, А„А,, ... А ). (9.8) В системе (9.8) число величин У, равно числу величин у, и точно так же число величин х, равно числу величин Х„ но число й' безразмерных параметров А, уже не совпадает с числом й параметров а,. Действительно, из и-теоремы следует, что числа и и й' связаны соотношением (9.9) Это означает, что число безразмерных параметров, входящих в безразмерную систему Е', меныпе числа параметров, входя~них в размерную систему Е, на величину Ва, равную числу величин с независимыми размерностями в Е.
28? Важнейшее отличие между преобразованием решения (уравнений (9.2)) к безразмерному виду и преобразованием к безразмерному виду системы Е заключается в том, что решение может содержать меньше переменных и параметров, чем система Е. Значение этого обстоятельства станет более ясным после ознакомления со следующими пунктами. Рассмотрим теперь решение системы Е'.
Оно записывается в виде )',= У,.(Хз, Х~ " Хл' Лз, А„, ... А~), 1= 1, 2, ..., лп 19.10) Заметим, что, вообще говоря, существует целое семейство решений, причем отдельное решение характеризуется некоторым фиксированным набором значений Л„А,,,.., Лы, Это означает, что два члена семейства решений, которыми являются зависимости У~ от Х, совпадают тогда и только тогда, когда у этих двух решенйй все Л, имеют одни и те же численные значения, 9.30. Масштабные модели и условия подобия Рассмотрим две физические системы, одна из которых определяется системой уравнений Е, другая — системой уравнений 6. Предположим, что каждому уравнению из Е соответствует уравнение в точности того же вида из 6 (т.
е. каждому символу и операции в Е соответствует некоторый символ и такая хсе операция в 6). Про такие системы говорят, что одна из них является аналогом другой. Совершенно не обязательно, чтобы физические размерности величин в двух таких системах были одинаковыми. Но если они одинаковы, то говорят, что одна система является моделью другой, а не аналоговой моделью, как в общем случае. Допустим теперь, что заменой переменных вида (9.7) система Е преобразуется в безразмерую систему Е' и другой заменой такого же вида система 6 преобразуется в безразмерную систему 6'. Системы Е' и 6' имеют один и тот же вид. Это означает, что семейство решений системы Е' для всевозможных значений содержащихся в ней безразмерных параметров совпадает с семейством решений системы 6' для всех значений безразмерных параметров, входящих в эту систему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
