Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Следовательно, если обозначить параметры из Е' через Ав„з = 1, 2, ., /г', и параметры из 6' через Ло„ 288 з = 1, 2, ... й', то условиями численного совпадения некоторого решения системы Е' с одним из решений системы 6' будут равенства А л~ = Ао~ з =- 1 2, " , й ° (9 1 1) Эти равенства представляют собой условия подобия.
Как уже упоминалось ранее, решение системы Е' или системы 6' может содержать меньше параметров, чем их входит в систему. Так, например, может случиться, что один или несколько из в' безразмерных параметров не входят в решение. Тогда эти параметры не нужно включать в условия подобия (9.1!). Однако на практике редко удается получить аналитическое решение системы Е' или системы 6'.
Поэтому только экспериментально можно выяснить, какие параметры необходимо учитывать при моделировании. Если же никаких данных о математическом виде решения нет, то в условия подобия нужно включать все параметры из Е' и 6'. Следует особо подчеркнуть, что на модели можно изучать только те черты реальной физической системы, корректно описываемой системой уравнений Е, которые положены в основу действия модели.
Таким образом, модель дает возможность получить численную зависимость У; от Х,, имеющую место в соответствующей физической системе. Наряду с этим она позволяет находить любые величины, получающиеся из У; и Х~ при помощи обычных математических действий, согласующихся с условиями подобия (9.11). Например, на модели можно получить величины — ~г,)х„.... (9.12) Масштабное моделирование по описанной выше схеме всегда основано на неявных предположениях о природе моделируемой физической системы. Например, при изучении течения жидкостей в пористых средах в систему уравнений Е обычно включают закон Дарси.
Его включают также и в систему 6, если модель не аналоговая. Следовательно, при этом делается неявное предположение, что в обеих системах этот закон выполняется. Такие предположения не следует упускать из виду. Часто природа моделируемого явления бывает не настолько известна, чтобы можно было вывести полную систему уравнений Е, описывающих это явление. В таком 289 лучае все еще возможно получить совокупность условий адекватного моделирования для некоторой модели (но не аналоговой модели), если известен полный перечень всех относящихся к данной задаче переменных и параметров.
Предположим, например, что в этот перечень входит п переменных и и параметров. Из них, согласно п-теореме, можно составить и' безразмерных переменных и )е' безразмерых параметров, где и'+ )е' = — тг + Й вЂ” В. Здесь 0— число входящих в перечень величии с независимыми физическими размерностями. Если в модели выполняется геометрическое подобие и т. д. и численные значения )е' безразмерных параметров в натуре и на модели совпадают, то тогда будут совпадать и и' взаимно соответствующих безразмерных переменных. Следует отметить, что аналоговое моделирование возможно только в случае, когда известна по,тная система уравнений Б. Это обьясняется тем, что аналоговое моделирование основано на подобии уравнений.
Теперь, после того как с достаточной полнотой рассмотрены основные принципы моделирования, перейдем к конкретным задачам. 9.40. Примеры применении анализа размерностей в случае, когда известны уравнения, описывающие систему Разберем в качестве примера применения анализа размерностей задачу о вытеснении нефти водой из однороднои и изотроппой пористой среды. Обе жидкости будем считать несжимаемыми'. Допустим, что область течения имеет вид прямоугольного параллелепипеда, определяемого неравенствами О:.- х,--:.Е,, ) — — -1,2,3.
(9 13) Предположим, что вода нагнетается через сечение х = Ос постоянным расходом, равным и на единицу площади сечения, и что боковая поверхность непроницаема Пусть начальная водонасыщенность среды равна 5„Систеьта т Весьыа обстоятельный аналиа вопросов моделпрояаиия применительно к фильтрации однородных и неоднородных систем был выполнен Д А Эфросом (см его книгу <Исследояания фильтрации неоднородных систем», Гостоптехиядат, 1963) — Прил ред 290 уравнений, описывающая этот режим течения, получается при помощи закона Дарси и имеет вид 1,,( — — — 1К, — (р, + р„лх.)~ =- — ' т!в дх,~ вдх, в в в~ ~=! ! д Г д ! дон дх ~Кн дв (Рн ( Рн Ю"в)~ = 9 ~ =! Рн =-" 0в + Рн, Е ж ~ 5, -'- 5н =- 1, ! =- о =- сопз( на входе 5, =- 5,н в начальный момент.
Течение через боковую поверхность отсутствует. Граничные условия для 5,, 0.(х, (1н ! — — 1, 2, 3 (9,14) Здесь х„! = 1, 2, 3,— прямоугольные декартовы координаты с осью х„ направленной вверх. Граничные условия для р, содержатся в выписанной системе. Граничные условия для 5, можно выразить через относительные проницаемости и функции капиллярного давления. Система уравнений (9 14) образует для данной задачи систему Е. В этой системе имеются три независимые физические размерности Вкачествезависимых переменных можно взять р, и 5,; в качестве независимых — х„х,, х, и 1. В си стему входятпараметры о, тр,, трв, р,у, р„д, 1.„Ев, Е„ 5,„, а также неизвестное число параметров, необходимых для выражения величин Кн, К, и р, через насыщенность 5в.
Функции Кн, К, и р, сильно меняются при переходе от одной пористой среды к другой. Это видно из рис. 9 2 и 9 3. Однако у всех графиков этих функций, полученных для разных пористых сред, имеются однотипные характерные точки. Такой характерной точкой является насыщенность 5„связанной водой. При подходе к этой точке 29! К, — О, а р, — + со. Другой такой точкой является остаточная нефтенасыщенность 5„,, при подходе к которой т',0 аг О йг ал ай оз то Р и с 9 2 Кривые относительных цроннцземостеи дли разных материалов (Коллинз и Перкинс, 1%0) Нп оси абсцисс воионасьпценнссть Пс сси сриинат стиссительиаи прсницаемссть сх, ЕЬ вЂ Рыхл песск — — -сцементированные пластсвые пески.
О, А пески ~в ~се (9 15) и соответственно вместо 5и используем величину 5в =1 — 5, = —" — — '" се ои (9.16) 292 Ки -ь О и р, -ь О (по кривой пропитки) Для дальнейше- го рассмотрения удобнее несколько преобразовать аргумент функций Ки, К,, р,. Вместо аргумента 5, введем другой аргумент, определяемый формулой Точно так же, вследствие того что при 5, -ь 5„ имеем Кн -. Кн „и при 5н -ь 5он имеем К, -э К,,н, определим относительные проницаемости равенствами Iг, =- — '-, (9.17) Кв он /г„=- — —, К„ (9.18) Кн, Заметим, что зто определение относительных проницаемостей отличается от определения, используемого в др) гих местах 055 Р и с 9 3 Кривые капиллкрното давлении в случае вытеснении Верхнее число возле кривой указывает проницаемость образца в мнллндарси, нижнее— пористость По оси абсцисс насыщенность сиичивающса жидкостью Пс оси ординат каииллярное давление (атн) 293 книги, и обычно применяемого в нефтяной промышленности.
Введенные относительные проницаемости будем рассматривать как функции аргумента 5„, определенного выше. йр пк а аг О4 Да ОЮ гО !' в с. 9. 4. Зависимость преобразованных относительных проиииаемостей от преобразованной насывьевиости (Коллинз и Перкинс, !960). По оси абсцисс безразмерная водонасыотеиность, Бв . По оси ординат а,', или Ь;, О, ° , — рыхлый песок, — — †сцементированн пески, а, а - пески Такое определение относительных проницаемостей вносит некоторое единообразие в поведение кривых, соответствующих различным встречающимся на практике пористым средам, Это видно иа рнс. 9.4, на котором представлены те же данные, что и на рис.
9.2. Таким же образом поступим с кривыми капиллярного давления. Следуя Леверетту !61, будем считать, что характерное капиллярное давление определяется поверхностным натяжением у, средним значением контактного угла 0 и средним поровым радиусом, 1,0 05 е бв Р и с.
9. б. Зависимость безразмерного капиллярного давления от преобразованной насыщенности. Число над криной указывает проницаемость образца (лд). характеризуемым величиной (К/т)чь Поэтому безразмерное капиллярное давление определим формулой эЕК Р» У т !сонэ (9. 19) — с=!,2,3, х, И А;(! — яо, —.Ч,н) ~в он Рв ни 1! (9.20) и'в он Рн Рн и!вв ~! ~в ~ов ! — 5„~ — 5он При этом получается система Е' вида довс дн Это безразмерное давление будем рассматривать как функцию от 5, в процессе пропитки и как функцию от 5,, = .= (5, — 5„)!(1 — 5„) в процессе вытеснения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
