Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(9А!) Таким образом, имеется семь величин и три независимые физические размерности, В качестве основных единиц выберем силу, длину и время, которые обозначим соответственно через Р', 1. и Т. Согласно п-теореме, из этих семи размерных величин можно образовать четыре безразмерные.
Их мы обозначим через л,(1 = 1, 2, 3, 4). Выпишем теперь размерности переменных и параметров. Имеем (9 42) Здесь ! ! обозначают размерность данной величины. Если действовать по схеме, применяемой при пользовании и-теоремой (см. приложение в конце главы), то для нахогкдения величин и, пришлось бы одновременно решать много уравнений. Однако можно поступить проще.
Из (9.42) сразу видно, что величины (9.43) безразмерны. Г!оэтому остается найти еще одну безразмерную комбинацию. Очевидно, что в нее должны войти Я и Лр. Так как в размерности этих величин 1. входит в разных степенях, то в эту комбинацию должен также войти один из параметров размерности длины. Далее, так как Т содержится только в Я, а Р— только в Лр, то в комбинацию нужно включить еще р. Следовательно, для пх получаем выражение «уь(Л )и 1и з. (9.
44) где у„у,...— неизвестные числа. Подставляя сюда раз- мерности величин, получаем (п4) = 0 = [ — ~ ~ — „1 (1) Ц, (9.45) откуда Зу, — 2у, + у,— 2у4 = О, — у,+у,=о, у,+у,— о. (9.46) Так как (и это обычный случай) имеется четыре неизвестных и только три уравнения, то одну из неизвестных можно выбрать произвольно. Наиболее интересна величина поэтому положим у1 = 1. Тогда из системы (9.46) находим у4 1 у2 1 уз (9.
47) Поэтому четвертая безразмерная величина имеет вид ил= ~11 Ьр (9. 48) Когда приходится иметь дело с безразмерными величинами, любую нз них можно заменять алгебраической комбинацией этой величины с другими, Так, вместо приведенного выше выражения для и, можно взять другое выраже- ние О ~ в. ОеН а Ьр ) "з Й4ар (9,49) (9.50) где )' — безразмерная функция своих аргументов. Проведенный анализ позволяет не только найти безразмерные комбинации н, следовательно, условия подобия, но дает также вид решения задачи, В действительности анализ можно продолжить.
При д = г(, получаетсн задача 11 зак. зэз 305 Таким образом, приходим к выводу, что в случае медленного установившегося течения вязкой жидкости в осесимметричной трубке с синусоидально изменяющимся диаметром должно удовлетворяться уравнение о течении в прямом капилляре, математическое решение которой известно (9.52) 9.70. Частичное подобие в моделировании При конструировании лабораторных моделей, отличающихся по размеру от моделируемых систем, обычно желательно по возможности строго соблюсти условия динамического подобия. Это означает, что нужно поддерживать равенство значений всех безразмерных параметров соответствующим значениям этих параметров в натуре.
Но чаще всего это невыполнимо по крайней мере по одной из двух следующих причин. 1) Механизм действия натурной системы бывает недостаточно изученным для того, чтобы можно 30б 4 — пРи 4( = 44 ° 42ИН ч (9. 51) л4 д Представляя уравнение (9.50) в виде ЯрД ч 444 Д, Н 444 др 128 444 ! получаем, что новая неизвестная функция )4 стремится к единице, когда 41, стремится к 424 По аналогии можно предположить также, что, когда Н много больше 1, функция ), становится относительно нечувствительной к изменениям ЙН, т.
е. — — 1'4 ( — ', — ') при Н ), 1, (9.53) ~4 д где индекс 2 использован для того, чтобы отличить эту функцию от гп Остановимся теперь на полученных результатах. Если геометрическая форма модели и натуры одинакова и величины 414Яэ, 414Н, НЛ для них совпадают, то будут совпадать также значения Я)4Н!4(4Лр. Более того, данные, полученные на модели, могут быть представлены в форме зависимости (9.52), при этом Г, обращается в единицу при 41, -+ д, и 44, перестает зависеть от НН, когда это отношение велико.
Следует отметить, что возможность пренебрежения силами инерции на модели.и в натуре должна устанавливаться экспериментально или теоретически. Этот вопрос рассматривается в следующем пункте. Приведенный пример иллюстрирует эффективность метода анализа размерностей.
было уверенно сформулировать условия подобия. 2) Даже если задача полностью определена, то полное динамическое подобие может оказаться недостижимым из-за того, что размеры модели должны отличаться от натурных. Первая из этих трудностей часто возникает в исследовательской работе. Иногда только благодаря большой физической интуиции да еще счастливому стечению обстоятельств удается создать модель, правильно воспроизводящую основные черты поведения моделируемой системы, Так же обстоит дело и в случае, когда нужно сделать упрощенную модель, хотя и полностью определенной, но очень сложной физической системы.
В этом случае исследователь должен среди большого числа известных ему взаимосвязанных эффектов суметь найти существенно влияющие на поведение системы, отделив их от тех, которыми можно пренебречь. Не исключено, что после такого упрощения задачу можно будет решить математически, Большую часть сказанного можно пояснить на примере разобранной в предыдущем пункте задачи о течении вязкой жидкости в капилляре с синусоидально изменяющимся диаметром. Рассмотрим сначала первую из названных трудностей, а именно трудность, связанную с недостаточным знанием системы.
При анализе размерностей в этой задаче совершенно не учитывалось влияние инерции. Следовательно, изучались условия только частичного подобия, потому что инерционные характеристики в натуре и на модели могли сильно отличаться. Однако эта неполнота моделирования не приводит к каким-либо затруднениям, пока на искомую зависимость Я от Лр в изучаемом интервале изменения Д не влияет инерция. Но для оценки влияния инерции на эту зависимость нужен какой-то критерий. Вот здесь и следует обратиться к некоторым основным физическим представлениям. Инерционные свойства течения, очевидно, можно характеризовать кинетической энергией жидкости.
Поэтому для решения задачи будем исходить из закона сохранения энергии. Так как потенциальная энергия не изменяется, то имеем Работа, затрачен- Уиелнчсние кнненан на перемеще- тической энергии ние столба жидко- этого столба сти длины 0 жидкости Потери энергии на + трение длн этого (9.54) столба жидкости 11" 307 Обозначая плотность жидкости через р, получаем Кинетическая энергия = Масса (Скорость)' — (рп1 и) ~ з ~ Совершенная работа = Сила Путь = (Лр с(~~) (Н), (В.бб) Энергетические потери ж Вязкость Плошадь поперечного сечения радиальный градиент скорости.П)ть = и ос(~~ (чЯ1) Н. Здесь символ = означает пропорциональность.
Если приведенные соотношения записать в виде равенств, то появятся коэффициенты пропорциональности, которые, как это следует из анализа размерностей, будут безразмерными функциями отношений сто, г(,1( и 01(. Следовательно, (9. 56) После очевидных преобразований и введения новых безразмерных функций отсюда получается уравнение "1 Таким образом, требование выполнения закона сохранения энергии приводит к более полной формулировке задачи с учетом инерции. Уравнение (9,57) устанавливает связь между безразмерными величинами задачи в случае, когда учитывается влияние инерции, Теперь запишем условие, при выполнении которого влиянием инерции можно пренебречь.
Оно имеет вид Кинетическая энергия « я р тр „(В.бз) Энергетическне потери иа вязкое трение или приближенно (р (г 77) (Я ) (( )ь с(т1 ~ 'с ) Ц (9 59) 1 1 откуда (9.60) Входящие сюда величины должны быть измерены в одной и той же системе единиц. Если условие (9.60) удовлетворяется, то применим предыдугций анализ, в котором инерцией пренебрегалось, и частичное моделирование является адекватным. Следует отметить, что при экспериментальной проверке полученного условия можно получить до некоторой степени ослабленное условие. Вторая трудность может возникнуть, если нужно, например, моделировать течение в трубе трехсотметровой длины с синусоидально изменяющимся диаметром. Очевидно, что если в качестве модели используется капилляр, имеющий в длину несколько метров, то для обеспечения равенства параметров (ПН)~'(ЙН) на модели и в натуре нужно, чтобы диаметр капилляра был исчезающе мал.
Но это либо практически неудобно, либо невозможно. Для выхода из затруднения опять нужно обратиться к физической интуиции. Аналогия с прямолинейным капилляром подсказывает, что течение будет слабочувствительным к изменению величины (Н))), если она достаточно велика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
