Р. Коллинз - Течения жидкостей через пористые материалы (1132348), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако для решения задачи необходимо в начальный момент считать эти насыщенности постоянными по пласту. Скважины, вскрывшие пласт, будем считать размещенными на его площади некоторым правильным образом. В некоторую часть из них, начиная с какого-то момента, закачнвается с постоянной скоростью вода, Нагнетаемая вода вытесняет оставшуюся в пласте нефть, которая поступает в остальные скважины. Если пренебречь влиянием капиллярности и силы тяжести, то можно считать, что вытеснение происходит с образованием фронта. Таким образом, водонефтяной контакт представляет собой поверхность разрыва насыщенности.
В плане эта поверхность имеет вид замкнутых кривых, окружающих каждую нагнетательную скважину. Даже при всех сделанных упрощениях задача все еще остается очень сложной. Для того чтобы сделать дальнейшие упрощения и при этом сохранить хотя бы приближенное соответствие действительности, нужно всю область течения подразделить на три зоны: зону, занятую водой, расположенную перед ней зону вытесняемой нефти и находящуюся перед вытесняемой нефтью газовую зону.
Конечно, в каждой нз этих зон находится многофазная система. Например, в зове, занятой водой, присутствуют остаточные нефть и газ Н01. Простейшее приближение к действительности в случае заводневия получается, если предположить, что в необводненной части пласта находятся подвижная нефть и неподвижная связанная вода, а в обводненной части — подвижная вода и неподвижная остаточная нефть. Тогда задача сводится к рассмотрению только двух областей и одной границы между ними. В таком виде она уже поддается математическому исследованию.
Границу раздела между нефтью и водой, или фронт, можно представить себе как математическую поверхность, образованную одними и теми же частицами жидкости. Эти частицы всегда находятся ва фронте, каково бы ни было его движение. Таким образом, если для большого числа таких частиц, распределенных по фронту более или менее равномерно, известны составляющие скорости как функции коор- 231 динат и времени, то положение фронта в любой момент времени можно найти, интегрируя систему уравнений Р Хр1 (р = 1„2, ..., М) (?.28) ЙХр1 —,1~ = пр2 (Хр1, Хр2, 1).
ЗДесь пр, и пр2 — составлЯюЩие скоРости частиЦы с номером р в точке хр,, х, в момент времени ~. В п. 7ЗО было показано, что скорость и выражается через плотность объемного потока воды и,, по формуле ~в Р т(1 —,5' 5 ) ' причем ч„находится из распределения потенциала, вычисляемого при помощи закона Дарси. Закон Дарси для рассматриваемого горизонтального течения запишем, предполагая пласт однородным и анизотропным. Жидкость будем считать несжимаемой, и влиянием силы тяжести будем пренебрегать. При этих условиях имеем ! 1' дл» . ЗР1 тв = ~Кв. ! д 11 + Кв. 2 й 12) . (7.27) ЭХ1 Здесь оси координат выбраны вдоль главных осей проницаемости.
Предположим далее, что относительные проницаемости по всем направлениям одинаковы, тогда /г, =- — '~ =- — '2. (7.28) 41 К2 Хотя никаких опубликованных данных об относительных проницаемостях в анизотропных средах нет, сделанное предположение кажется правдоподобным. Кроме того, оно сразу же облегчает математическое исследование задачи. Следует также заметить, что в водной зоне для относительной проницаемости воды нужно брать значение с учетом того, что в этой зоне находится остаточная нефть. Обозначим эту относительную проницаемость через /г,, Тогда Точно так же для плотности объемного потока нефти в незанодненной зоне получим Здесь й„„ — относительная проницаемость нефти в присутствии связанной воды.
Заметим, что распределение давления за фронтом описывается функцией р, (хп х„1), а впереди фронта — функцией р„(хн хм 1), потому что в каждой из разделяемых фронтом областей движется только одна жидкость. На фронте должно выполняться условие (7 31) цв в = Ов л Предполагая, что капиллярным давлением можно пренебречь, получим, что на фронте должно быть непрерывно давление (р„=- р, ).
Если, кроме того, предположить, что коэффициент подвижности равен единице "асв нн (7 32) Чтобы завершить математическую формулировку рассматриваемой упрощенной задачи о вытеснении, перепишем полученную систему уравнений в безразмерных ве- личинах ~/.. 7 К,' т 1ЬЧ~5 у К ~„„~ к,к,ал чин. — х, х == — '-, а' (7 34) то и градиент давления при переходе через фронт будет изменяться непрерывно. В этом случае распределение давления в обеих областях описывается функцией р(хн х„)), удовлетворяющей одному и тому же уравнению (см. и.
7.21). Из закона Ларси (уравнения (7.29) или (7.30)) и уравнения неразрывности, записанного для несжимаемой жидкости, получаем, что это уравнение для р имеет вид (7 33) дх~ д~ дч Здесь Š— характерный линейный размер системы (напри. мер, расстояние между скважинами), д — — характерная производительность, й — мощность пласта, Ь5=1 — ܄— 5,„ (см. п. 7.10). В безразмерных переменных уравнение (7. 33) принимает вид д'~7 ( д""р дхм дух (7.35) (7.9), (7.26) и (7.29) получаем Из уравнений дхр др(х, у, х) дх (р = 1, 2,...,М). (7.36) др(х, у, х) дур дй ду Р— сопз( — — 1и ((х — х,.) + (у — у,) ~. (7,37) Здесь предполагается, что производительность скважины постоянна н равна величине д, входящей в (7.34).
Для системы У скважин с производительностями д„ расположенных в точках х„у, (! = 1, 2,, У), применяя принцип суперпозиции, получаем, что безразмерное давление р в произвольной точке х, у равно и р (х, у) =- сопз1 — — ~~' — !п ((х — х,) 1-(у — у) ~. (7.38) /=1 234 Здесь х, у — координаты М различных точек фронта (р †-- 1, 2, ). Заметим, что на основании уравнения (7.35) давление р зависит от безразмерного времени т только через граничные условия.
При изучении системы скважин в условиях заводнения скважины приближенно заменяют точечными источниками и стоками (линейные источники, пронизывающие пласт в поперечном направлении). На основании результатов п. 4.50 для одиночной скважины, расположенной в точке х„у; плоского пласта бесконечной протяженности, в только что введенных безразмерных переменных получим соотношение о'г ь'т 2т Г ~Р (7.39) где г, = [(хр — х,) + (ур — у,) ) '~ .
(7.40) Интегрируя, находим закон изменения радиуса фронта от времени з яг =т. (7.4 1) В этой формуле мы пренебрегли радиусом скважины. Для производительности (-и скважины аналогично на- ходим (7.42) Таким образом, расчет можно начинать, исходя из того, что в начальный момент фронт представляет собой окружности с центрами в нагнетательных скважинах и радиусами, определяемыми по формуле (7.42). Каждую из этих окружностей (в плоскости х, у) можно равномерно раз' Макснмальный радиус, для которого зто егде имеет место, зависит от того, насколько близко расположены остальные скважины.
235 Заметим, что в отличие от нагнетательных скважин для эксплуатационных скважин величины д, отрицательны. Заметим также, что все дь кроме специально зафиксированного расхода д, могут быть переменными. Таким образом, для системы скважин в бесконечном пласте мы получаем полную математическую формулировку задачи. Для того чтобы определить в любой момент времени г форму и расположение фронта, окружающего каждую нагнетательную скважину, будем исходить из следующего. В непосредственной близости от нагнетательной скважины главная часть распределения потенциала выражается уравнением (7.37), где х„у, — координаты рассматриваемой скважины. Поэтому вблизи скважины фронт имеет круговую форму'. (Это, конечно, верно только в координатах х, ~~. В координатах хо у, если д, ни Км форма фронта эллиптическая.) Тогда из уравнений (7.36) и (7.37) получаем бить на ряд отрезков. Затем можно вместо уравнений дви- жения (7.36) приближенно записать х, (т + ~',т) =- х (т) -- хт =" (х, у, т), дх (7.43) у (т + '; т):== хр (т) — хх т †"' (х , у , с) '4»п а = А (7 44) Обычно этот коэффициент умножают на 100 и выражают в процентах от площади основной ячейки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
